2.1函数的极值与导数课时ppt课件

1、1.3.2 函数的极值函数的极值 与导数与导数aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0 ,那么函那么函数数y=f(x) 在为这个区间内的增函数在为这个区间内的增函数;如果在这个区间内如果在这个区间内f (x)0那么函数那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数在为这个区间内的减函数.一、知识回顾一、知识回顾: :如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 ,那么那么 为常数为常数.0)( xf)(xf求函数单调区间的步骤求函数单调区间的步骤第第1 1步：求函数的导函数；步：求函数的导函数；第第2 2步：求导函数的零点步：求导函数的零点( (如果导函数在定义如果导函数

2、在定义域上非正或非负域上非正或非负, ,直接判断增减直接判断增减) )；第第3 3步：用导函数的零点将函数的定义域分步：用导函数的零点将函数的定义域分成若干个区间成若干个区间( (导函数不存在的点也要作为导函数不存在的点也要作为划分区间的端点考察划分区间的端点考察) )；第第4 4步：通过导函数在各个区步：通过导函数在各个区间的符号确定函数单调区间间的符号确定函数单调区间. .特别注意特别注意: :原函数的定义域原函数的定义域关注用导数本质及其几何意义解决问题关注用导数本质及其几何意义解决问题 思考思考1： 观察下图，当观察下图，当t=t0时时,运动员距水面运动员距水面的高度最大的高度最大,那

3、么函数那么函数 ht在此点的导数在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？应地，导数的符号有什么变化规律？关注用导数本质及其几关注用导数本质及其几何意义解决问题何意义解决问题 问题问题2：我们知道正弦函数的五点作图法是：我们知道正弦函数的五点作图法是利用函数的五个关键点作出图形的利用函数的五个关键点作出图形的,利用图象利用图象的关键点与导数的关系的关键点与导数的关系,你能作出函数你能作出函数 的图象吗的图象吗?32267yxx26126 (2)yxxx x 求导并确定单调区间。确 定 图 象 的 关 键 点 ：（ 0

4、， 7） ， （ 2， -1）画函数的草图。 上述作图中，图象的关键点十分重要，这上述作图中，图象的关键点十分重要，这些关键点与函数的导数有何联系？我们将些关键点与函数的导数有何联系？我们将进行研究进行研究 x(-,0) 0(0,2) 2 (2,+) y + 0 - 0 + y 7 -1 二、新课二、新课函数的极值函数的极值: :o oa aX1X1X2X2X3X3X4X4b bax xy y)(4xf)(1xf如图如图: 探索思考：探索思考：1234f ( x )xxxx函数在 、等关键点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ y=f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，在这些点的

5、导数值是多少？在这些点附近，y=f(x)的导数的符号有什么规律？的导数的符号有什么规律？ o oa aX1X1X2X2X3X3X4X4b bax x)(4xf)(1xf如图如图: 探索思考：探索思考：函数在函数在 X2处的函数值比它附近所有各点的函数处的函数值比它附近所有各点的函数值都小，值都小， f (X2)=0，而且在，而且在 X=X2的左侧的左侧f (x)0.我们把点我们把点X1叫做叫做y=f(x)的极大值点的极大值点,f (X1)叫函数叫函数y=f(x)的极大值的极大值;点点 X2叫做叫做y=f(x)的极小值点的极小值点,f (X2)叫函数叫函数y=f(x)的极小值的极小值; 以以X1

6、 ，X2两点为例：函数在两点为例：函数在X1 处处的函数值比它附近所有各点的函数值的函数值比它附近所有各点的函数值都大，都大， f(X1)=0,而且在而且在 X=X1的左侧的左侧f (x)0，右侧，右侧f (x)0 右侧右侧 f/(x)0 , 那么那么f(x0)是极大值是极大值; (2):如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 f/(x)0 , 那么那么f(x0)是极小值是极小值.解方程解方程f/(x)=0.当当f/(x)=0时时:注意：极值可能在函数不可导的点取到注意：极值可能在函数不可导的点取到.如：如：230f ( x )xx 在在有有极极小小值值。 x(-,-a) -a(-a,0) (0

7、,a) a(a,+) f(x) + 0 - - 0 + f(x) 极大值极大值-2a 极小值极小值2a 故当故当x=-a时时,f(x)有极大值有极大值f(-a)=-2a;当当x=a时时,f(x)有极有极小值小值f(a)=2a.（注：利用奇函数求更易）（注：利用奇函数求更易）解解:函数的定义域为函数的定义域为),0()0 ,( .)(1)(222xaxaxxaxf 令令 ,解得解得x1=-a,x2=a(a0).0)( xf当当x变化时变化时, ,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:)(xf 2(01)af xxax补充例题 ：求函数的极值。考虑：函数的极大值一定大于极小值吗？考虑：函数的极

8、大值一定大于极小值吗？补充例题补充例题2:已知函数已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在在x=1处有极处有极值为值为10,求求 a、b的值的值.解解: =3x2+2ax+b=0有一个根有一个根x=1,故故3+2a+b=0.)(xf 又又f(1)=10,故故1+a+b+a2=10.由由、解得解得 或或.33114 baba当当a=-3,b=3时时, ,此时此时f(x)在在x=1处无处无极值极值,不合题意不合题意.0) 1( 3)(2 xxf当当a=4,b=-11时时,).1)(113(1183)(2 xxxxxf-3/11x1时时, ,此时此时x=1是极是极值点值点.0)(0)( xfxf

9、从而所求的解为从而所求的解为a=4,b=-11.练习练习3:求函数求函数 的极值的极值.216xxy 解解:.)1 ()1 ( 6222xxy 令令 =0,解得解得x1=-1,x2=1.y 当当x变化时变化时, ,y的变化情况如下表的变化情况如下表:y x(-,-1) -1(-1,1) 1 (2,+) y - 0 + 0 - y 极大值极大值-3 极小值极小值3 因而因而,当当x=-1时有极大值时有极大值,并且并且,y极大值极大值=3;而而,当当x=1时有极小值时有极小值,并且并且,y极小值极小值=- 3.练习练习2求下列函数的极值点：3x1 (0)31 (0)2xx.f ( x )()x 2

10、31.f ( x )x 2 (x(0,2.f ( x )sinx) 补充例补充例4:已知函数已知函数f(x)=-x3+ax2+b. (1)若函数若函数f(x)在在x=0,x=4处取得极值处取得极值,且极小且极小值值 为为-1,求求a、b的值的值. (2)假设假设 ,函数函数f(x)图象上的任意一点图象上的任意一点的切线的切线 斜率为斜率为k,试讨论试讨论k-1成立的充要条件成立的充要条件 . 1 , 0 x解解:(1)由由 得得x=0或或x=2a/3.故故4a/3=4, a=6.023)(2 axxxf由于当由于当x0时时, 故当故当x=0时时, f(x)达到极小值达到极小值f(0)=b,所以

11、所以b=-1. 0)(, 0)( xfxf(2)等价于当等价于当 时时,-3x2+2ax-1恒成立恒成立,即即g(x)= 3x2-2ax-10对一切对一切 恒成立恒成立. 1 , 0 x 1 , 0 x由于由于g(0)=-10,故只需故只需g(1)=2-2a0,即即a1.反之反之,当当a1时时,g(x)0对一切对一切 恒成立恒成立. 1 , 0 x所以所以,a1是是k-1成立的充要条件成立的充要条件. 解法解法2:分离变量也可通过函数值域求出分离变量也可通过函数值域求出a的范围的范围.(2)等价于当等价于当 时时,-3x2+2ax-1恒成立恒成立,即即2ax3x2-1恒成立，显然当恒成立，显然当x=0时，不等式恒成立时，不等式恒成立当当 时，不等式化为时，不等式化为 令令 1 , 0 x01x 3122axx 312