概率分布函数

1、第三章第三章 几种重要的概率分布几种重要的概率分布 3.1 二项分布二项分布 3.2 泊松分布泊松分布 3.3 均匀分布均匀分布 3.4 指数分布指数分布 3.5 正态分布正态分布返回总目录一 贝努里概型和二项公式二 二项分布三 二项分布数学期望与方差 返回主目录3.1 二项分布返回主目录一、贝努里概型和二项公式 在相同条件下进行的 n次重复试验，如果每次试验只有两个相互对立的基本事件，而且它们在各次试验中发生的概率不变，那末称这样的试验为n重贝努里试验或贝努里概型。例如，掷n 次硬币， 投n 次篮， 检查n 个产品， 做 n 道单项选择题等第三章 几种重要的概率分布返回主目录证明 由概率加法

2、公式得： pqnmqpCpnmbmnmmn1;, 2 , 1 , 0,),;(其中00( ; , )()1nnmmn mnnmmb m n pC p qpq且第三章 几种重要的概率分布返回主目录二、二项分布常见的二项分布实际问题： 有放回或总量大的无放回抽样； 打枪、投篮问题（试验 n 次发生 k 次）； 设备使用、设备故障问题。第三章 几种重要的概率分布返回主目录三、二项分布的数学期望与方差 npqXDnpXE)()(第三章 几种重要的概率分布返回主目录 例1 据调查,市场上假冒的某名牌香烟有0.15,某人每年买20条这个品牌的香烟,求他至少买到1条假烟的概率.00202011010.15

3、(10.15)10.0390.961P XP XC 第三章 几种重要的概率分布返回主目录例2 某人定点投篮的命中率是0.6,在10次投篮中,求(1) 恰有4次命中的概率;(2) 最多命中8次的概率.( 2 ) 最多命中8次的概率99101001010081819101(0.6) (1 0.6)(0.6) (1 0.6)0.9536PXP XP XP XCC 第三章 几种重要的概率分布返回主目录例3 已知一批产品共10件,其中正品7件,次品3件,今从中抽取若干次,每次抽出1件,求在放回抽样下的4次抽取中,抽得次品数的分布列.解: 在放回抽样下,每次抽取只有两个相互对立的基本事件 所以, 在放回抽

4、样下的4次抽取是4重贝努里试验. 第三章 几种重要的概率分布返回主目录例4 投掷一枚均匀硬币6次，求：（1）恰好出现2次正面的概率；（2）至少出现5次正面的概率；（3）出现正面次数的均值； （4）出现正面次数的方差。第三章 几种重要的概率分布返回主目录解：从已知条件得到数学期望30103)(3)3()(XEXEYE819)3()()3()3()(22XDXDYD101 . 0100)( npXE第三章 几种重要的概率分布返回主目录 小结与提问：小结与提问： 本次课，我们介绍了贝努里概型与二项公式、二项分布。二项分布是离散型随机变量的概率分布中的重要分布，我们应掌握二项分布及其概率计算，能够将实

5、际问题归结为贝努里概型，然后用二项分布计算有关事件的概率、数学期望与方差。课外作业：课外作业：P150 习题三 3.01,3.02,3.03,3.04,3.05第三章 几种重要的概率分布一 泊松分布的定义二 二项分布与泊松分布三 泊松分布的数学期望与方差 返回主目录3.2 泊松分布返回主目录一、泊松分布的定义 设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , , 且概率分布为：,!eiiXPi)0;, 2 , 1 , 0(i 第三章 几种重要的概率分布返回主目录二、二项分布与泊松分布定理3.2.1（泊松定理） eippCiiniin!)1 ( 定理指出n 当充分大时，泊松分布是二项分布的近似

6、分布，但要注意仅当P的值很小(一般来说当p0.1) 时 ，用泊松分布取代二项分布所产生的误差才比较小常见的泊松分布的例子： （1）飞机被击中的子弹数； （2）一个集团公司中生日在元旦的人数； （3）三胞胎出生的次数； （4）一年中死亡的百岁老人数； 第三章 几种重要的概率分布返回主目录解: 第三章 几种重要的概率分布返回主目录例2 某一城市每天发生火灾的次数X服从参数为0.8的泊松分布. 求:该城市一天内发生3次以上火灾的概率. 解： PX3=1- PX3 =1-PX=0+ PX=1+PX=2 0.0474 第三章 几种重要的概率分布返回主目录 例3 某出租汽车公司共有出租车400辆,设每天每

7、辆出租车出现故障的概率为0.02, 求:一天内没有出租车出现故障的概率. 解：将观察一辆车一天内是否出现故障看成一次试验E.因为每辆车是否出现故障与其它车无关,于是观察400辆出租车是否出现故障就是做400次伯努利试验,设X表示一天内出现故障的出租车数,则: X B(400, 0.02). 于是: P一天内没有出租车出现故障=PX=0 =b(0;400,0.02) 第三章 几种重要的概率分布返回主目录三、泊松分布的数学期望与方差)()(XDXE第三章 几种重要的概率分布返回主目录9324. 0! 0)1007(0100710070eeXP第三章 几种重要的概率分布返回主目录解：由于已知一匹布上

8、有8个疵点与有7个疵点的可能性相同， 即概率 78XPXP! 7! 878ee所以一匹布上平均有8个疵点。8第三章 几种重要的概率分布返回主目录解：（1）由于已知概率21XPXP! 2! 12ee即有22第三章 几种重要的概率分布返回主目录26345PXP XP XP X! 52! 42! 32252423eee3067. 015342e（3）数学期望2)(XE（4）方差2)(XD第三章 几种重要的概率分布返回主目录小结与提问：小结与提问： 本次课，我们介绍了泊松分布的概念、二项分布与泊松分布的关系及泊松分布的数学期望与方差。泊松分布是离散型随机变量的概率分布中的重要分布，我们应掌握泊松分布及

9、其概率计算，能够将实际问题归结为泊松分布，然后用泊松分布计算有关事件的概率、数学期望与方差。VII课外作业：课外作业：P150 习题三 3.06,3.07,3.08,3.09第三章 几种重要的概率分布一均匀分布(Uniform)的定义二均匀分布的数学期望与方差返回主目录3.3 均匀分布若随机变量若随机变量 X 的密度函数为的密度函数为 其其它它01bxaabxf 上上的的均均匀匀分分布布，服服从从区区间间则则称称随随机机变变量量baX记作记作 X U a , b第三章 几种重要的概率分布一 均匀分布(Uniform)的定义返回主目录密度函数的验证 是是其其密密度度函函数数，则则有有：，设设xf

10、baUX ；，有有对对任任意意的的0 xfx bbaadxxfdxxfdxxfdxxf badxab11 确确是是密密度度函函数数其其它它 01bxaabxf由此可知，由此可知，第三章 几种重要的概率分布返回主目录均匀分布的概率背景 变变量量上上的的均均匀匀分分布布，则则随随机机，服服从从区区间间如如果果随随机机变变量量baX 上上取取值值是是等等可可能能的的，在在区区间间量量这这时时，可可以以认认为为随随机机变变baXXXabxll0 lccdxxflcXcP)(.1abldxablcc 取取值值的的概概率率与与该该子子区区上上的的任任意意一一个个子子区区间间上上，在在区区间间baX该该子子

11、区区间间的的位位置置无无关关间间的的长长度度成成正正比比，而而与与第三章 几种重要的概率分布返回主目录均匀分布的分布函数 xbbxaabaxaxxF10abxF (x)01 上的均匀分布，上的均匀分布，服从区间服从区间若随机变量若随机变量baX的分布函数为的分布函数为则则X第三章 几种重要的概率分布返回主目录例 1 设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果某乘客到达此站的时间是 7:00 到7:30之间的均匀随机变量试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率解： 设该乘客于7时 X 分到达此站其其密密度度函函数数为为 其它其它0300301xxf 上的均匀分布上的均匀分布，服从区间服从区间

12、则则300X第三章 几种重要的概率分布返回主目录例 1（续）令：B= 候车时间不超过5分钟 30251510 XPXPBP则则 30251510301301dxdx31 第三章 几种重要的概率分布返回主目录例 2 上上的的均均匀匀分分布布，服服从从区区间间设设随随机机变变量量31 Y试试求求方方程程0)2(442 YxYx有有实实根根的的概概率率解：解：的的密密度度函函数数为为随随机机变变量量Y 其它其它03141yyf第三章 几种重要的概率分布返回主目录例 2（续） 有实根有实根方程方程设：设：0)2(442 YxYxA 0)2(4442 YYPAP则则 021 YYP 21 YYP或或 3

13、21410dxdx41 其它其它03141yyf第三章 几种重要的概率分布返回主目录二、均匀分布的数学期望与方差1()2Exba21()12Dxba第三章 几种重要的概率分布返回主目录返回主目录第三章 几种重要的概率分布 解：从已知条件得到关系式31)(121)(2)(21)(2abXDbaXE24abab返回主目录第三章 几种重要的概率分布其它, 0,21)(axaaxf返回主目录第三章 几种重要的概率分布aaaaxadxadxxfXPa2121) 1(2112121)(111312121a其它, 033,61)(xxf 根据计算概率公式，所以概率95)3(316161)(3131331dx

14、dxxfXP返回主目录第三章 几种重要的概率分布（3）数学期望0)3(321)(XE（4）方差3)3(3121)(2XD返回主目录第三章 几种重要的概率分布小结与提问：小结与提问： 本次课，我们介绍了均匀分布的概念及泊松分布的数学期望与方差。均匀分布是是最简单、常用的连续型随机变量的概率分布。应当熟记均匀分布的概率密度函数的表达式、数学期望及方差，掌握有关均匀分布的概率、数学期望及方差的计算，并了解均匀分布在实际问题中的应用。课外作业：课外作业：P150 习题三 3.10,3.11一 指数分布的定义 二 指数分布的数学期望与方差返回主目录3.4 指数分布如果随机变量如果随机变量 X 的密度函数

15、为的密度函数为 000 xxexfx的指数分布参数为服从为常数，则称随机变量其中0 第三章第三章 几种重要的概率分布几种重要的概率分布一 指数分布的定义 返回主目录密度函数的验证密度函数的验证 是其密度函数，则有：的指数分布，参数为设xfX ；，有对任意的0 xfx 00dxxfdxxfdxxf0dxex1由此可知，0 xe 确是一密度函数000 xxexfx 第三章第三章 几种重要的概率分布几种重要的概率分布返回主目录指数分布的分布函数指数分布的分布函数的分布函数为则指数分布，服从参数若随机变量XX 0100 xexxFx 第三章第三章 几种重要的概率分布几种重要的概率分布返回主目录例例 1

16、分钟之间的概率钟到分话间，求你需等待好在你前面走进公用电如果某人刚为参数的指数随机变量以（单位：分钟）是间设打一次电话所用的时2010101X解：的密度函数为X 00010110 xxexfx 第三章第三章 几种重要的概率分布几种重要的概率分布返回主目录例例 1（续）（续） 2010XPBP则令：B= 等待时间为1020分钟 201010101dxex201010101xe21ee2325. 0 第三章第三章 几种重要的概率分布几种重要的概率分布返回主目录二、 指数分布的数学期望与方差 第三章第三章 几种重要的概率分布几种重要的概率分布1Ex21Dx返回主目录返回主目录第三章 几种重要的概率分

17、布000002. 0)(002. 0 xxexfx，（1）100小时内需要维修的概率返回主目录第三章 几种重要的概率分布该热水器平均能正常使用500小时. 返回主目录第三章 几种重要的概率分布 解：（1）X的密度函数为其它, 00,10001)(1000 xexfx 任取1只电子元件使用寿命超过1000小时的概率返回主目录第三章 几种重要的概率分布110001000100010001( )1000 xP Xf x dxedx10001000()1000 xxed100010.36791000 xee返回主目录第三章 几种重要的概率分布1353. 0)1(220222eqpCYP返回主目录第三章

18、 几种重要的概率分布其它, 00,)(xexfx100)(100dxxfXP100 xedx 返回主目录第三章 几种重要的概率分布2100ee501返回主目录第三章 几种重要的概率分布其它, 00,501)(50 xexfx15050)(15050dxxfXP1505050150 xedx50()50 xxed5015050 xe31()ee3110.3181ee返回主目录第三章 几种重要的概率分布5050111)(XE根据随机变量数学期望的性质，所以数学期望 10115021)(2) 12(XEXE2500)501(11)(22XD根据随机变量方差的性质，所以方差 1000025004)(2

19、) 12(2XDXD返回主目录第三章 几种重要的概率分布小结与提问：小结与提问： 本次课，我们介绍了指数分布的概念及指数分布的数学期望与方差。指数分布是常用的连续型随机变量的概率分布之一。应当熟记指数分布的概率密度函数的表达式、数学期望及方差，掌握有关指数分布的概率、数学期望及方差的计算，并了解指数分布在实际问题中的应用。课外作业：课外作业：P150 习题三 3.12,3.13一 正态分布的定义二 标准正态分布三 正态分布密度函数的图形性质四 正态分布的期望与方差返回主目录3.5 正态分布xf (x)0第三章 几种重要的概率分布的密度函数为的密度函数为如果连续型随机变量如果连续型随机变量 X

20、xexfx22221 ，为参数为参数，其中其中0 的的正正态态分分布布记记作作，服服从从参参数数为为则则称称随随机机变变量量2 X 2 ，NX一 正态分布的定义 为为标标准准正正态态分分布布，我我们们称称，若若1010N 数数为为标标准准正正态态分分布布的的密密度度函函 xexx2221 第三章 几种重要的概率分布返回主目录二、标准正态分布 我我们们有有：由由高高等等数数学学中中的的知知识识，数数对对于于正正态态分分布布的的密密度度函函 xexfx22221 hXPXhPhx ，有有这这表表明明：对对于于任任意意的的对对称称，曲曲线线关关于于直直线线0 xf (x)0hh第三章 几种重要的概率

21、分布返回主目录三、正态分布密度函数的图形性质 越越小小落落在在该该区区间间中中的的概概率率就就变变量量越越远远时时，随随机机间间离离同同样样长长度度的的区区间间，当当区区对对于于的的值值就就越越小小这这表表明明，越越远远，离离取取到到最最大大值值时时，当当Xxfxfxfx 21 第三章 几种重要的概率分布xf (x)0hh返回主目录 轴为渐近线轴为渐近线以以曲线曲线处有拐点；处有拐点；在在曲线曲线Oxxfyxxfy 确确定定所所图图形形的的位位置置完完全全由由参参数数因因此此其其形形状状轴轴平平行行移移动动，但但不不改改变变图图形形沿沿的的的的值值，则则固固定定，而而改改变变若若 xfyxxf

22、 第三章 几种重要的概率分布返回主目录f (x)0hh 的的取取值值越越分分散散形形越越平平坦坦，这这表表明明的的图图越越大大时时，当当附附近近的的概概率率越越大大；反反之之落落在在图图形形越越陡陡，因因而而越越小小时时，可可知知，当当的的最最大大值值为为的的值值，由由于于固固定定，而而改改变变若若XxfyXxfyfxf 21xf (x)0第三章 几种重要的概率分布返回主目录正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：情形加以说明： 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都

23、是服从或近似服从正态分布一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布该随机指标一定服从或近似服从正态分布 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的多分布所不具备的 正态分布可以作为许多分布的近似分布正态分布可以作为许多分布的近似分布第三章 几种重要的概率分布正态分布的重要性返回主目录标准正态分布的计算： ，则则其其密密度度函函数数

24、为为，如如果果随随机机变变量量10 NX ,2122xex xdtedttxxtx2221 其分布函数为其分布函数为.)(,值值由由此此可可得得态态分分布布表表教教科科书书上上都都附附有有标标准准正正x 第三章 几种重要的概率分布返回主目录标准正态分布的计算（续）0 xx)(x-x第三章 几种重要的概率分布 xtxdtedttx2221 ，得，得，作变换作变换dudtut xuduex2221 xudue2221 xudue22211 x 1，我们可由公式，我们可由公式如果如果0 x 直接计算直接计算，我们可由公式，我们可由公式如果如果xXPxx )(0返回主目录一般正态分布的计算 )1, 0(2NXYNX ，则，则，设设 yXPyYPyFY ytdte 22221，代代入入上上式式，得得，则则作作变变换换 dtdutu yuYdueyF2221 y yXP )(xXPxFX)( x xXP第三章 几种重要的概率分布返回主目录一般正态分布的计算（续） 函数函数是标准正态分布的分布是标准正态分布的分布其中，其中，x ).a()P,ba -b(bXa 有有故对任意的故对任意的 )(xFX)( x第三章 几种重要的概率分布该公式给出了一般正态分该公式给出了一般正态分布分布函数值的求法布分布函数值的求法返回主目录例 1 ；，试求：，试求：，设随机变量设随机变量212110 XPXPNX解