哈工大控制工程课件5

1、1HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析第五章第五章 线性系统的频域分析线性系统的频域分析5.1频率特性的概念5.2典型环节的频率特性5.4乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性5.3系统的开环频率特性5.5 利用开环频率特性分析系统性能5.6 利用闭环频率特性分析系统性能2HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析本章重点1.开环频率特性的绘制(包括极坐标图和对数坐标图)；2.乃奎斯特稳定性判据及其在Bode图中的

2、应用；3.对数频率特性和闭环系统性能的关系；4.开环频率特性指标；5.闭环频率特性指标。3HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析本章难点 开环频率特性的绘制； 乃奎斯特判据的原理及其应用； 剪切频率及相角、幅值裕度的求取； 二阶系统频率特性指标和时域指标的换算； 典型二型系统频、时域指标的定性关系。4HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析时域方法准确、直观。但用解析法求解系统的时域方法准确、直观。但用解析法求

3、解系统的时域响应不易。时域响应不易。正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态分量正弦输入信号的作用下，系统输出的稳态分量称为频率响应。称为频率响应。系统频率响应与正弦输入信号的关系称为频率系统频率响应与正弦输入信号的关系称为频率特性。特性。是一种图解分析法，不仅可以反映系统的稳态性是一种图解分析法，不仅可以反映系统的稳态性能，而且可以用来研究系统的稳定性的暂态性能。能，而且可以用来研究系统的稳定性的暂态性能。具有明确的物理意义。数学基础是傅利叶变换。具有明确的物理意义。数学基础是傅利叶变换。5.1频率特性的概念频率特性的概念设系统结构如图，设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。由劳斯判据知系统稳定

4、。给系统输入一个给系统输入一个幅值不变幅值不变频率频率不断增大不断增大的正弦，的正弦，Ar=1 =0.5=1=2=2.5=4曲线如下曲线如下:40不不结论结论给给稳定稳定的系统输入一个正弦，其的系统输入一个正弦，其稳态输出稳态输出是与输入是与输入同频率同频率的正弦，幅值随的正弦，幅值随而而变变，相角，相角也是也是的函数。的函数。AB相角问题相角问题 稳态输出稳态输出迟后于迟后于输入的输入的角度为：角度为：该角度与该角度与有有BA360o=AB该角度与初始该角度与初始关系关系 为为(),角度无关角度无关 ,7HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五

5、章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析111111)()(12sRCsCsRCssUsU例：如图所示电气网络的传递函数为例：如图所示电气网络的传递函数为若输入为正弦信号：若输入为正弦信号：tUumsin11其拉氏变换为：其拉氏变换为：2211)(sUsUm221211)(sUssUm输出拉氏变换为：输出拉氏变换为：其拉氏反变换为：其拉氏反变换为：)arctansin(112212212tUeUumtm一、频率特性的定义一、频率特性的定义8HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析其稳态响应为：其稳态

6、响应为：)arctansin(1lim2212tUumt111sin()11mUtjj上式表明：上式表明：对于正弦输入，其输入的稳态响应仍然是一个同频率正弦信号。但幅值降低，相角滞后。输入输出为正弦函数时，可以表示成复数形式，设输入输出为正弦函数时，可以表示成复数形式，设输入为输入为XeXej0 j0，输出为，输出为YeYej j，则输出输入之复数比为：，则输出输入之复数比为：)(0)(jjjjeAeXYXeYe)(A幅值频率特性幅值频率特性)(相角频率特性相角频率特性9HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的

7、频域分析01jmeUjjmejU11111频率特性的定义：频率特性的定义：线性定常系统（或元件）的频率特性是指：在零线性定常系统（或元件）的频率特性是指：在零初始条件下稳态输出的正弦信号与输入正弦信号的复初始条件下稳态输出的正弦信号与输入正弦信号的复数比。数比。例题中输入信号的复数表示为：例题中输入信号的复数表示为：例题中输出信号的复数表示为：例题中输出信号的复数表示为：它们之比为：它们之比为：)()()(11)()(AeAjjGj221111)(jAtanarg11)(j10HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性

8、系统的频域分析010.8900.7070.4470.3160.2430.19600-26.5-45.0-63.4-71.6-76.0-78.7-90)(1srad)(A)(2112345幅频特性和相频特性数据jjG11)(11HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析频率特性频率特性G(j)也可以表示成实部和虚部的复数形式。也可以表示成实部和虚部的复数形式。)()()(jQPjG)(cos)()(AP)(sin)()(AQ22)()()(QPA)()(arctan)(PQ二、频率特性与传递函数的关系二、频

9、率特性与传递函数的关系12HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析线性定常系统的传递函数表达式为线性定常系统的传递函数表达式为)()()()()()()()(21npspspssNsDsNsRsCsG输入为输入为r(t)=Msin(t)，22)(sMsR2221)()()()(sMpspspssNsCn若无重极点，上式可写为若无重极点，上式可写为niiipsajsbjsbsC121)(13HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线

10、性系统的频域分析tpniijjieaebebtc121)(若系统稳定，若系统稳定，pi都具有负实部，则稳态分量为：都具有负实部，则稳态分量为：jjtebebtc21)(limjMjGjsjsjsMsGbjs2)()()()(1jMjGjsjsjsMsGbjs2)()()()(2G(jG(j) )是一复数，可写为是一复数，可写为)()()(jeAjG)()()(jeAjG14HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析)(1)(2jeAjMb)(2)(2jeAjMb jeeMAebebtctjtjtjtjss

11、2)()()()(21)(sin)(tMA得到线性系统的幅频特性和相频特性：得到线性系统的幅频特性和相频特性：)()(jG)()(jGA频率特性和传递函数的关系为频率特性和传递函数的关系为jssGjG)()(15HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析系统的频率特性也是输入信号的氏变换和输出信号的傅氏变换之比。)()()(jRjCjGdtetrjRtj)()(dtetcjCtj)()(dejRjGtctj)()(21)(系统的单位脉冲响应为：系统的单位脉冲响应为：其中其中经过傅氏反变换经过傅氏反变换de

12、jGtgtj)(21)(16HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析三、频率特性的几种图示方法三、频率特性的几种图示方法1. 1. 幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线 它是在复平面上以极坐标的形式来描述的。又称极坐标图。又称Nyquist曲线。系统的频率特性可表示为：系统的频率特性可表示为：)()()(jeAjG对某一固定频率对某一固定频率 1 1)(111)()(jeAjG在极坐标系中画出该向量。在极坐标系中画出该向量。 从从-+-+变换时该向量在极坐标系中形成变换时该向量在极坐标系中形成的曲线，称为的

13、曲线，称为NyquistNyquist曲线曲线。实频特性是实频特性是 的偶函数，虚频特性是的偶函数，虚频特性是 的奇函数。为什么？的奇函数。为什么？惯性环节惯性环节G(j)G(s) = 0.5s+110.25 2+1A()=1() = -tg-10.5 j01ImG(j)ReG(j) 00.51245820o o()A()01-14.50.97-26.60.89-450.71-63.4 -68.2 -76 -840.450.370.240.0518HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析2. 2. 对数

14、频率特性曲线（对数频率特性曲线（Bode图）图） 在半对数坐标纸上绘制，由在半对数坐标纸上绘制，由对数幅频特性对数幅频特性和和对数对数相频特性相频特性两条曲线所组成。两条曲线所组成。 频率的对数分度半对数坐标：横坐标不均匀，而纵坐标是均匀刻度。半对数坐标：横坐标不均匀，而纵坐标是均匀刻度。十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程十倍频程19HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析对数幅频特性：对数幅频特性：指指G(jG(j) )的对数值的对数值20lg|G(j)|和频率和

15、频率 的关系曲线。的关系曲线。对数相频特性：对数相频特性：指指G(jG(j) )的相角值的相角值()和频率和频率 的关系曲线。的关系曲线。即纵坐标即纵坐标)(lg20)(ALL(L() )称为对数幅值，单位是称为对数幅值，单位是dB(dB(分贝分贝) )。纵坐标是的单位是纵坐标是的单位是“”。采用线性刻度。采用线性刻度。21HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析采用对数坐标图的优点：采用对数坐标图的优点：（1 1）将低频段展开，将高频段压缩。）将低频段展开，将高频段压缩。（2 2）当系统由多个环节串联

16、而成时，简化运算。）当系统由多个环节串联而成时，简化运算。)()()()(21jGjGjGjGn)(111)()(jeAjG)(222)()(jeAjG)()()(njnneAjG)()()()(lg20)(lg20)(lg20)(lg20)(2121nnLLLAAAAL)()()()(21n22HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析（3 3）所有典型环节乃至系统的频率特性可用分段直）所有典型环节乃至系统的频率特性可用分段直线近似表示。线近似表示。（4 4）容易将频率实验数据用分段直线拟合，从而）容易

17、将频率实验数据用分段直线拟合，从而得到对数频率特性或传递函数。得到对数频率特性或传递函数。3. 3. 对数幅相特性曲线（对数幅相特性曲线（NicholsNichols图图) )由对数幅频特性和对数相频特性合并而成。由对数幅频特性和对数相频特性合并而成。可以方便求出系统闭环频率特性及有关特征可以方便求出系统闭环频率特性及有关特征参数，作为评估系统性能的依据。参数，作为评估系统性能的依据。24HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析5.25.2典型环节的频率特性典型环节的频率特性、典型环节的幅相频率特性步骤

18、：步骤：（1 1）求环节或系统的传递函数）求环节或系统的传递函数G(sG(s) )；（2 2）令）令s=js=j , ,求出频率特性表达式求出频率特性表达式G(jG(j ) )（3 3）G(jG(j ) )分为实部分为实部P(P( ) )和虚部和虚部Q(Q( ) )，若，若G(jG(j) )的分母的分母为复数和虚实需要做有理化处理。为复数和虚实需要做有理化处理。（4 4）求出幅频和相频特性）求出幅频和相频特性A(A() )和的表达式，根据不和的表达式，根据不同的值计算和在极坐标上描点并绘制成曲线。同的值计算和在极坐标上描点并绘制成曲线。25HARBIN INSTITUTE OF TECHNOL

19、OGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析一、比例环节一、比例环节比例环节的传递函数为：比例环节的传递函数为：G(s)=K=const 频率特性表达式为：频率特性表达式为： constKjG)(0)()(QconstKP00arctan)()(KconstKA返回 L()/dB0dB 0()20lgK比例环节的比例环节的BodeBode图图27HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析二、惯性环节二、惯性环节惯性环节的传递函数为：惯性环节的传递函数为：ssG11)(频率

20、特性表达式为：频率特性表达式为：jjG11)(22221)(11)(QParctan)()(arctan)(11)()()(2222PQQPA此惯性环节的幅相频率特性是一个以(1/2,j0)为圆心，以1/2为半径的半圆。 22221111PQPPQP22222)21()21(QP0ReG(j)ImG(j)1惯性环节1G(j)29HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析惯性环节的惯性环节的bodebode图图 采用近似方法，即用采用近似方法，即用渐近线分段表示频率特性。 对数幅频特性为：对数幅频特性为：2

21、2221lg2011lg20)(L在低频段在低频段，1/1/，即，即1 1/1/，即，即1 1 ，可略去，可略去 1 1。频率特性可近似为：频率特性可近似为：L()-20lg L()-20lg 的频率增大的频率增大1010倍时倍时L(L() =L(10) =L(101 1)-L()-L(1 1)=-20(dB)=-20(dB)高频渐近线具有-20dB/10倍频程的斜率，记为-20db/dec或-20。高频渐近线正好在1处与低频渐近线相交，交点处的频率称为转折频率。 低频渐近线高频渐近线0.1 0.21210201000db20db40db-20db-40dbL()+2015 . 01)(ssG

22、410)(ssG8dbo90 o45 o0 返回惯性环节L()31HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析三、积分环节三、积分环节积分环节的传递函数为积分环节的传递函数为 ：ssG1)(频率特性表达式为：频率特性表达式为： 11)(jjjG21je1)(0)(QP90)(1)(Alg20)(lg20)(AL 1 1时，时，L(L() )-20lg1=0dB-20lg1=0dB 1010时，时，L(L() )-20lg10=-20dB-20lg10=-20dB0.1 0.21210201000db20db

23、40db-20db-40dbL()-20ssG1)(ssG10)(ssG51)(返回积分环节L()33HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析四、微分环节四、微分环节(1)(1)纯微分环节纯微分环节纯微分环节的传递函数为纯微分环节的传递函数为 ：ssG)(频率特性表达式为：频率特性表达式为： jjG)(2je)(0)(QP90)()(Alg20)(lg20)(AL 1 1时，时，L(L() )20lg1=0dB20lg1=0dB 1010时，时，L(L() )20lg10=20dB20lg10=20dB

24、0.1 0.21210201000db20db40db-20db-40dbL()+20ssG)(ssG2)(ssG1 . 0)(返回微分环节L() 35HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析（2 2）一阶微分环节）一阶微分环节一阶微分环节的传递函数为一阶微分环节的传递函数为 ：ssG1)(频率特性为：频率特性为： jjG1)()(1)(QParctan)(1)(22A221lg20)(lg20)(AL在低频段在低频段，即，即1 1 1 ，可略去，可略去 1 1。0)(Llg20)(lg20)(AL0.

25、1 0.21210201000db20db40db-20db-40dbL()+2015 . 0)( ssG?)( sG-8dbo90o45o0 返回一阶微分L() 37HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析（3 3）二阶微分环节）二阶微分环节传递函数为传递函数为 ：2221)(sssG频率特性为频率特性为 ：22)()(21)(jjjG2)(1)(22QP1,12arctan1,12arctan)()2()1 (lg20)(22222222L二阶微分二阶微分2n2nn222s2s1Ts2sT) s (

26、G T1n o1800)j (G ,01)0j (Go ,902)j (Gon j01幅相曲线幅相曲线o902 对数幅频渐近曲线对数幅频渐近曲线0dBL()dB+40n2nr21 2m12lg20L 2lg20)(Ln00.707时有峰值：时有峰值：0db20db40db-20db-40dbL()1ss25. 0) s (G2 o90o0 返回0.1110100o18040212lg20 2lg20二阶微分L() 40HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析五、振荡环节五、振荡环节222222121)(

27、nnnssssG1n211)(22jjG1,12arctan1,12arctan)()2()1 (1)(22222222Ao01)0 j (G o1800)j (G onjGjG9021)()(1得得令令,0d)(dA 2nr21 (00.707)2mr121A)(A 0ReG(j)ImG(j)1ABA:2212121 rnrAB:onnA90)(21)( 返回2222)(nnnsssG 振荡环节G(j)振荡环节振荡环节L()100.2210.1L()dB0dB2040-40-20201004s22 . 02s40s2sk) s (G22nn22n dB14. 8121lg20Alg202m

28、92. 1212nr -40振荡环节振荡环节再再分析分析0dBL()dB20lgkn 21lg20r2121lg20 (0 0.707)-40 00.5 = 0.5 0.51提醒提醒: (n)= - 90o?2nn22nS2Sk(s)G 2n21 = r45HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析五、滞后环节五、滞后环节sesG)(jejG)()(1)(A 0dB 0()L()/dB9018027046HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频

29、域分析第五章线性系统的频域分析5.35.3系统的开环频率特性系统的开环频率特性、系统开环幅相频率特性的绘制例例5.15.1设系统的开环频率特性为设系统的开环频率特性为)1)(1 ()(21sTsTKsG已知：已知：K10，T11，T25，绘制开环幅相频率特性。，绘制开环幅相频率特性。21222221arctanarctan)(1111)(TTTTKA可以得到开环幅相特性为：可以得到开环幅相特性为：)1)(1 ()()()1)(1 ()1 ()(22222121222221221TTTTKQTTTTKP47HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章

30、线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析例例5.25.2设某设某I I型系统的开环频率特性为型系统的开环频率特性为)1)(1 ()(21sTsTsKsG绘制开环幅相频率特性。绘制开环幅相频率特性。)1)(1 ()1 ()()1)(1 ()()(22222122122222121TTTTKQTTTTKP21222221arctanarctan90)(111)(TTTTKAImRe0-K(T1+T2)(2121TTTKT0GH平面48HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析绘制开环极坐标图时应注意的特征绘

31、制开环极坐标图时应注意的特征00时，低频段从何处出发？时，低频段从何处出发？时，高频段以何种姿态卷入原点？时，高频段以何种姿态卷入原点？曲线在曲线在 为何值时穿越实轴和虚轴？穿越的为何值时穿越实轴和虚轴？穿越的坐标值为多少？坐标值为多少？212112211221 1)(2)() 1( 1)(2)() 1()()(nllllnjjmkkkkmiivjTjTjTjjjjKjGmmm212nvnn212mn 49HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析00时，低频段的表达式为：时，低频段的表达式为：vjKjG

32、)()(幅频和相频表达式分别为：幅频和相频表达式分别为：vKA)(2)(v时，高频段的幅频和相频特性为：时，高频段的幅频和相频特性为：0(limjG2)()(limmnjGn-mn-m=1=1时，曲线沿负虚轴卷向原点；时，曲线沿负虚轴卷向原点；n-mn-m=2=2时，曲线沿负实轴卷向原点；时，曲线沿负实轴卷向原点；n-mn-m=3=3时，曲线沿正虚轴卷向原点。时，曲线沿正虚轴卷向原点。试分析试分析v=0=0、1 1、2 2时，曲线的起始点情况？时，曲线的起始点情况？50HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频

33、域分析N-m=1ReIm0000 0型型型型型型ReImGH平面极坐标的低频段极坐标的低频段极坐标的高频段极坐标的高频段N-m=2N-m=3GH平面0-25ImG(j)ReG(j)1例题1：绘制 的幅相曲线。)1s (s)3s)(2s (5) s (G2 解：o180)0j (G o90)j (G )0( )( oo180180 oo900 oo900 oo90180 oo900 _求交点： )j1(5j)6(5)j (G22 0)j (GIm, 令令0)6(5 ,2 1, 1,2 即即处。处。与负实轴相交于与负实轴相交于2525) j1()5j5(5)1 j (G 点点无无实实数数解解，与与

34、虚虚轴轴无无交交令令. 064 , 056 , 0)j (GRe222 曲线如图所示：返回开环幅相曲线的绘制52HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析二、系统开环幅相频率特性的绘制)()()()(lg20)(lg20)(lg20)(lg20)(2121nnLLLAAAAL)()()()(21n如果已知几个串联环节的开环频率特性，则系统的开如果已知几个串联环节的开环频率特性，则系统的开环对数频率特性为：环对数频率特性为：步骤步骤求出低频渐近线的斜率和位置。求出低频渐近线的斜率和位置。再确定转折频率和转折

35、和的直线的斜率。再确定转折频率和转折和的直线的斜率。由低频到高频绘出开环频率特性。由低频到高频绘出开环频率特性。53HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析1. 1.低频渐近线的绘制低频渐近线的绘制00时，时，G(jG(j) )低频段表达式为：低频段表达式为：vjKjG)()(则幅频特性为：则幅频特性为：lg20lg20lg20lg20)(lg20)(vKKALv无论无论v为何值，为何值，=1=1时，总是时，总是L(L() )20lgK(dB)20lgK(dB)。特征：特征： 低频渐近线（或延长线）在低

36、频渐近线（或延长线）在=1=1处的高度为处的高度为20lgK(dB)20lgK(dB)，K K是开环传递系数。与是开环传递系数。与0dB0dB相交点相交点的频率为的频率为K K1/v1/v。低频渐近线的斜率为低频渐近线的斜率为2020v(dB/dec)(dB/dec)，v v是无差是无差度的阶数。度的阶数。54HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析2. 2.转折频率及转折后斜率变化量的确定转折频率及转折后斜率变化量的确定212112211221 1)(2)() 1( 1)(2)() 1()()(nll

37、llnjjmkkkkmiivjTjTjTjjjjKjGii1kk1llT1jjT1经过经过i后，斜率变化量为后，斜率变化量为+20dB/dec。经过经过k后，斜率变化量为后，斜率变化量为+40dB/dec。经过经过j后，斜率变化量为后，斜率变化量为-20dB/dec。经过经过l后，斜率变化量为后，斜率变化量为-40dB/dec。55HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析相频特性的表达式为：相频特性的表达式为：21211221122112arctanarctan212arctanarctan)(nlll

38、ljnjmkkkkmiiTTTv2)(lim0v2)()(limvmn定义：若定义：若 L(L(c c) )0dB0dB，则，则 c c称作称作剪切频率剪切频率，也叫，也叫0dB 0dB 频率。剪切频率下的相角为频率。剪切频率下的相角为(c)。ccc)30/1arctan(2arctan25 . 0arctan)(绘制绘制L()例题例题100.2210.1L()dB0dB2040-40-2020100-20-40) 130/ s)(1s2( s) 1s5 . 0(40) s (H) s (G 绘制绘制的的L()曲线曲线低频段低频段：S405 . 0 时为时为38db1 . 0 时为时为52db

39、转折频率：转折频率：0.5 2 30斜率：斜率： -20 +20 -20-20-40-100-50050100 System: G Frequency (rad/sec): 0.0998 Magnitude (dB): 51.9 System: G Frequency (rad/sec): 0.496 Magnitude (dB): 35.4 Magnitude (dB)10-210-1100101102103-180-135-90Phase (deg) System: G Phase Margin (deg): 63.4 Delay Margin (sec): 0.114 At freque

40、ncy (rad/sec): 9.7 Closed Loop Stable? Yes Bode DiagramFrequency (rad/sec)c c c- -剪切频率剪切频率4 .116)30/1arctan(2arctan25 . 0arctan)(cccc10-210-1100101102-100-80-60-40-200204060Magnitude (dB)Bode DiagramFrequency (rad/sec)0.52812dB12dB-20-20-40-40-20-20-60-60105. 081) 12() 15 . 0(4)(2ssssssG59HARBIN INS

41、TITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析三. 最小相位系统、非最小相位系统和开环不稳定系统1. 1. 最小相位传递系统最小相位传递系统系统的传递函数系统的传递函数G(sG(s) )的全部极点位于的全部极点位于s s平面的左平面的左半部，没有零点落在半部，没有零点落在s s的右半平面的右半平面 。2. 2. 非最小相位系统非最小相位系统 系统传递函数系统传递函数G(sG(s) )的全部极点均位于的全部极点均位于s s平面的左半平面的左半部，但有一个或多个零点落在右半部，但有一个或多个零点落在右半s s平面上，则这种平面上，则

42、这种函数称为非最小相位传递函数。函数称为非最小相位传递函数。3. 3. 开环不稳定系统：系统传递函数开环不稳定系统：系统传递函数G(sG(s) )有一个或多有一个或多个极点落在个极点落在s s平面的右半部。平面的右半部。 60HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析最小相位系统最小相位系统在具有相同幅频特性的一类系统中，在具有相同幅频特性的一类系统中，当当 从从0 0变至变至时，最小相位系统的相角变化范围最小。时，最小相位系统的相角变化范围最小。 例：例：TsssG11)(1)0(11)(2TTsssG

43、2222211lg201lg20)()(TLLTarctanarctan)(1Tarctan)arctan()(225303540Magnitude (dB)10-1100101102-4504590135180Phase (deg)Bode DiagramFrequency (rad/sec)()(21LL)(1)(261HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析最小相位系统的特点：最小相位系统的特点：（1 1）最小相位系统的幅频特性和相频特性是密切相）最小相位系统的幅频特性和相频特性是密切相关的。关的

44、。若若L(L() )特性的斜率变得更负，则对数相频特性特性的斜率变得更负，则对数相频特性的相位也要朝着更负的方向变化；的相位也要朝着更负的方向变化；若若L(L() )特性的斜率向正的方向变化，则对数特性的斜率向正的方向变化，则对数相频特性的相位也将向正的方向变化。相频特性的相位也将向正的方向变化。(2)(2)对于最小相位系统，对数幅频特性和相频特性是一对于最小相位系统，对数幅频特性和相频特性是一一对应的。对于最小相位系统一般只画出幅频特性就一对应的。对于最小相位系统一般只画出幅频特性就够了，而对于非最小相位系统，要同时画出幅频和相够了，而对于非最小相位系统，要同时画出幅频和相频特性。频特性。6

45、2HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析5.45.4乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性一、映射定理（幅角定理）设有一复变函数为：设有一复变函数为：)()()()()(21211nmpspspszszszsKsF63HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析由复变函数的理论可知：由复变函数的理论可知：如果函数如果函数F(sF(s) )在在s s平面的指定区域内是非奇异的，则平面的指

46、定区域内是非奇异的，则对应于此区域上的任何一点对应于此区域上的任何一点d d，都可以通过，都可以通过F(sF(s) )的映射关的映射关系在系在F(sF(s) )平面内找到对应的一个点平面内找到对应的一个点d(d(称称dd为为d d的象的象) )，对于对于s s平面内任何一条不通过平面内任何一条不通过F(sF(s) )奇异点的封闭曲线奇异点的封闭曲线 ，也，也可以通过可以通过F(sF(s) )的映射关系在的映射关系在F(sF(s) )平面内找到一条与之相对平面内找到一条与之相对应的封闭曲线应的封闭曲线(称称为为 的象的象) )。64HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动

47、控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析复变函数的相角可以表示为：复变函数的相角可以表示为： mjniijpszssF11)()()(若在若在s s平面上的封闭曲线包围了平面上的封闭曲线包围了F(sF(s) )的一个零点的一个零点z z1 1，其它，其它的零极点都位于封闭曲线之外，则当的零极点都位于封闭曲线之外，则当s s沿着沿着s s平面上的封平面上的封闭曲线顺时针方向移动一周时，相量闭曲线顺时针方向移动一周时，相量(s+z(s+z1 1) )的相角变化的相角变化22，其它各相量的相角变化为零，即，其它各相量的相角变化为零，即2)()(1zssF这意味着在这意味着

48、在F(sF(s) )平面上映射的曲线沿顺时针方向围绕平面上映射的曲线沿顺时针方向围绕着原点旋转一周。着原点旋转一周。65HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析若若s s平面上的封闭曲线包围着平面上的封闭曲线包围着F(sF(s) )的的Z Z个零点。则在个零点。则在F(sF(s) )平面上映射的曲线将按平面上映射的曲线将按顺时针顺时针方向围绕着坐标原点方向围绕着坐标原点Z Z周。周。若若s s平面上的封闭曲线包围着平面上的封闭曲线包围着F(sF(s) )的的P P个极点。当个极点。当s s沿着沿着s s

49、平面上的封闭曲线顺时针方向移动一周时，则在平面上的封闭曲线顺时针方向移动一周时，则在F(sF(s) )平面平面上映射的曲线将按上映射的曲线将按逆时针逆时针方向围绕着坐标原点方向围绕着坐标原点P P周。周。映射定量映射定量( (幅角定理幅角定理) )：设设s s平面上不通过平面上不通过F(sF(s) )任何奇异点的某条封闭曲线任何奇异点的某条封闭曲线 ，它包围了它包围了F(sF(s) )在在s s平面上的平面上的Z Z个零点和个零点和P P个极点，当个极点，当s s以顺以顺时针方向沿封闭曲线时针方向沿封闭曲线 移动一用时，则在移动一用时，则在F F平面上相对平面上相对应于封闭曲线应于封闭曲线 的

50、像的像将以将以顺时针顺时针的方向围绕原点旋的方向围绕原点旋转转N N圈。圈。N N与与Z Z、P P的关系为的关系为 N=ZN=ZP P。66HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析二、乃奎斯特稳定判据二、乃奎斯特稳定判据设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为mnpspspszszszsKsHsGnm,)()()()()()(21211构造辅助函数构造辅助函数)()()()()()()()(1)()(1)(212121211nnnmpspspssssssspspspszszszsKsHsGsF辅助

51、函数辅助函数F(sF(s) )具有以下特点：具有以下特点：(1)(1)辅助函数辅助函数F(sF(s) )是闭环特征多项式与开环特征多项式之是闭环特征多项式与开环特征多项式之比，其零点和极点分别为闭环极点和开环极点。比，其零点和极点分别为闭环极点和开环极点。67HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析(2)F(s)(2)F(s)的零极点数目相同，都为的零极点数目相同，都为n n。(3)F(s)(3)F(s)与开环传递函数与开环传递函数G(s)H(sG(s)H(s) )之间只差一个常量之间只差一个常量1 1

52、，F(s)=1+ G(s)H(sF(s)=1+ G(s)H(s) )的几何意义为：的几何意义为：F F平面的坐标原点就是平面的坐标原点就是GHGH平面的平面的(-1,j0)(-1,j0)点。点。 为了确定辅助函数为了确定辅助函数F(sF(s) )位于右半位于右半s s平面内的所有零点平面内的所有零点和极点数，将封闭曲线和极点数，将封闭曲线 扩展展为整个右平面。为此，扩展展为整个右平面。为此， 曲线由以下曲线由以下3 3段所组成：段所组成：. . 正虚轴正虚轴s=js=j， 从从0 0变化到变化到+；. . 半径为无限大的右半圆，半径为无限大的右半圆，s= R ejs= R ej，RR， 由由/

53、2/2变化到变化到-/2-/2； . . 负虚轴负虚轴s=js=j， 从从-变化到变化到0 0。68HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析R ejR乃奎斯特回线乃奎斯特回线ReReImIm奈氏曲线肯定包围了奈氏曲线肯定包围了F(sF(s) )位位于于s s平面右半部的所有零点平面右半部的所有零点和极点。和极点。 根据映射定理，当根据映射定理，当s s沿着平沿着平面上的奈奎斯特曲线移动一面上的奈奎斯特曲线移动一周时，在周时，在F(sF(s) )平面上的映射平面上的映射曲线将按曲线将按逆时针逆时针方向围绕

54、坐方向围绕坐标原点旋转标原点旋转N=P-ZN=P-Z。设复变函数设复变函数F(sF(s) )在在s s平面的右平面的右半部有半部有Z Z个零点和个零点和P P个极点。个极点。69HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析闭环系统稳定的充要条件是：闭环系统稳定的充要条件是：F(sF(s) )在在s s平面的右半平面的右半部无零点，部无零点，即即Z=0Z=0。 如果在如果在s s平面上，平面上，s s沿着奈奎斯特曲线顺时针移动沿着奈奎斯特曲线顺时针移动一周时，在一周时，在F(sF(s) )平面上的映射曲线平面

55、上的映射曲线围绕坐标原点按围绕坐标原点按逆时针方向旋转逆时针方向旋转N=PN=P周，则系统是稳定的。周，则系统是稳定的。 G(s)H(s G(s)H(s)=F(s)-1)=F(s)-1，这意味着，这意味着F(sF(s) )的映射曲线的映射曲线围围绕原点的运动情况，相当于绕原点的运动情况，相当于G(s)H(sG(s)H(s) )围绕着围绕着(-1,j0)(-1,j0)点的点的运动情况。运动情况。奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据闭环控制系统稳定的充分和必要闭环控制系统稳定的充分和必要条件是，当条件是，当 从从-变化到变化到+时，系统的开环频率特时，系统的开环频率特性性G(j)H(jG(j)H(j)

56、 )按逆时针方向包围按逆时针方向包围(-1,j0)(-1,j0)点点P P周，周，P P为位于为位于s s平面右半部的开环极点的数目。平面右半部的开环极点的数目。70HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析若开环系统是稳定的，即位于若开环系统是稳定的，即位于s s平面右半部的开环极平面右半部的开环极点的数目为零，则闭环控制系统稳定的充分和必要条点的数目为零，则闭环控制系统稳定的充分和必要条件是，当件是，当 从从-变化到变化到+时，系统的开环频率特性时，系统的开环频率特性不包含不包含(-1,j0)(-1,

57、j0)点。点。例例5.4.15.4.1设系统的开环频率特性为设系统的开环频率特性为)1)(1 ()(21sTsTKsG用乃氏判据判别系统的稳定性。用乃氏判据判别系统的稳定性。系统的乃氏曲线见系统的乃氏曲线见P43P43页页。系统的右半平面的开环极点数系统的右半平面的开环极点数P P0 0系统的开环频率特性不包含系统的开环频率特性不包含(-1,j0)(-1,j0)点。点。N N0 0。N NP PZ Z所以所以P P0 0，则闭环系统稳定。，则闭环系统稳定。71HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析例例

58、5.4.25.4.2设系统的开环频率特性为设系统的开环频率特性为)52)(2(52)()(2ssssHsG=0=0时，时，P(P()=5.2;)=5.2;=2.5=2.5时，时，P(P()=0)=0；Q(Q()=-5.06)=-5.06；=3=3时，时，P(P()=2)=2；Q(Q()=0)=0；=，终止在原点。，终止在原点。N=-2N=-2，N=P-ZN=P-Z，P=0P=0，Z=2Z=2，F(sF(s) )有两个不稳定的零点，闭环有两个不稳定的零点，闭环系统有两个不稳定的极点。系统有两个不稳定的极点。判断何时系统稳定？判断何时系统稳定？72HARBIN INSTITUTE OF TECHN

59、OLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析例例2 2 判断系统的稳定性并讨论判断系统的稳定性并讨论K K值对稳定性的影响。值对稳定性的影响。K1K1K1时，逆时针包含时，逆时针包含(-1,j0)(-1,j0)点一周，点一周，N=1N=1，所以所以Z=P-N=0Z=P-N=0，系统，系统稳定。稳定。73HARBIN INSTITUTE OF TECHNOLOGY自动控制理论自动控制理论第五章线性系统的频域分析第五章线性系统的频域分析三、奈氏判据在三、奈氏判据在型和型和型系统中的应用型系统中的应用按照幅角定理的规定，在按照幅角定理的规定，在s s平平面的奈氏

60、曲线不能通过面的奈氏曲线不能通过F(sF(s) )的奇异的奇异点。点。 重新定义乃氏曲线如下：重新定义乃氏曲线如下：. . 正虚轴正虚轴s=js=j， 从从0+0+变化到变化到+；. . 半径为无限大的右半圆，半径为无限大的右半圆，s= R es= R ej j，RR， 由由/2/2变化到变化到-/2-/2。 . . 负虚轴负虚轴s=js=j， 从从-变化到变化到0 0- -；IVIV半径为无穷小的右半圆，半径为无穷小的右半圆，s= s= ej，00， 由由-/2-/2变化到变化到/2/2。R ejR修改的乃奎斯特回线修改的乃奎斯特回线ImImcbdea00jjR74HARBIN INSTIT