大学物理上册

1、第第 5 章章 刚体力学基础刚体力学基础5.1 刚体的运动及描述刚体的运动及描述 刚体是特殊的质点系刚体是特殊的质点系，其上各质元间的相对位置保持不变。，其上各质元间的相对位置保持不变。完全描述运动所需的独立坐标数完全描述运动所需的独立坐标数刚体（刚体（rigid body）自由度自由度（或任意两点之间的距离始终保持不变）（或任意两点之间的距离始终保持不变）任何情况下形状和体积都不改变的物体（任何情况下形状和体积都不改变的物体（理想化的模型理想化的模型 ）。）。（确定物体的空间位置）如：如：(a)质点的直线运动，只需一个变数。质点的直线运动，只需一个变数。 自由度自由度=1。(b)质点的一般运

2、动，需三个坐标描述。质点的一般运动，需三个坐标描述。 自由度自由度=3。(c) 对刚体：只要确定其三个点，即可确定其位置。对刚体：只要确定其三个点，即可确定其位置。 需需9个变量。个变量。但三个点的间距确定，实际上只需但三个点的间距确定，实际上只需6个变量。个变量。刚体最大自由度刚体最大自由度6。（确定物体的空间位置）完全描述运动所需的独立坐标数完全描述运动所需的独立坐标数自由度自由度平动时，刚体上所有平动时，刚体上所有点运动都相同。点运动都相同。oooo一、刚体的运动形式一、刚体的运动形式在运动中，如果连接刚体在运动中，如果连接刚体内任意两点的直线在任意时内任意两点的直线在任意时刻的位置都彼

3、此平行，则这刻的位置都彼此平行，则这样的运动称为刚体的平动。样的运动称为刚体的平动。1.平动（平动（translation）可用质心或其上任何一点的运动来可用质心或其上任何一点的运动来代表整体的运动。代表整体的运动。自由度：自由度：) ( 3cccmaxzyxi如：门窗、电机转子如：门窗、电机转子etc .转动转动2.转动（转动（rotation）可分为两种基本形式：可分为两种基本形式： OvPrr定轴定轴刚体刚体 参考方向参考方向z（本章重点讨论定轴转动）（本章重点讨论定轴转动）)1( i定轴转动：定轴转动：运动中各质元均做圆周运动，运动中各质元均做圆周运动，且各圆心都在同一条固定的直且各圆

4、心都在同一条固定的直线（转轴）上。线（转轴）上。 定点转动：运动中刚体上只有定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该一点固定不动，整个刚体绕过该固定点的某一瞬时轴线转动固定点的某一瞬时轴线转动.（如陀螺的运动等）（如陀螺的运动等）i 3（转轴方向（转轴方向（2 2），绕轴转），绕轴转角（角（1 1）刚体上各点都平行于某一固定平面的运动称为刚体上各点都平行于某一固定平面的运动称为刚体的平面运动，又称为刚体的平面平行运动。刚体的平面运动，又称为刚体的平面平行运动。3.平面平行运动平面平行运动可以分解为：可以分解为：刚体随质心的平动（刚体随质心的平动（2 2）和绕质心垂直于运动平和绕质

5、心垂直于运动平面的定轴转动（面的定轴转动（1 1）312i如：车轮直线滚动如：车轮直线滚动4.一般运动一般运动刚体不受任何限制的的任意运动刚体不受任何限制的的任意运动, 称为刚体的一般运动。称为刚体的一般运动。它可视为以下两种刚体的基本运动的叠加：它可视为以下两种刚体的基本运动的叠加：o ooo 绕通过基点绕通过基点O的瞬时轴的定点转动的瞬时轴的定点转动 随基点随基点O（可任选）的平动（可任选）的平动基点（基点（O和和O ）选取不同，选取不同，平动不同，转动也可以不平动不同，转动也可以不同，与基点的选取有关同，与基点的选取有关i 33如图示的两种运动分解：如图示的两种运动分解：t dd刚体绕刚

6、体绕 oz 轴，为了反映轴，为了反映刚体绕瞬时轴的方向及转刚体绕瞬时轴的方向及转动快慢等，引入角速度矢动快慢等，引入角速度矢量量 和角加速度矢量和角加速度矢量 二、二、 刚体转动的运动学描述刚体转动的运动学描述tdd OvP,rr定轴定轴刚体刚体 参考方向参考方向z定轴转动刚体上任意点都绕同定轴转动刚体上任意点都绕同一轴在各自的平面内作圆周运动一轴在各自的平面内作圆周运动。很显然：刚体各个部分在相同时间很显然：刚体各个部分在相同时间内绕转轴转过的角度（角位移）都内绕转轴转过的角度（角位移）都相同。相同。引入角量描述将非常方便。引入角量描述将非常方便。如：角坐标如：角坐标（ ）、）、角位移（角位

7、移（ ）等。）等。P点线速度点线速度P点线加速度点线加速度 OvP,rr定轴定轴刚体刚体 参考方向参考方向z定轴转动定轴转动刚体上任意点的刚体上任意点的 ， 都相同。都相同。 rv2n rartvaddt当刚体作当刚体作匀角加速转动匀角加速转动时，时，有运动学关系：有运动学关系： rv矢量形式矢量形式ra2neratrat或：或： )()(0202221002 ttt END一、外力矩及对转轴的分量一、外力矩及对转轴的分量设第设第i个质元受外力个质元受外力 ，Fi假定假定Fi垂直于转轴。垂直于转轴。iiiFRMiirooR iiiFrooM iFoo轴z轴z/5.2 刚体的定轴转动刚体的定轴转

8、动 xyz ooRiiFrimiooi对对O点的力矩点的力矩：iiFriFoo 在定轴转动中，在定轴转动中， 不可能引起刚体运动。不可能引起刚体运动。因此可以丢弃！因此可以丢弃！iiiziiizFrFrMsin)(相对于相对于 z 轴的合外力矩为：轴的合外力矩为：iizzMM即作用在各质元的外力矩的即作用在各质元的外力矩的 z 分量之和分量之和. .xyz ooRiiFirmiooi只考虑只考虑 z 方向的分量：方向的分量：轴z/iiFr对参考点对参考点o 的力矩在的力矩在z轴上的分量轴上的分量就等于力就等于力iF对对 z 轴的垂足轴的垂足oo（转心）（转心）的力矩（简称力的力矩（简称力iF

9、对转轴的力矩）对转轴的力矩）iFiiiivmRLivoo 垂直于垂直于z轴。轴。iiiizvmrLvi O, ,riRi定轴转动定轴转动刚体刚体zim O iiivmroo 二、二、 定轴转动刚体的角动量定轴转动刚体的角动量2iirmiizzLLiiirm)(2式中式中Jmri ii2称为刚体对转轴称为刚体对转轴 z 的转动惯量的转动惯量( (rotational inertia)i th 个质元对个质元对O点的角动量：点的角动量：刚体刚体imJLz我们只对我们只对z方向的分量感兴趣：方向的分量感兴趣：iivmoo iiivmr 由于刚体只能绕由于刚体只能绕 z 轴转动轴转动, ,引起转动的引

10、起转动的力矩只有力矩只有 ，因此转动动力学方程因此转动动力学方程MztLMzzddtJMzdd)(JLz时，当 0ddtJ 定轴转动，可不写角标定轴转动，可不写角标z，记作：，记作：与牛与牛II比较：比较：MFJma J 反映刚体转动的惯性反映刚体转动的惯性vi OriRi定轴转动定轴转动刚体刚体zim O zzML ,Jt=JMzdd JM 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律三、三、 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律JtMdd JJttJtM000ddtttM0d称为在t0到t时间内作用在刚体上的冲量矩。四、刚体定轴转动的角动量定理四、刚体定轴转动的角动量定理角动量守恒定律角动量守恒定律tJM

11、dd由转动定律由转动定律在在 t0 到到 t 时间内：时间内：00JJ 角动量定理角动量定理当合外力矩当合外力矩 时，时，0zM即：即：.constJ0 , 0 )ii(0 , 0 ) i (iizzziiizzziiizMMFrMMFrM即：即：0 , 0 )ii(0 , 0 ) i (iizzziiizzziiizMMFrMMFrM1F2F(ii)F(i)角动量守恒情况分如下几种：角动量守恒情况分如下几种：.constJ(a)const.JL,J都不变，所以都不变，所以(b).constJL,J都变化，都变化， 但是但是(c)刚体组角动量守恒！刚体组角动量守恒！.constiiiiiJL如

12、：花样滑冰、芭蕾舞、体操、跳水如：花样滑冰、芭蕾舞、体操、跳水 等运动中的动作。等运动中的动作。 若刚体由几部分组成，且都绕同一轴转动若刚体由几部分组成，且都绕同一轴转动. . 这时角动量可在刚体组内部传递。这时角动量可在刚体组内部传递。RETURNRETURNgrJmmmmraBABAA)/()(2 例例5-1研究对象：研究对象：A A、B B、圆柱、圆柱BamBmBgNBTfAamAmAgATA:A:B:B:AAAAamTgm BBBamfT 0 gmNB附加方程附加方程NfraaTTTTBABBAA 解：解：mBmArATBT圆柱：圆柱：JrTrTBA 例例5-2研究对象：研究对象：A

13、A、B B、C、圆柱。圆柱。mCmCgNCT f解：解：mBmArmCmAmAgATATBTmBmBgNBTfCT设设A、B运动距离运动距离S后，细绳后，细绳伸展，求伸展，求“碰撞碰撞”后后C的速度。的速度。A:A:B:B:0vmVmtTtgmAAAAA 0 tgmtNB圆柱：圆柱：0JJtrTtrTBA 利用质点动量定理和刚体角动量定理利用质点动量定理和刚体角动量定理(设碰撞时间为设碰撞时间为 t)：0vmVmtftTtTBBBCB C: :0 tgmtNC0 CCCVmtftTaSv20 a为加速度为加速度（上题求得）（上题求得）附加方程附加方程/00NfNfrvrVVVVTTTTCBAB

14、BAA A:A:B:B:0vmVmtTtgmAAAAA 0 tgmtNB圆柱：圆柱：0JJtrTtrTBA 0vmVmtftTtTBBBCB C: :0 tgmtNC0 CCCVmtftT与与“碰撞碰撞”时时细绳内的张力细绳内的张力相比，重力等相比，重力等产生的冲量产生的冲量（矩）可以忽（矩）可以忽略！考虑到约略！考虑到约束条件后，上束条件后，上述方程可简化述方程可简化为：为：0vmVmtTAAA 202rvJrVJtTtTBA 0vmVmtTtTBBCB 0 VmtTCC四个方程相加得：四个方程相加得：022)( )(0vrJMMVrJMMMBACBA022)()(vrJMMMrJMMVCB

15、ABA注意注意（1）上述讨论关键是对）上述讨论关键是对“碰撞碰撞”过程中，与冲击力过程中，与冲击力 相比可以忽略一些常规力！相比可以忽略一些常规力！ （2）上述结果在）上述结果在J0时，好象与时，好象与A、B、C三个物体三个物体 的动量守恒相似？但情况决不是如此！这是同的动量守恒相似？但情况决不是如此！这是同 学常常出现的错误。学常常出现的错误。0vmVmtTAAA202rvJrVJtTtTBA0vmVmtTtTBBCB0VmtTCC（3）如果忽略一些常规力，并考虑对转轴的角动量）如果忽略一些常规力，并考虑对转轴的角动量 守恒，也可以得到相同结果！守恒，也可以得到相同结果！例例5-3 “打击中

16、心打击中心”问题问题细杆：细杆：m, l ，轴轴O，在竖直位置在竖直位置静止静止. .若在某若在某时刻有力作用在时刻有力作用在A处，求轴对杆的作用力。处，求轴对杆的作用力。解：解：如图示，除力如图示，除力F外，系统还受重力、外，系统还受重力、轴的支反力等。轴的支反力等。 但这两个力对轴的力矩但这两个力对轴的力矩0。Fl0O.C . FxFyA.gm只有只有F对细杆的运动有影响，对转轴对细杆的运动有影响，对转轴O的力矩为：的力矩为：可通过转动定律求细杆的转动，再求可通过转动定律求细杆的转动，再求质心加速度。利用质心运动定理求支反力。质心加速度。利用质心运动定理求支反力。FlM0JM c(am)

17、jFiFgmFyx细杆遵从如下动力学方程：细杆遵从如下动力学方程：JFlJM0 203mlFl 质心运动定律分量式：质心运动定律分量式：cttmaFFFxcnnmamgFFy)2(lm)2(2lmmgFyFllFx 1230Fll230Fl0OC . FxFyA.gm.JM c(am) jFiFgmFyxJFlJM0 203mlFl 0质心运动定律分量式：质心运动定律分量式：cttmaFFFxcnnmamgFFy)2(lm)2(2lmmgFyFllFx 1230Fll2300讨论讨论320/ll 由于由于“冲击冲击”过程中的过程中的冲击力在短时间内有相冲击力在短时间内有相当大的数值，只要当大的

18、数值，只要xF将很大！将很大！320/ll 但但 时，时，xF为零！为零！llFx32010 ,)(llFx32020 ,)(llFx32030 ,)(Fl0O.C . FxFyA.gm则：如图所示的则：如图所示的冲击冲击A点点 就称为就称为“打击中心打击中心”。不同的刚体不同的刚体“打击中心打击中心”与刚体的形状及质量分布有关。与刚体的形状及质量分布有关。在使用工具敲打东西时，在使用工具敲打东西时，要注意用打击中心击打，以免有较大的反作用力。要注意用打击中心击打，以免有较大的反作用力。讨论讨论320/ll 由于由于“冲击冲击”过程中的过程中的冲击力在短时间内有相冲击力在短时间内有相当大的数值

19、，只要当大的数值，只要xF将很大！将很大！320/ll 但但 时，时，xF为零！为零！例例5-4 半径为半径为 R1 和和 R2、转动惯量为、转动惯量为 J1 和和 J2 的两个圆的两个圆柱体，可绕垂直轴转动，最初大圆柱体的角速度为柱体，可绕垂直轴转动，最初大圆柱体的角速度为 0，现，现将小圆柱体靠近碰到大圆柱体。由于摩擦，小圆柱体被带将小圆柱体靠近碰到大圆柱体。由于摩擦，小圆柱体被带着转动，当相对滑动停止时，两圆柱体各以恒定角速度沿着转动，当相对滑动停止时，两圆柱体各以恒定角速度沿相反方向转动。求小圆柱的最终角速度多大？相反方向转动。求小圆柱的最终角速度多大？11, RJ22, RJ011,

20、 RJ22, RJ0设垂直于纸面向里为正向：设垂直于纸面向里为正向：01111JJtfR无相对滑动：无相对滑动： 2211RR21222102112RJRJRRJ分别对分别对 o1 轴和轴和 o2 轴运用角动量定理。轴运用角动量定理。解：解：ffo11Nf1Fo22F2f NEND222JtRf一、刚体的转动惯量及计算一、刚体的转动惯量及计算定义式：定义式：Jmri ii21、 刚体为分立结构刚体为分立结构Jmri ii22 、刚体为连续体、刚体为连续体mrJd2单位：单位：2mkg :SI很明显：很明显：J与质量及其分布有关，与转轴的位置有关。与质量及其分布有关，与转轴的位置有关。5.3 转

21、动惯量的计算转动惯量的计算 式中式中 ri 为为“质量元质量元” mi 到转轴的距离。到转轴的距离。式中式中,ddVm,ddSmlmddor 几个常用几个常用 J 的计算举例：的计算举例：（1 1）均匀圆环：）均匀圆环：（2 2）均匀圆盘：）均匀圆盘：mrJd2c424cRJRmC CRmCRrrr02d2Rrr03d2221mRmrJd2mR d22mR（3 3）均匀杆：）均匀杆：oxdxdmmxJd222d2llxlmx如果将轴移到棒的一端如果将轴移到棒的一端lxlmxJ02d2121ml 231ml二、二、 平行轴定理平行轴定理 刚体对任一转轴的转动惯量刚体对任一转轴的转动惯量J 等于对

22、等于对通过质心的平行转轴的通过质心的平行转轴的转动惯量转动惯量Jc 加上刚加上刚体质量体质量 m 乘以两平行转轴间距离乘以两平行转轴间距离d 的平方的平方. .2cmdJJOcdoririmiiiiOrmJ2 iiiidrdrmiiiiiiiirmddmrm222iiimdrm22iiirrm平行轴定理平行轴定理应用举例：应用举例： 挂钟摆锤的转动惯量挂钟摆锤的转动惯量RlJJJ2131lmJlm l1 om R2 222221RlmRmJR2222212131RlmRmlmJ三、三、对薄平板刚体的垂直轴定理对薄平板刚体的垂直轴定理Jm rzii 2m xm yiiii 22 例：已知圆盘例：

23、已知圆盘JmRz 122求对圆盘的一条直径的求对圆盘的一条直径的Jx （或（或 Jy ）由由JJJJJzyxxy JJmRxy 142即即 JzJJyx yx z 圆盘圆盘 R C m y rix z yi xi mi O例例5-5 一质量为一质量为m ，长为，长为 l 的均质细杆，转轴在的均质细杆，转轴在O点，点，距距A端端 l/3 。今使棒从静止开始由水平位置绕。今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动，点转动，求求(1)水平位置的角速度和角加速度。水平位置的角速度和角加速度。(2)垂直位置时的角垂直位置时的角速度和角加速度。速度和角加速度。解：解：2cmdJJ222916121mllmmlJ

24、00lgmlmglJM23962方向：方向： cOBAgmcOBA(2)tJMddtmllmgdd91cos62dcos23dlgdcos23d200lglglg23sin2321202lg30 gmdd912ml例例5-6 一半径为一半径为R，质量为，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初角速度为水平面上。若它的初角速度为 0 0，绕中心，绕中心o o旋转，问经旋转，问经过多长时间圆盘才停止？（设摩擦系数为过多长时间圆盘才停止？（设摩擦系数为 ）drr解：解：rmgFrMdddrrRmmd2d222d2dRrgrmMmgRRrmgrMMR32d2d022Ro2

25、d2RrmrtJMddtmRmgRdd21322000d43dgRttgRt430tmRmgRdd21322000d43dgR2083gR为其转过的角度。为其转过的角度。mgRM32ENDtmRdddd212一、一、 刚体定轴转动的动能刚体定轴转动的动能iiirvmE2k212cmdJJ22ck 21mdJEr2c2c2121Jmv 可分解为刚体携总质量可分解为刚体携总质量(质心质心)绕定轴作圆周运动的动能绕定轴作圆周运动的动能 和绕质心转动的动能。和绕质心转动的动能。5.4 定轴转动中的功能关系定轴转动中的功能关系 利用平行轴定理：利用平行轴定理：222c2121mdJiiirm222122

26、1J 二、力矩作功二、力矩作功外力外力F 角位移角位移d力力F 位移的大小位移的大小ds=rd作功为作功为 sin2cosFrdFrdFdsdW MddW 0 MdW说明：说明：力矩作功的实质仍然是力作功。对力矩作功的实质仍然是力作功。对于刚体转动的情况，用力矩的角位于刚体转动的情况，用力矩的角位移来表示。移来表示。三、三、 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理tJMdd2022121JJ tJdddd0dMA利用转动定律：利用转动定律：ddJ刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理0dJ四、四、 刚体的重力势能刚体的重力势能刚体和地球系统的重力势能：刚体和地球系统的重力势能：ii

27、igzmEpiiigzmEp mzmmgiiigmicrOirz iiizmgcmgz以地面为零势能点，对质元以地面为零势能点，对质元 mi五、五、 刚体定轴转动的功能原理与机械能守恒刚体定轴转动的功能原理与机械能守恒若把重力作功用势能差表示：若把重力作功用势能差表示：0dggMA)21()21(d200c2c0JmgzJmgzM式中式中M为除重力以外的其它外力矩。为除重力以外的其它外力矩。若若M=0, const.212cJmgz刚体的机械能守恒定律刚体的机械能守恒定律)(c0cmgzmgz 2022121JJ 0d)(gMM由动能定理由动能定理例例5-7如图示已知：如图示已知： M=2m，

28、h， =60求：碰撞后瞬间盘的求：碰撞后瞬间盘的 0 ？ P 转到转到 x 轴时盘的轴时盘的 =? 解：解： m下落：下落：mghmv 122vgh 2(1)（水平）（水平）m(黏土块黏土块) yxhPOM光滑轴光滑轴均质圆盘均质圆盘RmPhv（水平水平）m(黏土块黏土块) yxhPOM光滑轴光滑轴均质圆盘均质圆盘R碰撞碰撞 t 极小，对极小，对 m +盘系统盘系统，冲击力远大于重力，故重力，冲击力远大于重力，故重力对对O力矩可忽略，角动量守恒：力矩可忽略，角动量守恒：mvRJocos (2)JMRmRmR 122222 (3)由由 (1)(2)(3) 得：得： oghR 22cos (4)对

29、对 m + M +地球系统地球系统，只有重力做功，只有重力做功，E 守恒守恒. .则：则：P、 x 重合时重合时 EP=0 。令令1mgRJJosin 12222(5)由由 (3)(4)(5)得：得： ghRgR222cossin ghRgR222cossin 12243RghR.()() 60o o由由 (3)(4)(5)得：得： ghRgR222cossin（水平水平）m(黏土块黏土块) yxhPOM光滑轴光滑轴均质圆盘均质圆盘Ru0人与转台组成的系统对竖直人与转台组成的系统对竖直轴的角动量守恒：轴的角动量守恒：JJ00)21(2122221021tumRmRm22122021tRmum例

30、例5-8 水平转台水平转台(m1 、 R ) 可绕竖直的中心轴转动，初角可绕竖直的中心轴转动，初角速度速度 0 0，一人，一人( (m2 )立在台中心，相对转台以恒定速度立在台中心，相对转台以恒定速度u沿沿半径向边缘走去，计算经时间半径向边缘走去，计算经时间 t，台转过了多少角度。，台转过了多少角度。解：解：tt0dd台转过的角度：台转过的角度：RmmutmmuR2/1122/1120)2(arctan)2(例例5-9均质细棒均质细棒 m,l, 水平轴水平轴O, ,开始棒处于水平壮态，开始棒处于水平壮态， 由静止释放，求，（由静止释放，求，（1 1）水平位置放手时，棒的质心加速度）水平位置放手

31、时，棒的质心加速度; ;（2 2）摆到竖直位置时，棒的角速度）摆到竖直位置时，棒的角速度; ;（3 3）摆到竖直位置时，轴的支反力。）摆到竖直位置时，轴的支反力。解:（1）FxFy.OzzMMd2clmgmgx 因轴的支反力未知，不可能通过质心因轴的支反力未知，不可能通过质心运动定律求棒的质心加速度。运动定律求棒的质心加速度。支反力对转轴支反力对转轴O 的力矩为零，则可通过的力矩为零，则可通过转动定律求棒的转动，再求质心加速度。转动定律求棒的转动，再求质心加速度。JMz 质心加速度：质心加速度：2ctla20cn2lamgxd3/2/2mllmglgl232 g43 lg230mxgd0 22

32、12lmgJ3gl（2）依机械能守恒，选）依机械能守恒，选O点为势能零点：点为势能零点：（3）竖直位置时：）竖直位置时：2ctla 竖直位置时竖直位置时棒的机械能棒的机械能水平水平位置位置2cn2la应用质心运动定律：应用质心运动定律：c amFictmaFxcnmamgFymgmgFy230 xFFxFy.Omg250 23g例例5-10 质点与直竿碰撞质点与直竿碰撞细杆：细杆：M, L ，轴，轴O，在竖直位置在竖直位置静止静止. .m 与棒与棒发生弹性碰撞（如图所示）。发生弹性碰撞（如图所示）。m 碰后失速下落。求碰后：棒的碰后失速下落。求碰后：棒的最大偏转角？最大偏转角？m0vaO.max解：解：利用角动量守恒：利用角动量守恒：系统受重力、轴的支反力等。系统受重力、轴的支反力等。但这些力对轴的力矩但这些力对轴的力矩0。碰前：碰前：碰后：碰后：Jalmv)(00 )(0mvalLJL 0m细杆细杆LL 在碰后的运动中，在