医用物理学：刚体运动 2（15）

1、2015-3-4Ren R西安交通大学西安交通大学P2052241.2 力矩力矩 刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动微分方程一一. 力对轴的矩力对轴的矩 力力 F 对对z 轴的力矩轴的力矩zzFrFM)()(rF/FnFFhFAz rFsinrFzFFr)(/zFrhF二二. 刚体对定轴的转动定律刚体对定轴的转动定律JMz三三. 转动惯量转动惯量2iirmJ定义式定义式质量离散分布质量离散分布连续分布连续分布mrJd21.3 绕定轴转动刚体的动能绕定轴转动刚体的动能 动能定理动能定理一一. 转动动能转动动能z Oirivim设系统包括有设系统包括有 N 个质量元个质量元Nimmmm,.,.,

2、21Nirrrr.,.,21Nivvvv,.,.,21, ,其动能为其动能为im221iikimEv2221iirm各质量元速度不同，各质量元速度不同，但角速度相同但角速度相同2221iikikrmEE刚体的总动能刚体的总动能2221iirm221JP结论结论取取二二. 力矩的功力矩的功力的累积过程力的累积过程力矩的空间累积效应力矩的空间累积效应rF/FnFFFAzrdrFddAsFdcosrFFd)(/rFdrFdcosddrFdM 功的定义功的定义对一有限过程对一有限过程21dMA若若 M = C)(12 MA( ( 积分形式积分形式 ）讨论讨论 iiiiiiAMMA2121ddsF d三

3、三. 转动动能定理转动动能定理 力矩功的效果力矩功的效果)21d(2JddMA d)ddd(JtJ对于一有限过程对于一有限过程2121)21d(d2JAA21222121JJkE绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的动刚体的动能定理动能定理刚体重力势能刚体重力势能iipghmECiimghmhmmg质心的势能质心的势能ch0PECimih四四. 刚体定轴转动的功能原理刚体定轴转动的功能原理 刚体的机械能刚体的机械能 Mecha

4、nical Energy of rigid body PKEEE 刚体定轴转动的功能原理刚体定轴转动的功能原理KPEMMMAd)(d重力矩的功重力矩的功dPM d pkEEM除重力以外的其除重力以外的其它外力的合力矩它外力的合力矩 Conservation of Mechanical energyCJmghMC2210 重力场中刚体定轴转动的动能定理重力场中刚体定轴转动的动能定理221JCmghPE)21()21(211222JmghJmghCC中美撞机事件十二周年中美撞机事件十二周年2001年4月3日，海南陵水机场，受损迫降的美军EP-3E侦察机。1088顶顶日期：2013-4-1例例2 2

5、 一刚体系统，如图所示。一刚体系统，如图所示。已知，两轮半径为已知，两轮半径为 R R、r r，对轴的，对轴的转动惯量为转动惯量为21J ,J，绳子与滑轮间无相对滑动，绳子与滑轮间无相对滑动，速度、绳子的张力速度、绳子的张力? ?求：两物的加求：两物的加1 12 2R R r r O O 解：解：111maTgm222magmTgm1gm21T2TT1T2)JJ(rTRT2121Rm1rm2grmRmJJrmRm22212121raRa21gmrmRmJJrRmrmJJT1222121222211?T 2确定确定讨论讨论 充分利用角量与线量的关系充分利用角量与线量的关系 转动定律与牛顿第二定律

6、联用转动定律与牛顿第二定律联用例例3 3 一个系统，如图示，一个系统，如图示， 已知已知32/mlJ 现有一水平力作用于棒，距轴为现有一水平力作用于棒，距轴为 l处，求轴处，求轴对棒的作用力（也称轴反力）？对棒的作用力（也称轴反力）？解解 设轴对棒的作用力为设轴对棒的作用力为 N N , ,yxN,NxNyNOCmg lFJFl 质心运动定理质心运动定理cxxmaNFcyymamgN)l l(FFJFlmlNx1232mgNy质点系质点系l l320 xN打击打击中心中心 质心运动定理与转动定律联用。质心运动定理与转动定律联用。分析分析2lm22lm0例例4 一根长为一根长为 l ，质量为质量

7、为 m 的均匀细直棒，可绕轴的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平在竖直平面内转动。面内转动。 初始时它在水平位置，求它由此下摆初始时它在水平位置，求它由此下摆 角时的角时的 ， 以及棒受轴的力。以及棒受轴的力。 Olm Cx解：解：2lmgM 下摆过程中，下摆过程中，？xdmggxdmM取质元取质元Cmxxdm CmgxM 重力对整棒的合力矩等于重力重力对整棒的合力矩等于重力 全部集中于质心所产生的力矩。全部集中于质心所产生的力矩。dmcosmglM21lcosgmlcosmglJM233212 由转动定律：由转动定律：dtddd1F2Fmg2013-4-2Ren R西安交通大学西安交通大学P2

8、052240023dlcosgdlsing32 法向加速度法向加速度 （ natural acceleration )： 切向加速度切向加速度 ( tangential acceleration )：2322singlan432cosgla231sinmgmasinmgFncosmgmaFcosmg4321994122221sinmgFFF)FF(arctg12Olm Cxdm1F2Fmg例例 一根长为一根长为 l ，质量为，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平在竖直平面内转动，初始时它在水平位置面内转动，初始时它在水平位置解解cos21mglM 0dcos2mg

9、l由动能定理由动能定理0212J0sin2lmglgsin32231mlJ 2/1)sin3(lg求求 它由此下摆它由此下摆 角时的角时的 此题也可用机械能守恒定律方便求解此题也可用机械能守恒定律方便求解OlmCxmg00221J)sin2(lmgd dMA A恒量pkEEEC221mghJE刚体的机械能守恒刚体的机械能守恒C212CmghJkEAA21dZAO例例?守恒L关于关于 O 点？点？关于关于 A 点？点？关于关于 Z 轴轴？6.3 刚体定轴转动的刚体定轴转动的动量矩和动量矩守恒定律动量矩和动量矩守恒定律一一. 刚体绕定轴转动的动量矩定理刚体绕定轴转动的动量矩定理iioiPrL任意质

10、元对定点动量矩任意质元对定点动量矩对定轴动量矩对定轴动量矩zoiziLL)(2iirm对定轴转动的刚体对定轴转动的刚体2iizrmL动量矩质元动量矩之和动量矩质元动量矩之和zJ1. 刚体定轴转动的动量矩刚体定轴转动的动量矩 imirivOZ2. 刚体定轴转动的动量矩定理刚体定轴转动的动量矩定理tJMzdd由转动定律由转动定律JJtMzddd微分形式微分形式122121ddJJJtMttz积分形式积分形式定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量iiimrviiirmv0zM0L常量J tJrmkk2说明说明3. 刚体定轴转动的动量矩守恒

11、定律刚体定轴转动的动量矩守恒定律对对定轴转动刚体定轴转动刚体 常量tJ tJ tJ 如：花样滑冰如：花样滑冰 跳水跳水 芭蕾舞等芭蕾舞等（2 2）猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期）猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度的增加而减少，据报导有只猫从高度的增加而减少，据报导有只猫从3232层楼掉下来也仅仅只有胸腔和一颗层楼掉下来也仅仅只有胸腔和一颗牙齿有轻微的损伤。为什么会这样呢？牙齿有轻微的损伤。为什么会这样呢？例例

12、 用冲击摆测定子弹的速度。用冲击摆测定子弹的速度。 已知摆的质量为已知摆的质量为 M ，摆对固定轴，摆对固定轴 的转动惯量为的转动惯量为 J，子弹的质量为，子弹的质量为 m， 子弹射入后，摆的最大子弹射入后，摆的最大角度为角度为 ， 求求子弹的速度？子弹的速度？ 解：解： dLCvm 系统的机械能守恒：系统的机械能守恒： 系统的动量矩守恒：系统的动量矩守恒： 0Lmv) ( J)(2mLJLmv22)(21mLJ)cos(0dLMg重力势重力势能零点能零点 gmLMdmLJmL)cos1)()(212v系统总动系统总动量不守恒量不守恒 Caution: O2mL)(dLMg)cos(LLmg例

13、例 质量为质量为 M，半径为，半径为 R 的水平均匀圆盘可绕通过中心的光滑竖的水平均匀圆盘可绕通过中心的光滑竖直轴自由转动。直轴自由转动。在盘边缘上站有一质量为在盘边缘上站有一质量为 m 的人，的人，都相对地面静止。都相对地面静止。 当人沿盘边走了一周时，盘对地面转过角度？当人沿盘边走了一周时，盘对地面转过角度？MROmx 解解 盘与人构成系统，盘与人构成系统， 人走动时，人走动时， 系统对竖直轴的外力矩为零系统对竖直轴的外力矩为零系统动量矩守恒系统动量矩守恒210JJ222121MRJ ,mRJt ddt ddtMRtmRdd21dd220202d21dMRmRMm21 2222Mmm人行走

14、一周人行走一周二者最初二者最初二二. 进动进动OLgmMLd高速自转的陀螺在陀螺重力对高速自转的陀螺在陀螺重力对支点支点O 的力矩作用下发生进动的力矩作用下发生进动陀螺的动量矩近似为陀螺的动量矩近似为JL 动量矩定理动量矩定理tLMddtMLddML/d当当LM时时则则只改变方向，不改变大小只改变方向，不改变大小( (进动进动) )L 进动角速度进动角速度OLsinLdLdtddtLLd1sindtLtMdsind1sinJM以上只是近似讨论，以上只是近似讨论，只适用高速自转，即只适用高速自转，即CCMrviiiCiim r rm vviiiCCm rMr vviiiCCOm rMrL vv(

15、1)(1) 质点系的动量矩质点系的动量矩( (角动量角动量) )可分为两项可分为两项第一项：第一项：只包含系统的总质量只包含系统的总质量、质心的位矢和质心的速度质心的位矢和质心的速度 轨道角动量轨道角动量第二项：第二项：是质点系各质点相对于质心的角动量的矢量和是质点系各质点相对于质心的角动量的矢量和自旋角动量自旋角动量自旋轨道LLLOCCMrLv轨道iiim rL v自旋说明说明Oivmii rCriiCmrviCiim r vvCCJJLz00 刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动 动量矩守恒定律动量矩守恒定律 质点绕定点转动质点绕定点转动 动量矩守恒定律动量矩守恒定律CmrPrLiiiiiiv例例

16、 一质量为一质量为 m 的小球，以速度的小球，以速度 u 竖直落到直棒的端点，与棒作完全弹性竖直落到直棒的端点，与棒作完全弹性碰撞，碰撞，求求小球小球回跳速度回跳速度和棒绕轴转动的和棒绕轴转动的角速度角速度？muM2lO解：解：vmmuuv?mul碰前、碰后角动量守恒：碰前、碰后角动量守恒：Jlmv碰前碰后的动能守恒碰前碰后的动能守恒222212121Jmmuv3/2MlJ 系统动量不守恒系统动量不守恒 明明确确mMumM3)3(v回跳速度回跳速度l )mM/(mu36细棒的旋转角速度：细棒的旋转角速度：)(ddddJttLJtJtLdddd)(ddJtM )d(dJtM)d(d2121JtM

17、JJtt12JJ）为冲量矩 d(21tttM0zM0zL常量J 3. 刚体定轴转动的动量矩守恒定律刚体定轴转动的动量矩守恒定律对对定轴转动刚体定轴转动刚体当当变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒 常量tJ tJ tJ 如：花样滑冰如：花样滑冰 跳水跳水 芭蕾舞等芭蕾舞等绕定轴转动的物体系绕定轴转动的物体系当当0zMCJLz如：人站在转台上，用手拨动轮子，则转台会向相反的如：人站在转台上，用手拨动轮子，则转台会向相反的 方向转动方向转动因为：内力矩只能改变物体系内各物体的动量矩，但不能因为：内力矩只能改变物体系内各物体的动量矩，但不能 改变

18、物体的总动量矩改变物体的总动量矩22201210)2()2(mrJmrJ12202102)2()2(mrJmrJ2121022220k)2(21)2(21mrJmrJE) 122()2(2122021021210mrJmrJmrJ2r1rmzRv0R / 2v = ?GMz角动量守恒角动量守恒mv0 Rmv R / 2v = 2v0例例有一转台，有一转台，MR初始的角速度为初始的角速度为0有一个人站在转台的中心，有一个人站在转台的中心，mu以相对于转台的恒定速度以相对于转台的恒定速度u沿半径向边缘走去，沿半径向边缘走去，人走了人走了t 时间后，转台转过的角度时间后，转台转过的角度例例解解求求人

19、和转台组成的系统对人和转台组成的系统对竖直轴竖直轴不受外力矩不受外力矩选选( (人和转台人和转台) )为系统为系统因此，系统对因此，系统对竖直轴竖直轴的角动量守恒的角动量守恒在时间在时间 t 内，内， 人走到距转台中心的距离为人走到距转台中心的距离为utr )()(22210221mrMRMR222021MRtmu t ddtt00d d)2arctg(20RMmutMmuR 如图，两个质量均为如图，两个质量均为m的小孩，各抓住跨过滑轮绳子的两端。的小孩，各抓住跨过滑轮绳子的两端。一个用力向上爬，另一个则抓住绳子不动。若一个用力向上爬，另一个则抓住绳子不动。若滑轮的质量滑轮的质量和和轴上的摩擦

20、力轴上的摩擦力都可忽略，开始时两小孩都不动都可忽略，开始时两小孩都不动 哪一个小孩先到达滑轮哪一个小孩先到达滑轮例例解解求求RO 以小孩、滑轮作为系统以小孩、滑轮作为系统则系统对则系统对O点的总角动量为点的总角动量为)(21vv mRLo+1v2v而系统所受的外力矩只有两个小孩的重力矩，而系统所受的外力矩只有两个小孩的重力矩，且合力矩为零且合力矩为零所以系统对所以系统对O点的总角动量守恒点的总角动量守恒开始时两小孩都不动开始时两小孩都不动所以所以021vv0oL随后随后0021vv0oL但但21vv 思考思考： 若两个小孩质量不等时情况如何？若两个小孩质量不等时情况如何？例例 一均质棒，长度为

21、一均质棒，长度为 L，质量为，质量为M，现有，现有一子弹在距轴为一子弹在距轴为 y 处水平射入细棒，子处水平射入细棒，子弹的质量为弹的质量为 m ,速度为速度为 v0 。求求 子弹细棒共同的角速度子弹细棒共同的角速度 。解解ym0v其中其中xNy0vm2231myMLJJJ子棒22031myMLymv讨论讨论 水平方向动量守恒水平方向动量守恒子弹、细棒系统的动量矩守恒子弹、细棒系统的动量矩守恒xN0 J质点与刚体的碰撞过程满足角动量守恒定律，而不是动量守恒定律质点与刚体的碰撞过程满足角动量守恒定律，而不是动量守恒定律l陀螺仪：陀螺仪：能够绕其对称轴高速能够绕其对称轴高速 旋转的厚重的对称刚体。

22、旋转的厚重的对称刚体。l陀螺仪的特点：陀螺仪的特点：具有轴对称性和具有轴对称性和绕对称轴有较大的转动惯量。绕对称轴有较大的转动惯量。 l陀螺仪的定向特性：陀螺仪的定向特性：由于不受外由于不受外力矩作用，陀螺角动量的大小和力矩作用，陀螺角动量的大小和方向都保持不变；无论怎样改变方向都保持不变；无论怎样改变框架的方向，都不能使陀螺仪转框架的方向，都不能使陀螺仪转轴在空间的取向发生变化。轴在空间的取向发生变化。l尾桨的设置：尾桨的设置：直升机发动后机身要在旋翼旋转相反方向旋直升机发动后机身要在旋翼旋转相反方向旋转，产生一个向下的角动量。为了不让机身作这样的反向转，产生一个向下的角动量。为了不让机身作

23、这样的反向旋转，在机身尾部安装一个尾桨，尾桨的旋转在水平面内旋转，在机身尾部安装一个尾桨，尾桨的旋转在水平面内产生了一个推力，以平衡单旋翼所产生的机身扭转作用。产生了一个推力，以平衡单旋翼所产生的机身扭转作用。l对转螺旋桨的设置：对转螺旋桨的设置：双旋翼直升机则无需尾桨，它在直立双旋翼直升机则无需尾桨，它在直立轴上安装了一对对转螺旋桨，即在同轴心的内外两轴上安轴上安装了一对对转螺旋桨，即在同轴心的内外两轴上安装了一对转向相反的螺旋桨。工作时它们转向相反，保持装了一对转向相反的螺旋桨。工作时它们转向相反，保持系统的总角动量仍然为零。系统的总角动量仍然为零。 动力学规律：动力学规律：C2C2imd

24、tdmarFCCJM 质心运动定理：质心运动定理： 刚体绕质心的转动规律：刚体绕质心的转动规律： 222121CCKmvJE 刚体的动能：刚体的动能： 平面运动的平面运动的基本方程组基本方程组 思考题：思考题： 如图示，将一质量为如图示，将一质量为 m m 的长杆用细绳从两端水平地挂起，其的长杆用细绳从两端水平地挂起，其中一根绳子突然断了，中一根绳子突然断了，另一根绳子内的张力是多少？另一根绳子内的张力是多少？ Tm ml lCmaTmg质心运动定律质心运动定律转动定律转动定律Jlmg2Calml232mgTmg43mgT41mgmg五五. 进动进动高速自转的陀螺在高速自转的陀螺在陀螺重力对支点陀螺重力对支点O 的力矩作用下发生进动的力矩作用下发生进动l现象：现象：陀螺仪在外力矩的作用下，在绕陀螺仪在外力矩的作用下，在绕其对称轴高速转动的同时，横杆也会在其对称轴高速转动的同时，横杆也会在水平面内绕竖直轴缓慢地转动。水平面内绕竖直轴缓慢地转动。l进动：进动：高速转动物体的自转轴绕另一高速转动物体的自转轴绕另一轴线的旋转运动形式。轴线的旋转运动形式。 OOLgm 自转角速度越大，进动角速度越小，反之依然；自转角速度越大，进动角速度越小，反之依然； 进动角速度与倾角无关。进动角速度与倾角无关。 章动章动（Nutation） 当刚体自转角速度较小时，它的当刚体自转角速度较小时，