数学建模入门

1、示例示例1 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析问题分析模型假设：模型假设：通常通常 三只脚着地三只脚着地放稳放稳 四只脚着地四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形呈正方形; 地面高度连续变化，视为数学上的连续曲面地面高度连续变化，视为数学上的连续曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。同时着地。模型构成模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅

2、脚连线)的对称性的对称性xBADCOD C B A 用用 (对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位置表示椅子位置 四只脚着地四只脚着地 距离是距离是 的函数的函数椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f( )B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g( )两个距离两个距离f( ) , g( )是是连续函数连续函数对任意对任意 , f( ), g( )至少一个为至少一个为0上述实际问题化为如下的上述实际问题化为如下的数学问题数学问题已知：已知： f( ) , g( )是是连续函数连续函数 ，对任意，对任意

3、， f( ) g( )=0 ;且且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在证明：存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0.地面为连续曲面地面为连续曲面椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只脚着地至少三只脚着地模型求解模型求解将椅子将椅子旋转旋转 /2 ，对角线，对角线AC和和BD互换。互换。由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f( /2)=0 , g( /2)0.令令h( )= f( )g( ), 则则h(0)0和和h( /2)0.由由 f, g的连续性知的连续性知 h为连续函数为连续函数, 据连续函数的基本性质据连续函数的基本性质, 必存在必存在 0 , 使使h( 0)=0

4、, 即即f( 0) = g( 0) .因为因为f( ) g( )=0, 所以所以f( 0) = g( 0) = 0.评注和思考评注和思考建模的关键建模的关键 假设条件的本质与非本假设条件的本质与非本质质 考察四脚呈长方形的椅子考察四脚呈长方形的椅子 和和 f( ), g( )的引入的引入A C BADCOD B x长方形椅子稳定性问题长方形椅子稳定性问题)(g表示A,B与地面距离之和)(f表示C,D与地面距离之和则由三点着地，有00)()(gfoyABCDACABCD0)(,0)(,fg0)0(,0)0(,0fg ,0)0()0()0( ),()()(gfhgfh则 ,0)()()( gfh而

5、所以所以.双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效2d墙墙室室内内 T1室室外外 T2dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2问问题题双层玻璃窗与同样多材料的单层双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失玻璃窗相比，减少多少热量损失假假设设热量的流失是由传导引起的，没有热量的流失是由传导引起的，没有对流：两层玻璃之间的空气不流动对流：两层玻璃之间的空气不流动T1,T2不变，热传导过程处于稳态不变，热传导过程处于稳态材料均匀，热传导系数为常数材料均匀，热传导系数为常数建建模模热传导定律热传导定律dTkQQ1Q2Q 单位时间单位面积传导的热量单位时间单位面积传导的热量 T温差温差, d材料厚度

6、材料厚度, k热传导系数热传导系数dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导的热量记双层玻璃窗传导的热量Q1Ta内层玻璃的外侧温度内层玻璃的外侧温度Tb外层玻璃的内侧温度外层玻璃的内侧温度k1玻璃的热传导系数玻璃的热传导系数k2空气空气的热传导系数的热传导系数dTTklTTkdTTkQbbaa212111dlhkkhssdTTkQ,)2(212111建模建模记单层玻璃窗传导的热量记单层玻璃窗传导的热量Q2dTTkQ221122d墙墙室室内内 T1室室外外 T2Q2双层与单层窗传导的热量之比双层与单层窗传导的热量之比dlhkkhssQQ,22212121QQ k1=4 1

7、0-3 8 10-3, k2=2.5 10-4, k1/k2=16 32对对Q1比比Q2的减少量的减少量作最保守的估计，作最保守的估计，取取k1/k2 =16dlhhQQ,18121)2(2111sdTTkQ建模建模hQ1/Q24200.060.030.026模型应用模型应用建筑规范常取建筑规范常取 h=4, 则则 Q1/Q2=0.03即双层玻璃窗与同样多即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，材料的单层玻璃窗相比，可减少可减少97%的热量损失。的热量损失。结果分析结果分析Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数导系数 k2 2, , 而这要求

8、空气非常干燥、不流通。而这要求空气非常干燥、不流通。房间通过天花板、墙壁房间通过天花板、墙壁 损失的热量更多。损失的热量更多。dlhhQQ,18121双层窗的实际功效不会如此之大双层窗的实际功效不会如此之大实际问题 一个城镇有三个主要生产企业：煤矿、电厂和地方铁路作为它的经济系统.生产价值1元的煤，需消耗0.25元的电费和0.35元的运输费；生产价值1元的电，需消耗0.40元的煤费、0.05元的电费和0.10元的运输费；而提供价值1元的铁路运输服务，则需消耗0.45元的煤、0.10元的电费和0.10元的运输费. 在某个星期内，除了这三个企业间的彼此需求，煤矿得到50000元的订单，电厂得到25

9、000元的电量供应要求，而地方铁路得到价值30000元的运输需求. 试问 这三个企业在这星期各应生产多少产值才能满足内外需求？数学模型 设煤矿、电厂和地方铁路在这星期生产总产值分别为x1 x2和x3(元)，那么3321232113210003010. 010. 035. 00002510. 005. 025. 00005045. 040. 00 xxxxxxxxxxxx10. 010. 035. 010. 005. 025. 045. 040. 00AxdAx321xxxx000300002500050d 可知在该星期中,煤矿、电厂和地方铁路的总产值分别为114458元, 65395.4元和8

10、5111元.例例1 加工奶制品的生产计划加工奶制品的生产计划1桶牛奶 3公斤A1 12小时 8小时 4公斤A2 或获利24元/公斤 获利16元/公斤 50桶牛奶桶牛奶 时间时间480小时小时 至多加工至多加工100公斤公斤A1 制订生产计划，使每天获利最大制订生产计划，使每天获利最大 35元可买到元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? A1的获利增加到的获利增加到 30元元/公斤，应否改变生产计划？公斤，应否改变生产计划？ 每天：每天：奶制品的生产与销售奶制品的生产

11、与销售1桶牛奶 3公斤A1 12小时 8小时 4公斤A2 或获利24元/公斤 获利16元/公斤 x1桶牛奶生产桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产桶牛奶生产A2 获利获利 243x1 获利获利 164 x2 原料供应原料供应 5021 xx劳动时间劳动时间 48081221 xx加工能力加工能力 10031x决策变量决策变量 目标函数目标函数 216472xxzMax每天获利每天获利约束条件约束条件非负约束非负约束 0,21xx线性线性规划规划模型模型(LP)时间时间480小时小时 至多加工至多加工100公斤公斤A1 50桶牛奶桶牛奶 每天每天模型求解模型求解 图解法图解法 x1x20ABCDl1l

12、2l3l4l55021 xx48081221 xx10031x0,21xx约约束束条条件件50:211 xxl480812:212 xxl1003:13xl0:, 0:2514xlxl216472xxzMax目标目标函数函数 Z=0Z=2400Z=3600z=c (常数常数) 等值线等值线c在在B(20,30)点得到最优解点得到最优解目标函数和约束条件是线性函数目标函数和约束条件是线性函数 可行域为直线段围成的凸多边形可行域为直线段围成的凸多边形 目标函数的等值线为直线目标函数的等值线为直线 最优解一定在凸多边最优解一定在凸多边形的某个顶点取得。形的某个顶点取得。 模型求解模型求解 软件实现软

13、件实现 LINGO 9.0程序：程序：max=72*x1+64*x2;x1+x250;12*x1+8*x2480;3*x1100;end OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 220桶牛奶生产

14、桶牛奶生产A1, 30桶生产桶生产A2，利润，利润3360元。元。 结果解释结果解释 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2原料无剩余原料无剩余时间无剩余时间无剩余A1加工能力剩余加工能力剩

15、余40三三种种资资源源“资源资源” 剩余为零的约束为紧约束（有效约束）剩余为零的约束为紧约束（有效约束） max=72*x1+64*x2;x1+x250;12*x1+8*x2480;3*x1100;end与图解法结论一致与图解法结论一致 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000

16、000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2目标函数看作效益，成目标函数看作效益，成为为 “紧约束紧约束” 的资源的资源一旦增加，效益必然跟一旦增加，效益必然跟着增长。着增长。“dual prices”给出最优解下给出最优解下“资源资源”增加增加1单位时单位时“效益效益”的增量的增量 原料增加原料增加1单位单位, 利润增长利润增长48 时间增加时间增加1单位单位, 利润增长利润增长2 加工能力增长不影响利润加工能力增长不影响利润影子（对偶）价格影子（对偶）价格 35元可买到元可买到1桶牛奶，要买吗？桶牛奶，要买吗？35 48, 应该买！应该买！ 聘用临

17、时工人付出的工资最多每小时几元？聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？ 2元！元！在约束条件不变的情况下，最优解不变时目标函数在约束条件不变的情况下，最优解不变时目标函数系数允许变化范围系数允许变化范围 ？DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS? Yes假设约束条件不变，目标函数的系数发生变化，最假设约束条件不变，目标函数的系数发生变化，最优解和最优值会改变吗？优解和最优值会改变吗？由图解法，只要等值线族的斜率介于由图解法，只要等值线族的斜率介于L1与与L2的斜率的斜率之间，最优解不改变。之间，最优解不改变。RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNC

18、HANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100

19、.000000 INFINITY 40.000000 x1系数范围系数范围(48,72) A1获利增加到获利增加到 30元元/千克，应否改变生产计划千克，应否改变生产计划 ？因为因为x1系数由系数由24 3=72增加增加为为30 3=90，在，在允许范围内允许范围内 不变！不变！(64,96)x2系数范围系数范围结果解释结果解释 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.00000

20、0 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000影子价格有意义时约束右端的允许变化范围影子价格有意义时约束右端的允许变化范围 原料最多增加原料最多增加10 时间最多增加时间最多增加53 35元可买到元

21、可买到1桶牛奶，每天最多买多少？桶牛奶，每天最多买多少？ 最多买最多买10桶桶!(目标函数不变目标函数不变)例例2 奶制品的生产销售计划奶制品的生产销售计划 在例在例1基础上深加工基础上深加工1桶桶牛奶牛奶 3千克千克A1 12小时小时 8小时小时 4公斤公斤A2 或或获利获利24元元/公斤公斤 获利获利16元元/公斤公斤 0.8千克千克B12小时小时,3元元1千克千克获利获利44元元/千克千克 0.75千克千克B22小时小时,3元元1千克千克获利获利32元元/千克千克 制订生产计划，使每天净利润最大制订生产计划，使每天净利润最大 30元可增加元可增加1桶牛奶，桶牛奶，3元可增加元可增加1小时

22、时间，应否投小时时间，应否投资？现投资资？现投资150元，可赚回多少？元，可赚回多少？50桶牛奶桶牛奶, 480小时小时 至多至多100公斤公斤A1 B1，B2的获利经常有的获利经常有10%的波动，对计划有无影响？的波动，对计划有无影响？1桶桶牛奶牛奶 3千克千克 A1 12小时小时 8小时小时 4千克千克 A2 或或获利获利24元元/千克千克 获利获利16元元/kg 0.8千克千克 B12小时小时,3元元1千克千克获利获利44元元/千克千克 0.75千克千克 B22小时小时,3元元1千克千克获利获利32元元/千克千克 出售出售x1 千克千克 A1, x2 千克千克 A2， x3千克千克 B1

23、, x4千克千克 B2原料原料供应供应 劳动劳动时间时间 加工能力加工能力 决策决策变量变量 目标目标函数函数 利润利润约束约束条件条件非负约束非负约束 0,61xx x5千克千克 A1加工加工B1， x6千克千克 A2加工加工B26543213332441624xxxxxxzMax50436251xxxx48022)(2)(4656251xxxxxx10051 xx附加约束附加约束 5380 x.x64750 x.x 模型求解模型求解 软件实现软件实现 LINGO 9.0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED

24、COST X1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32.000000 NO. ITERATIONS= 2 OBJECTI

25、VE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.0

26、00000 6) 0.000000 32.000000 NO. ITERATIONS= 2结果解释结果解释每天销售每天销售168 千克千克A2和和19.2 千克千克B1，不出售，不出售A1和和B2，利润利润3460.8（元）（元）8桶牛奶加工成桶牛奶加工成A1，42桶桶牛奶加工成牛奶加工成A2，将得到的将得到的24千克千克A1全部全部加工成加工成B1 除加工能力外均为紧约束除加工能力外均为紧约束结果解释结果解释 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3460.800 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 1.680000 X2 168

27、.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 3.160000 3) 0.000000 3.260000 4) 76.000000 0.000000 5) 0.000000 44.000000 6) 0.000000 32.000000增加增加1桶牛奶使利润增桶牛奶使利润增长长3.1612=37.925043)26251xxxx600334) 265

28、21xxxx4增加增加1小时时间使利小时时间使利润增长润增长3.26 30元可增加元可增加1桶牛奶，桶牛奶，3元可增加元可增加1小时时间，小时时间，应否投资？现投资应否投资？现投资150元，可赚回多少？元，可赚回多少？投资投资150元元增加增加5桶牛奶桶牛奶，可赚回可赚回189.6元元。（大于增加。（大于增加时间的利润增长）时间的利润增长）结果解释结果解释B1,B2的获利有的获利有10%的波动，对计划有无影响的波动，对计划有无影响 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT AL

29、LOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 24.000000 1.680000 INFINITY X2 16.000000 8.150000 2.100000 X3 44.000000 19.750002 3.166667 X4 32.000000 2.026667 INFINITY X5 -3.000000 15.800000 2.533334 X6 -3.000000 1.520000 INFINITY DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? YesB1获利下降获利下降10%，超，超出出X3 系数允许范围系数允许范围B

30、2获利上升获利上升10%，超，超出出X4 系数允许范围系数允许范围波动对计划有影响波动对计划有影响生产计划应重新制订：如将生产计划应重新制订：如将x3的系数改为的系数改为39.6计算，会发现结果有很大变化。计算，会发现结果有很大变化。 自来水输送与货机装运自来水输送与货机装运生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点，生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点，怎样安排输送方案使运费最小，或利润最大；怎样安排输送方案使运费最小，或利润最大；运输问题运输问题各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等限制，各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等限制，如何搭配装载，使获利最高，或装箱数量最少。如何搭配装

31、载，使获利最高，或装箱数量最少。其他费用其他费用: :450元元/千吨千吨 应如何分配水库供水量，公司才能获利最多？应如何分配水库供水量，公司才能获利最多？ 若水库供水量都提高一倍，公司利润可增加到多少？若水库供水量都提高一倍，公司利润可增加到多少？ 元元/千吨千吨甲甲乙乙丙丙丁丁A160130220170B140130190150C190200230/引水管理费引水管理费 自来水输送自来水输送收入：收入：900元元/千吨千吨 支出支出A：50B：60C：50甲：甲：30；50乙：乙：70；70丙：丙：10；20丁：丁：10；40水库供水量水库供水量(千吨千吨)小区基本用水量小区基本用水量(千

32、吨千吨)小区额外用水量小区额外用水量(千吨千吨)（以天计）（以天计）总供水量：总供水量：160确定送水方案确定送水方案使利润最大使利润最大问题问题分析分析A：50B：60C：50甲：甲：30；50乙：乙：70；70丙：丙：10；20丁：丁：10；40 总需求量总需求量(300)每个水库最大供水量都提高一倍每个水库最大供水量都提高一倍利润利润 = 收入收入(900) 其它费用其它费用( (450) 引水管理费引水管理费利润利润(元元/千吨千吨)甲甲乙乙丙丙丁丁A290320230280B310320260300C260250220/33323124232221141312112202502603

33、00260320310280230320290 xxxxxxxxxxxZMax供应供应限制限制B, C 类似处理类似处理50:A14131211xxxx10014131211xxxx问题讨论问题讨论 确定送水方案确定送水方案使利润最大使利润最大需求约束可以不变需求约束可以不变求解求解 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 88700.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 20.000000 X12 100.000000 0.000000 X13 0.000000 40.000000 X14 0.000000 20.000000

34、 X21 30.000000 0.000000 X22 40.000000 0.000000 X23 0.000000 10.000000 X24 50.000000 0.000000 X31 50.000000 0.000000 X32 0.000000 20.000000 X33 30.000000 0.000000 这类问题一般称为这类问题一般称为“运输问题运输问题”(Transportation Problem)总利润总利润 88700（元）（元） A(100)B(120)C(100)甲甲(30;50)乙乙(70;70)丙丙(10;20)丁丁(10;40)4010050305030如何

35、如何装运，装运，使本次飞行使本次飞行获利最大？获利最大？ 三个货舱三个货舱最大最大载载重重( (吨吨),),最大容积最大容积( (米米3 3) ) 货机装运货机装运 重量（吨）重量（吨）空间空间( 米米3/吨）吨）利润（元利润（元/吨）吨）货物货物1184803100货物货物2156503800货物货物3235803500货物货物4123902850三个货舱中实际载重必须与其最大三个货舱中实际载重必须与其最大载载重成相同比例重成相同比例 前仓：前仓：10；6800中仓：中仓：16；8700后仓：后仓：8；5300飞机平衡飞机平衡决策决策变量变量 xij-第第i 种货物装入第种货物装入第j 个货

36、舱的重量个货舱的重量( (吨）吨）i=1,2,3,4, j=1,2,3 (分别代表前、中、后仓分别代表前、中、后仓)模型假设模型假设 每种货物可以分割到任意小；每种货物可以分割到任意小；货机装运货机装运每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；多种货物可以混装，并保证不留空隙；多种货物可以混装，并保证不留空隙； 模型建立模型建立 货舱货舱容积容积 目标目标函数函数( (利润利润)约束约束条件条件 )(2850)(3500)(3800)(3100434241333231232221131211xxxxxxxxxxxxZMax68003905806504804

37、1312111xxxx870039058065048042322212xxxx530039058065048043332313xxxx货机装运货机装运模型建立模型建立 货舱货舱重量重量 1041312111xxxx1642322212xxxx843332313xxxx10；680016；87008；5300 xij-第第i 种货物装入第种货物装入第j 个货舱的重量个货舱的重量约束约束条件条件平衡平衡要求要求 81610433323134232221241312111xxxxxxxxxxxx货物货物供应供应 18131211xxx15232221xxx23333231xxx12434241xxx

38、货机装运货机装运模型建立模型建立 10；680016；87008；5300 xij-第第i 种货物装入第种货物装入第j 个货舱的重量个货舱的重量 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 121515.8 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 400.000000 X12 0.000000 57.894737 X13 0.000000 400.000000 X21 10.000000 0.000000 X22 0.000000 239.473679 X23 5.000000 0.000000 X31 0.000000 0.000000

39、X32 12.947369 0.000000 X33 3.000000 0.000000 X41 0.000000 650.000000 X42 3.052632 0.000000 X43 0.000000 650.000000 四舍五入：四舍五入：货物货物2：前仓：前仓10, ,后仓后仓5； 货物货物3: : 中仓中仓13, 后仓后仓3；货物货物4: : 中仓中仓3。货机装运货机装运模型求解模型求解 最大利润约最大利润约121516元元货物货物供应点供应点货舱货舱需求点需求点平衡要求平衡要求运输运输问题问题运输问题的扩展运输问题的扩展第七章第七章 差分方程模型差分方程模型 微分方程是建立连续

40、动态系统数学模型的微分方程是建立连续动态系统数学模型的很好方法但在经济管理或其它领域实际问题很好方法但在经济管理或其它领域实际问题中，大多数变量是以定义在整数集上的数列形中，大多数变量是以定义在整数集上的数列形式变化的，通常称为离散型变量差分方程就式变化的，通常称为离散型变量差分方程就是建立离散动态系统数学模型（描述离散型变是建立离散动态系统数学模型（描述离散型变量之间关系的模型）的有效方法本章介绍几量之间关系的模型）的有效方法本章介绍几个差分方程方法建模的例子个差分方程方法建模的例子差分方程简介差分方程简介 设函数设函数 ，当自变量，当自变量 t 依次取遍非负整数时，依次取遍非负整数时，相应

41、的函数值可以排成一个数列相应的函数值可以排成一个数列简记为简记为当自变量从当自变量从t 变到变到 t+1时，函数的改变量时，函数的改变量 yt+1-yt 称称为函数为函数 yt在在t点的点的一阶差分一阶差分，记为，记为一阶差分的差分称为一阶差分的差分称为二阶差分二阶差分，即，即以此类推。以此类推。( )tyf t(0),(1),( ),(1),fff tf t 011,ttyyy y1(0,1,)tttyyyt2121121()()()2tttttttttttyyyyyyyyyyy 例：求例：求yt=t2的一阶、二阶、三阶差分。的一阶、二阶、三阶差分。例：求例：求yt=3t2-t-2的一阶、二

42、阶、三阶差分。的一阶、二阶、三阶差分。 差分的四则运算法则：差分的四则运算法则：（1）（2）（3）（4）() ttcyc y() ttttyzyz1()ttttttyzzyyz1()ttttttttyzyyzzzz 含有未知函数含有未知函数 yt 的差分的方程称为的差分的方程称为差分方程差分方程，其，其一般形式为一般形式为或或例如：例如： 或或满足差分方程的函数称为该满足差分方程的函数称为该差分方程的解差分方程的解,如果解如果解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数，称为阶数，称为差分方程的通解。差分方程的通解。显然，显然， 和和 都是上例

43、方程的解。都是上例方程的解。 为方程的通解为方程的通解2( ,)0nttttF t yyyy12( ,)0tttt nG t y yyy12ttyy2ty2tyt2tytC2tytC 如果差分方程中所含未知函数及未知函数的各如果差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均为一次的，则称为阶差分均为一次的，则称为线性差分方程线性差分方程。其一般。其一般形式为形式为其特点是其特点是 都是一次的。都是一次的。1111( )( )( )( )t nt nntntya t yat ya t yf t 1,t nt ntyyy 一阶线性常系数差分方程的平衡点的稳定性一阶线性常系数差分方程的平衡点的稳定性

44、方程方程 的平衡点由的平衡点由 解的解的如果当如果当 时，时， ，则，则 是稳定的，否是稳定的，否则是不稳定的。则是不稳定的。 可以用变量代换将上述方程的稳定性问题化为可以用变量代换将上述方程的稳定性问题化为 的平衡点的平衡点 的稳定性问题。显的稳定性问题。显然，其解为然，其解为 ，当而且仅当，当而且仅当 时时方程的平衡点是稳定的。方程的平衡点是稳定的。 1ttyayb*1byat *tyy*yyayb10ttyay*0y 0()ttya y 1a 二阶线性常系数差分方程的平衡点的稳定性二阶线性常系数差分方程的平衡点的稳定性 考察齐次方程考察齐次方程 的平衡点的平衡点 的稳定性。的稳定性。 其

45、特征方程为其特征方程为 ，其根为，其根为易证，上述方程的通解为易证，上述方程的通解为 ，从而当，从而当且仅当且仅当 时方程的平衡点是稳定的。时方程的平衡点是稳定的。 非齐次方程平衡点的稳定性和齐次方程平衡点的非齐次方程平衡点的稳定性和齐次方程平衡点的稳定性相同。稳定性相同。 21120tttya ya y2120aa12, 1122tttycc121,1*0y 一阶非线性差分方程的平衡点的稳定性一阶非线性差分方程的平衡点的稳定性 方程方程 的平衡点由的平衡点由 解出。解出。 将方程右端在平衡点将方程右端在平衡点 作作Taylor展开，近似为展开，近似为 其平衡点还是其平衡点还是 。当。当 时上

46、述两个方程的时上述两个方程的平衡点的稳定性相同。所以，当平衡点的稳定性相同。所以，当 时平衡时平衡点是稳定的，当点是稳定的，当 平衡点是不稳定的。平衡点是不稳定的。 1()ttyf y*()1fy( )yf y*y*1()()()ttyf yfyyy*y*()1fy*()1fy减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动背背景景 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分分析析 体重变化由体内能量守恒破坏引起体重变

47、化由体内能量守恒破坏引起 饮食（吸收热量）引起体重增加饮食（吸收热量）引起体重增加 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少代谢和运动（消耗热量）引起体重减少 体重指数体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 超重超重; BMI30 肥胖肥胖.人体摄入的热量超过机体所消耗的热量，过多的热量在体内转变为脂肪并大量蓄积起来就会引起肥胖模型假设模型假设1）体重增加正比于吸收的热量）体重增加正比于吸收的热量平均每平均每吸收吸收8000千卡热量增加体重千卡热量增加体重1千克；千克；2）正常代谢引起的体重减少正比于体重）正常代谢引起的体重减少正比于体重每周每公斤体重消耗每周每公斤体重消耗2

48、00千卡千卡 320千卡千卡(因人而异因人而异),相当于相当于70千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡 3200千卡；千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；式有关； 4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千千克，每周吸收热量不要小于克，每周吸收热量不要小于10000千卡。千卡。某甲身高某甲身高1.7m，体重，体重100千克，目前每周吸收千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。千克。第一阶段：每周减肥第一阶段：每

49、周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（少，直至达到下限（10000千卡）；千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。1）在基本上不运动的情况下安排一个两阶段计划。）在基本上不运动的情况下安排一个两阶段计划。减肥计划减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案。）给出达到目标后维持体重的方案。)()1()()1(kwkckwkw千卡）千克 /(80001 确定某甲的代谢消耗系数确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消

50、耗即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡千卡基本模型基本模型w(k) 第第k周末体重周末体重c(k) 第第k周吸收热量周吸收热量 代谢消耗系数代谢消耗系数(因人而异因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收每周吸收20000千卡千卡 w=100千克不变千克不变wcww025. 0100800020000wc 第一阶段第一阶段: w(k)每周减每周减1千克千克, c(k)减至下限减至下限10000千卡千卡1) 1()(kwkwk20012000 (1)( )(1)( )w kw kc kw k第一阶段第一阶段10周周, 每周减每周减1千克，第千克，第10周末体重周末体重90千克千克10kkwkw)0()()1(1)0()1(kwkc80001025.09, 1 , 0,20012000) 1(kkkc吸收热量为吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划1)(1)1(kwkc10