电路分析第09章_含有互感的电路分析

1、 第第9章章 有互感的电路有互感的电路9. 1 互感和互感电压互感和互感电压9. 2 互感线圈的串联和并联互感线圈的串联和并联9. 3 有互感的电路的计算有互感的电路的计算9. 4 全耦合变压器和理想变压器全耦合变压器和理想变压器9. 5 变压器的电路模型变压器的电路模型 第第9章章 有互感的电路有互感的电路9. 1 互感和互感电压互感和互感电压9. 2 互感线圈的串联和并联互感线圈的串联和并联9. 3 有互感的电路的计算有互感的电路的计算9. 4 全耦合变压器和理想变压器全耦合变压器和理想变压器9. 5 变压器的电路模型变压器的电路模型9. 1 互感和互感电压互感和互感电压一、一、 互感和互

2、感电压互感和互感电压+u11+u21i1 11 21N1N2当线圈当线圈1中通入电流中通入电流i1时，在线圈时，在线圈1中产生磁通中产生磁通(magnetic flux)，同时，有部分磁通穿过临近线圈，同时，有部分磁通穿过临近线圈2。当。当i1为时变电流为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。当当i1、u11、u21方向与方向与 符合右手定则时，根据电磁感符合右手定则时，根据电磁感应定律和楞次定律：应定律和楞次定律：tNtutNtudd dd dddd21221211111111 当线圈周围无铁磁物质当线圈周围无铁磁物质

3、(空心线圈空心线圈)时，有时，有 ) ( dd ) ( dd121211212111111111iMtiMuiLtiLu L1：线圈：线圈1的自感系数；的自感系数；M21：线圈：线圈1对线圈对线圈2的互感系数。的互感系数。(self-inductance coefficient) (mutual inductance coefficient)单位：单位：Hu11：自感电压；：自感电压； u21：互感电压。：互感电压。 ：磁链：磁链 (magnetic linkage)同理，当线圈同理，当线圈2中通电流中通电流i2时会产生磁通时会产生磁通 22， 12 。 i2为为时变时，线圈时变时，线圈2和线

4、圈和线圈1两端分别产生感应电压两端分别产生感应电压u22 ， u12 。+u12+u22i2 12 22N1N2)( dddd dd)( dd dddd2222222222222212122121211212iLtiLtNtuiMtiMtNtu 可以证明可以证明：M12= M21= M。当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压：含自感电压和互感电压：tiLtiMuuutiMtiLuuudd dd dd dd2212221221112111 在正弦交流电路中，其相量形式的方程为在正弦交流电路中，其相量形式的方程为2212

5、12212111 jjjj ILIMUIMILU 互感的性质互感的性质从能量角度可以证明，对于线性电感从能量角度可以证明，对于线性电感 M12=M21=M互感系数互感系数 M 只与两个线圈的几何尺寸、匝数只与两个线圈的几何尺寸、匝数 、 相互位置相互位置 和周围的介质磁导率有关，如其他条件不变时，有和周围的介质磁导率有关，如其他条件不变时，有M N1N2 （L N2） 耦合系数耦合系数 (coupling coefficient)k：k 表示两个线圈磁耦合的紧密程度。表示两个线圈磁耦合的紧密程度。全耦合全耦合: s1 = s2=021defLLMk 即即 11= 21 ， 22 = 121 ,

6、 , , 2122121122121121212122222211111 k LLMLLMM iNMiNMiNLiNL可以证明，可以证明，k 1。二、互感线圈的二、互感线圈的同名端同名端具有互感的线圈两端的电压包含自感电压和互感电具有互感的线圈两端的电压包含自感电压和互感电压。表达式的符号与参考方向和线圈绕向有关。对自感压。表达式的符号与参考方向和线圈绕向有关。对自感电压，当电压，当u, i 取关联参考方向，取关联参考方向，i与与 符合右螺旋定则，符合右螺旋定则，其表达式为其表达式为 dddd dd 111111111tiLtNtu 上式说明，对于自感电压由于电压电流为同一线圈上的，上式说明，

7、对于自感电压由于电压电流为同一线圈上的，只要参考方向确定了，其数学描述便可容易地写出，可只要参考方向确定了，其数学描述便可容易地写出，可不用考虑线圈绕向。对线性电感，用不用考虑线圈绕向。对线性电感，用u,i描述其特性，当描述其特性，当u,i取关联方向时，符号为正；当取关联方向时，符号为正；当u,i为非关联方向时，符为非关联方向时，符号为负。号为负。对互感电压，因产生该电压的的电流在另一线圈上，对互感电压，因产生该电压的的电流在另一线圈上，因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在因此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在电路分析中显得很不方便。电路分析中显得很不方便。+u11+

8、u21i1 11 0N1N2+u31N3 stiMutiMudd dd1313112121 引入同名端可以解决这个问题。引入同名端可以解决这个问题。同名端同名端：当两个电流分别从两个线圈的对应端子流入：当两个电流分别从两个线圈的对应端子流入 ，其所，其所产生的磁场相互加强时，则这两个对应端子称为同名端。产生的磁场相互加强时，则这两个对应端子称为同名端。 * 同名端表明了线圈的相互绕法关系。同名端表明了线圈的相互绕法关系。确定同名端的方法：确定同名端的方法：(1) 当两个线圈中电流同时由同名端流入当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出或流出)时，两时，两个电流产生的磁场相互增强。个电流产生的磁

9、场相互增强。(2) 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。会引起另一线圈相应同名端的电位升高。 i1122*112233* 例例. 同名端的实验测定：同名端的实验测定：i1122*R SV+电压表正偏。电压表正偏。0 , 0 22 dtdiMudtdi如图电路，当闭合开关如图电路，当闭合开关S时，时，i增加，增加，当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要确定当两组线圈装在黑盒里，只引出四个端线组，要确定其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。其同名端，就可以利用上面的结论来加以判断。当断开当断开S时，

10、如何判定？时，如何判定？三、由同名端及三、由同名端及u,i参考方向确定互感线圈的特性方程参考方向确定互感线圈的特性方程有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。(参考参考前图，标出同名端得到下面结论前图，标出同名端得到下面结论)。tiMudd121 tiMudd121 i1*u21+Mi1*u21+MtiMtiLudddd2111 tiLtiMudddd2212 2111jjIMILU 2212jjILIMU i1*L1L2+_u1+_u2i2M*L1L2+_u

11、1+_u2i2Mi1tiMtiLudddd2111 tiLtiMudddd2212 时域形式时域形式：*j L1j L2+_j M1 U+_2 U1 I2 I在正弦交流电路中，其在正弦交流电路中，其相量形式相量形式的方程为的方程为注意：注意：有三个线圈，相互两两之间都有磁耦合，每对耦有三个线圈，相互两两之间都有磁耦合，每对耦合线圈的同名端必须用不同的符号来标记。合线圈的同名端必须用不同的符号来标记。(1) 一个线圈可以不止和一个线圈有磁耦合关系；一个线圈可以不止和一个线圈有磁耦合关系；(2) 互感电压的符号有两重含义。互感电压的符号有两重含义。同名端；同名端；参考方向；参考方向；互感现象的利与

12、弊：互感现象的利与弊：利用利用变压器：信号、功率传递变压器：信号、功率传递避免避免干扰干扰克服：合理布置线圈相互位置减少互感作用。克服：合理布置线圈相互位置减少互感作用。9. 2 互感线圈的串联和并联互感线圈的串联和并联一、互感线圈的串联一、互感线圈的串联1. 顺串顺串tiLRitiMLLiRRiRtiMtiLtiMtiLiRudddd)2()( dddddddd21212211 MLLLRRR2 2121 i*u2+MR1R2L1L2u1+u+iRLu+2. 反串反串MLLLRRR2 2121 i*u2+MR1R2L1L2u1+u+iRLu+tiLRitiMLLiRRiRtiMtiLtiMt

13、iLiRudddd)2()( dddddddd21212211 )(2121LLM 互感不大于两个自感的算术平均值。互感不大于两个自感的算术平均值。02 21 MLLL* 顺接一次，反接一次，就可以测出互感：顺接一次，反接一次，就可以测出互感：4反反顺顺LLM * 全耦合全耦合 21LLM 221212121)(22LLLLLLMLLL 当当 L1=L2 时时 , M=L4M 顺接顺接0 反接反接L=互感的测量方法：互感的测量方法：在正弦激励下：在正弦激励下：*+R1R2j L1+j L21 U2 Uj M U I )(j)(2121IMLLIRRU+ I 1IR 1jIL jIM 2IR 2

14、jIL jIM1 U2 U U I 1IR 1jIL jIM 2IR 2jIL jIM1 U2 U U相量图相量图：(a) 正串正串(b) 反串反串1. 同名端在同侧同名端在同侧tiMtiLudddd211 tiMLLMLLudd2)(21221 0 2)(21221 MLLMLLLeqi = i1 +i2 解得解得u, i的关系：的关系：二、互感线圈的并联二、互感线圈的并联*Mi2i1L1L2ui+tiMtiLudddd122 如全耦合：如全耦合：L1L2=M2当当 L1 L2 ，Leq=0 (物理意义不明确物理意义不明确)L1=L2 ， Leq=L (相当于导线加粗，电感不变相当于导线加粗

15、，电感不变) 故故21LLM 互感小于两元件自感的几何平均值。互感小于两元件自感的几何平均值。0 2)(21221 MLLMLLLeq2. 同名端在异侧同名端在异侧tiMtiLudddd211 tiMLLMLLudd2)(21221 0 2)(21221 MLLMLLLeqi = i1 +i2 解得解得u, i的关系：的关系：*Mi2i1L1L2ui+tiMtiLudddd122 三、互感消去法三、互感消去法1. 去耦等效去耦等效(两电感有公共端两电感有公共端)*j L1 I1 I2 I123j L2j M*j (L1M) I1 I2 I123j (L2M)j M21113 jj IMILU1

16、2223 jj IMILU21 III整理得整理得 j)(j1113IMIMLU j)(j2223IMIMLU(a) 同名端接在一起同名端接在一起*j L1 I1 I2 I123j L2j Mj (L1+M) I1 I2 I123j (L2+M) j M21113 jj IMILU12223 jj IMILU21 III整理得整理得 j)(j1113IMIMLU j)(j2223IMIMLU(b) 非非同名端接在一起同名端接在一起2. 受控源等效电路受控源等效电路2111 jj IMILU1222 jj IMILU 2112212221 jjjj1UULMMLIILMMLII2 I+1 UM1

17、L2 U1 I+2 UM2L1 U )(j ),()j (2212212MLLMLL j L11 I2 Ij L2+2 j IM1 j IM+2 U+1 U*j L11 I2 Ij L2j M+2 U+1 U两种等效电路的特点两种等效电路的特点：(1) 去耦等效电路简单，等值电路与参考方向无关，但去耦等效电路简单，等值电路与参考方向无关，但必须有公共端；必须有公共端；(2) 受控源等效电路，与参考方向有关，不需公共端。受控源等效电路，与参考方向有关，不需公共端。9. 3 有互感的电路的计算有互感的电路的计算*j L11 I2 Ij L2j M+S UR1R2Z=R+jXS2111 j)j( U

18、IMILR0)j(j2221 IZLRIM空心变压器：空心变压器：222111Sin22211S1)( )( ZMZIUZZMZUI Z11=R1+j L1， Z22=(R2+R)+j( L2+X)1 I+S UZ11222)(ZMlllXRXRXMXRRMXRMZMZj jjjj)(22222222222222222222222222222 Zl= Rl+j Xl：副边对原边的引入阻抗。：副边对原边的引入阻抗。引入电阻引入电阻 2222222222XRRMRl引入电抗引入电抗 2222222222XRXMXl负号反映了副边的感性阻抗负号反映了副边的感性阻抗反映到原边为一个容性阻抗反映到原边为

19、一个容性阻抗11in2 , , 0ZZI 即副边开路即副边开路当当liZZZI 112 , 0这说明了副边回路对初级回路的影响可以用引入阻抗这说明了副边回路对初级回路的影响可以用引入阻抗来考虑。从物理意义讲，虽然原副边没有电的联系，但来考虑。从物理意义讲，虽然原副边没有电的联系，但由于互感作用使闭合的副边产生电流，反过来这个电流由于互感作用使闭合的副边产生电流，反过来这个电流又影响原边电流电压。又影响原边电流电压。从能量角度来说从能量角度来说 :不论变压器的绕法如何，不论变压器的绕法如何，恒为正恒为正 , 这表示电路电阻吸收功这表示电路电阻吸收功率，它是靠原边供给的。率，它是靠原边供给的。22

20、22222222XRRMRl 电源发出有功电源发出有功 = 电阻吸收有功电阻吸收有功 = I12(R1+Rl)I12R1 消耗在原边；消耗在原边；I12Rl 消耗在付边，由互感传输。消耗在付边，由互感传输。1122211S2222211S2)(1j)(j ZMZZUMZZMZUMI 同样可解得：同样可解得：2 I+oc UZ22112)(ZM11Soc jZUMU 112)(ZM原边对副边的引入阻抗。原边对副边的引入阻抗。副边吸收的功率：副边吸收的功率：2222222221222222RXRIMRI 2212jZIMI 22222212 XRMII 空心变压器副边的等效电路，同样可以利用戴维南

21、定理求得。空心变压器副边的等效电路，同样可以利用戴维南定理求得。例例1. 已知已知 US=20 V , 原边等效阻抗原边等效阻抗 Zl=10j10 .求求: ZX 并求负载获得的有功功率并求负载获得的有功功率.10j42222 XlZZMZ 8 . 9 j2 . 0 XZ此时负载获得的功率：此时负载获得的功率： W101010202 lRRPP）（引引 W104 , *2S11 RUPZZl实际是最佳匹配：实际是最佳匹配：解：解：*j10 2 Ij10 j2+S U10 ZX+S U10+j10 Zl=10j10 例例2. L1=3.6H , L2=0.06H , M=0.465H , R1=

22、20 , R2=0.08 , RL=42 , 314 314rad/s,V 0115o U. , :21II求求法一法一：回路法。：回路法。法二法二：空心变压器原边等效电路。：空心变压器原边等效电路。 A135. 0=j=o2212ZIMI1131j+20=j+=1111LRZ 85.18+08.42=j+=2222jLRRZL )1 .24(464o222 ZXZMl A)9 .64(5 .110o11S1 lZZUI*j L11 I2 Ij L2j M+S UR1R2RL1 I+S UZ11222)(ZMbI例例3.支路法、回路法：方程较易列写，因为互感电压可以直接支路法、回路法：方程较易

23、列写，因为互感电压可以直接计入计入KVL方程中。方程中。分析：分析：节点法：方程列写较繁，因为与有互感支路所连接的节点节点法：方程列写较繁，因为与有互感支路所连接的节点电压可能是几个支路电流的多元函数，不能以节电压可能是几个支路电流的多元函数，不能以节点电压简单地写出有互感的支路点流的表达式。点电压简单地写出有互感的支路点流的表达式。 关键：正确考虑互感电压作用，要注意表达式中的正负号，关键：正确考虑互感电压作用，要注意表达式中的正负号，不要漏项。不要漏项。aIM12+_+_1SU2SU* M23M13L1L2L3Z1Z2Z31I2I3IS133223113333132121111 )jj j

24、 ( )jj j ( UIZIMIMILIMIMILIZS233223113333231122222 )jj j ( )jj j ( UIZIMIMILIMIMILIZS1331332231211311 )j j ( )jj ()j j( UIZMLIMMIMLZS2332332232211312 )j j ( )j j()jj ( UIZMLIMLZIMM支路法：支路法：整理，得整理，得321 III321 III回路法：回路法：S1ba3b23a13ba3ba13b12a1a1 )()jj)( j )(jj j UIIZIMIMIILIIMIMILIZ2Sba3b23a13ba3ba23a

25、12b2b2 )()jj)(j )(jjj UIIZIMIMIILIIMIMILIZS1b32313123a331311 )jjj j( ) jj2 j( UIZMMMLIZLMLZ2Sb332322a32313123 ) jj2 j( )jjj j( UIZLMLZIZMMML此题可先作出去耦等效电路，再列方程此题可先作出去耦等效电路，再列方程(一对一对消一对一对消):M12* M23M13L1L2L3* M23M13L1M12L2M12L3+M12L1M12 M13 +M23L2M12 +M13 M23L3+M12 M13 M232111 j j IMILU1222 j j IMILU9.

26、 4 全耦合变压器和理想变压器全耦合变压器和理想变压器*j L11 I2 Ij L2j M+2 U+1 UMILUIj j2221 21222211j)j(UMLIMILUMLU )( 22221221NLUnUNNULL 1.全耦合变压器全耦合变压器 (transformer) 21UnU 22111j1InULI 由此得全耦合变压器的等值电路图：由此得全耦合变压器的等值电路图：*j L11 I2 I+2 U+1 Un : 1理想变压器理想变压器当当L1 , L2 ，L1/L2 比值不变比值不变 (磁导率磁导率m m ) , 则有则有ZnIUnInUnIU22222211)( /1 (a)

27、阻抗变换性质阻抗变换性质 2. 理想变压器理想变压器 (ideal transformer)： 21UnU 211InI *1 I2 I+2 U+1 Un : 1理想变压器的性质：理想变压器的性质：*1 I2 I+2 U+1 Un : 1Z1 I+1 Un2Z (b) 功率性质：功率性质： 理想变压器的特性方程为代数关系，因此无记忆作用。理想变压器的特性方程为代数关系，因此无记忆作用。 21nuu 211ini *+n : 1u1i1i2+u20)(111112211 niuniuiuiup由此可以看出，理想变压器既不储能，也不耗能，由此可以看出，理想变压器既不储能，也不耗能，在电路中只起传递

28、信号和能量的作用。在电路中只起传递信号和能量的作用。例例1.已知电源内阻已知电源内阻RS=1k ，负载电阻，负载电阻RL=10 。为使。为使RL上获得最大功率，求理想变压器的变比上获得最大功率，求理想变压器的变比n。* *n : 1RL+uSRSn2RL+uSRS当当 n2RL=RS时匹配，即时匹配，即10n2=1000 n2=100， n=10 .例例2.1 I2 I*+2 U+1 U1 : 1050 +V010o 1 .2 U求求方法方法1：列方程：列方程 10121UU 2110II o110101 UI05022 UI解得解得V033.33o2 U方法方法2：阻抗变换：阻抗变换V010

29、0 1010oS1oc UUU0 , 012 II1 I2150)101(2 +1 U+V010o 1 V 0310212/11010oo1 UV033.33 10o112 UUnU方法方法3：戴维南等效：戴维南等效1 I2 I* *+oc U+1 U1 : 10+V010o 1 :ocU求求求求R0：* *1 : 101 R0R0=102 1=100 戴维南等效电路：戴维南等效电路：+2 U+V0100o 100 50 V033.3350501000100oo2 U例例3.3121 6 ,5 UUUU理想变压器副边有两个线圈，理想变压器副边有两个线圈，变比分别为变比分别为5:1和和6:1。求

30、原边等效电阻求原边等效电阻R。321 6151 III561451156455614516151222121132132111 UUUUUUIIUIUR*+1 U+5 : 14 *6 : 15 1 I2 I3 I2 U+3 U解：解：R100 180 3 .64180/100 R(根据根据)9. 5 变压器的电路模型变压器的电路模型实际变压器是有损耗的，也不可能全耦合，即实际变压器是有损耗的，也不可能全耦合，即 L1，L2 , k 1。除了用具有互感的电路来分析计算以外，还。除了用具有互感的电路来分析计算以外，还常用含有理想变压器的电路模形来表示。常用含有理想变压器的电路模形来表示。一、理想变

31、压器一、理想变压器(全耦合，无损，全耦合，无损，m m= 线性变压器线性变压器) 21UnU 211InI 21nuu 211ini * *+n : 1i1i2u1u2二、全耦合变压器二、全耦合变压器(k=1，无损，无损 ，m m， 线性线性)与理想变压器不同之处是要考与理想变压器不同之处是要考虑自感虑自感L1 、L2和互感和互感M。21/LMnML *j L11 I2 Ij L2j M+2 U+1 U 21UnU 22111 j1InULI 全耦合变压器的等值电路图全耦合变压器的等值电路图*j L11 I2 I+2 U+1 Un : 1理想变压器理想变压器L1：激磁电感：激磁电感 (magnetizing inductance ) 三、无损非全耦合变压器三、无损非全耦合变压器(忽略损耗，忽略损耗，k 1，m m， 线性线性) 21i1i2+u1u2 12 1s 2sN1N2ttttud dd