原子物理学：第三章 量子力学导论

1、第三章Old Quantum theory 1900Planck 1905Einstein (Compton) 1913Bohr 1925Pauli, Ulenbeck, GoudsmithNew Quantum theory 1924 de Broglie 1925-1928Heisenburg, Born, Schrodinger, Dirac定态到底为什么不能辐射?Rutherford: 跃迁时，电子必须事先知道它要往哪里跳，才知道该吸收哪个能量的光；但是不吸收光，又怎么知道末态的情况逻辑循环Schrodinger： “糟透的跃迁”- 电子在跃迁中在哪里？ 思想方法思想方法 自然界在许多

2、方自然界在许多方面都是明显地对称的，他采用类面都是明显地对称的，他采用类比的方法提出物质波的假设比的方法提出物质波的假设 . “整个世纪以来，在辐射理论上，比起波动的研整个世纪以来，在辐射理论上，比起波动的研究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法；究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法； 在实物在实物理论上，是否发生了相反的错误呢理论上，是否发生了相反的错误呢 ？ 是不是我们关是不是我们关于于粒子粒子的图象想得太多的图象想得太多 ，而过分地忽略了波的，而过分地忽略了波的图象呢？图象呢？” 法国物理学家德布罗意法国物理学家德布罗意（Louis Victor de Broglie 1892 1987

3、)Wave-particle duality拍(1)(1)经典物理中的波和粒子经典物理中的波和粒子22得到其间，波走过了,1或,1时间是观测到一个拍所需要的xvvtvxtt一个拍(2)(2)光的波粒二象性光的波粒二象性（1 1）波动性：波动性： 光的干涉和衍射光的干涉和衍射l 1672年，牛顿，光的微粒说。l 1678年，惠更斯，光的波动学说，光的直线传播、反射折射定理，双折射现象。l 19世纪初，菲涅耳、夫琅禾费、杨氏等，了光的干涉、衍射。l 19世纪末，麦克斯韦和赫兹，光是电磁波。(2)(2)光的波粒二象性光的波粒二象性hE hp 描述光的描述光的 粒子性粒子性 描述光的描述光的 波动性波

4、动性hchcEppcEE,00 光子光子 20222EcpE 相对论能量和动量关系相对论能量和动量关系hE （2 2）粒子性：粒子性： （光电效应等）（光电效应等）（1 1）波动性：波动性： 光的干涉和衍射光的干涉和衍射（3）德布罗意假设）德布罗意假设（1924 年年 ）德布罗意假设：实物粒子具有波粒二象性德布罗意假设：实物粒子具有波粒二象性 .hE hp hmchE2mvhph 德布罗意公式德布罗意公式2）宏观物体的德布罗意波长小到实验难以）宏观物体的德布罗意波长小到实验难以测量的程度，因此宏观物体仅表现出粒子性测量的程度，因此宏观物体仅表现出粒子性 .注注 意意0mmcv1 1）若）若 则

5、则若若 则则cv0mm 例例 在一束电子中，电子的动能为在一束电子中，电子的动能为 ，求此电子的德布罗意波长求此电子的德布罗意波长 ？eV200解解20k21,vvmEc0k2mEv1 -613119sm104 . 8sm101 . 9106 . 12002vnm1067.82nm104 . 8101 . 91063. 6631340vmhcv此波长的数量级与此波长的数量级与 X 射线波长的数量级相当射线波长的数量级相当. .（4）德布罗意）德布罗意波的实验证明：波的实验证明：戴维孙戴维孙 革末电革末电子衍射实验（子衍射实验（1927年）年）德布罗意的方程三年后通过两个独立的电子散射实验被证实

6、于电子（具有静止质量）身上。在贝尔实验室Clinton Joseph Davisson和Lester Halbert Germer以低速电子束射向镍单晶获得电子经单晶衍射，测得电子的波长与德布罗意公式一致。在阿伯丁大学，George Paget Thomson以高速电子穿过多晶金属箔获得类似X射线在多晶上产生的衍射花纹，确凿证实了电子的波动性；以后又有其他实验观测到氦原子、氢分子以及中子 的衍射现象，微观粒子的波动性已被广泛地证实。根据微观粒子波动性发展起来的电子显微镜、电子衍射技术和中子衍射技术已成为探测物质微观结构和晶体结构分 析的有力手段。德布罗意于1929年因为这个假设获得了诺贝尔物理

7、学奖。Thomson和Davisson因为他们的实验工作共享了1937年诺贝尔物理学奖。 1. 戴戴维孙维孙 革末电子衍射实验革末电子衍射实验1927年，戴维逊和革末，电子衍射实验，测量了电子波的波长，证实了德布罗意假设。2 2实验结果实验结果(1)当U不变时，I与的关系如图不同的，I不同；在有的上将出现极值。(2)当不变时，I与U的关系如图当U改变时，I亦变；而且随了U周期性的变化 晶体结构：当 时加强-布拉格公式。 ndsin22)12(sin2nnd波程差：两相邻晶面电子束反射射线干涉加强条件两相邻晶面电子束反射射线干涉加强条件 可见，当、满足此式时，测得电流的极大值。emUkhd21s

8、inemUdkh21sink777. 0sin当当 时，时， 与实验结果相近与实验结果相近.51777. 0arcsin1km1015. 210d镍晶体镍晶体kee2Emhmhv电子波的波长电子波的波长 See P.81, Fig.12.6 实验证明了电子确实具有波动性，也证明了德布罗意公式的正确性。并进一步证明：一切实物粒子(电子、中子、质子等都具有波动性。 )(225. 1VUnm? 2 , 1n 对于通过电压U加速的电子：当U不变时，改变，可使某一满足上式，出现极大值 当不变时，改变U，可使某一U满足上式，出现极大值。2. G.P.汤姆逊实验汤姆逊实验1927年英国物理学家年英国物理学家

9、G.P.汤姆逊做了电子通过金多汤姆逊做了电子通过金多晶薄膜的衍射实验晶薄膜的衍射实验1929年年 德布洛意获诺贝尔物理奖。德布洛意获诺贝尔物理奖。1937年年 戴维逊戴维逊 与与 G.P.汤姆逊获诺贝尔物理奖。汤姆逊获诺贝尔物理奖。3. 约恩逊实验约恩逊实验1961年年C. Jnsson运用铜箔中形成的运用铜箔中形成的2-5条细缝条细缝得到了电子的多缝干涉图样。得到了电子的多缝干涉图样。1930年艾斯特曼年艾斯特曼(Estermann)、斯特恩、斯特恩(Stern)、和他们的同事们证实了普通原子具有波动性。和他们的同事们证实了普通原子具有波动性。后来实验又验证了质子、中子等实物粒子都具有后来实

10、验又验证了质子、中子等实物粒子都具有波动性。波动性。4. 其它实验其它实验三、微观粒子波动性的应用三、微观粒子波动性的应用 1933年，德国的年，德国的E.Ruska和和Knoll等人研制成功第等人研制成功第一台电子显微镜。一台电子显微镜。 1982年，年，IBM的的G.Binnig和和H.Rohrer研制成功第研制成功第一台隧道扫描显微镜（一台隧道扫描显微镜（STM）。）。鲁斯卡：电子物理领域的基础鲁斯卡：电子物理领域的基础研究工作，设计出世界上第一研究工作，设计出世界上第一台电子显微镜，台电子显微镜，宾尼：设计出扫描式宾尼：设计出扫描式隧道效应显微镜隧道效应显微镜罗雷尔：设计出扫描罗雷尔：

11、设计出扫描式隧道效应显微镜式隧道效应显微镜 解解 在热平衡状态时在热平衡状态时, , 按照能均分定理慢中按照能均分定理慢中子的平均平动动能可表示为子的平均平动动能可表示为例例 试计算试计算温度为温度为 时慢中子的德布罗意波时慢中子的德布罗意波长长. .C25K298TeV1085. 3232kT平均平动动能平均平动动能kg1067. 127nm124nsmkg1054. 42mpnm146. 0ph慢中子的德布罗意波长慢中子的德布罗意波长（5）德布罗意）德布罗意波和量子态波和量子态从从德布罗意波导出氢原子波尔理论中角动量量子化德布罗意波导出氢原子波尔理论中角动量量子化条件条件.nr 2, 4

12、, 3 , 2 , 1nnhrmv2两端固定的弦，若其长度两端固定的弦，若其长度等于波长则可形成稳定的等于波长则可形成稳定的驻波驻波.r2将弦弯曲成圆时将弦弯曲成圆时vmh电子绕核运动其德布罗意波长为电子绕核运动其德布罗意波长为2hnrmLv角动量量子化条件角动量量子化条件粒子粒子在匣中的动能为在匣中的动能为 1/2mv2 ，运动周期为运动周期为2d/v按照按照物质波物质波的观点的观点，物质波来回，物质波来回反射形成反射形成驻波驻波驻波驻波波长满足波长满足粒子粒子的动量的动量 动能动能量子化！定量子化！定域的域的波导波导致量子化行为。致量子化行为。pnhnd2/2/dnhp2/22228/2/

13、mdhnmpEk（6）刚性）刚性匣中的粒子匣中的粒子（7）波和非定域性）波和非定域性就氢原子做一估算eVamerrEremrrmhmdhEk6 .13E40dd42E881220min022222222并且得到基态能：得到总能量德布罗意假设：实物粒子具有波粒二象性德布罗意假设：实物粒子具有波粒二象性 .复习复习hE hp 描述物质的描述物质的 粒子性粒子性 描述物质的描述物质的 波动性波动性光子的不确定性光子的不确定性按照经典波动理论，约束在空间某区域内的波不可按照经典波动理论，约束在空间某区域内的波不可能是单色的能是单色的不可能具有唯一的波长。不可能具有唯一的波长。这一结论对物质波同样正确：

14、被束缚在某区域的粒这一结论对物质波同样正确：被束缚在某区域的粒子不可能具有确定的动量，即粒子的坐标和动量不子不可能具有确定的动量，即粒子的坐标和动量不能同时取确定值，存在一个能同时取确定值，存在一个不确定关系。（杨：反不确定关系。（杨：反对称为测不准关系）对称为测不准关系）海森堡（海森堡（W. Heisenberg）在）在1927年发表了著名的位年发表了著名的位置置动量不确定关系动量不确定关系hpxx一、位置一、位置动量不确定关系动量不确定关系(1)不确定关系的表述和含义不确定关系的表述和含义不限制电子坐标时，动量可以取确定值。不限制电子坐标时，动量可以取确定值。对坐标对坐标 x 测量得越精确

15、（测量得越精确（ x 越小），动量不确定性越小），动量不确定性 px 就越大就越大(衍射越厉害衍射越厉害)。电子的坐标和动量不能同时确定。电子的坐标和动量不能同时确定。严格的不确定性关系应该是：严格的不确定性关系应该是：hpxx2/p2/tEP. 89简单推导222zyxpzpypxphbhpxhpxxbsin一级最小衍射角一级最小衍射角 电子经过缝时的电子经过缝时的位置位置不确定不确定 .bx bpppxsin 电子经过缝后电子经过缝后 x 方向方向动量不确定动量不确定 用电子衍射说明不确定关系用电子衍射说明不确定关系yxhp hp b电子的单缝衍射实验电子的单缝衍射实验ohpxx考虑衍射次

16、级有考虑衍射次级有 电子的单缝衍射(1961年，约恩逊成功的做出)狭缝对电子束起了两种作用：一是将它的坐标限制在缝宽d的范围内，一是使电子在坐标方向上的动量发生了变化。这两种作用是相伴出现的，不可能既限制了电子的坐标，又能避免动量发生变化。如果缝愈窄，即坐标愈确定，则在坐标方向上的动量就愈不确定。因此，微观粒子的坐标和动量不能同时有确定的值。0 xxp/ 2xxph 1smkg2vmp解解 子弹的动量子弹的动量 例例 1 一颗质量为一颗质量为10 g 的子弹，具有的子弹，具有 的的速率速率 . 若其动量的不确定范围为动量的若其动量的不确定范围为动量的 (这在这在宏观范围是十分精确的宏观范围是十

17、分精确的 ) , 则该子弹位置的不确定量则该子弹位置的不确定量范围为多大范围为多大?1sm200%01. 014smkg102%01. 0pp动量的不确定范围动量的不确定范围m103 . 3m1021063. 630434phx位置的不确定量范围位置的不确定量范围 例例2 一电子具有一电子具有 的速率的速率, 动量的不确动量的不确范围为动量的范围为动量的 0.01% (这也是足够精确的了这也是足够精确的了) , 则该则该电子的位置不确定范围有多大电子的位置不确定范围有多大?1 -sm200128smkg108 . 1p解解 电子的动量电子的动量131smkg200109.1vmp132smkg

18、108 . 1%01. 0pp动量的不确定范围动量的不确定范围m107 . 3m108 . 11063. 623234phx位置的不确定量范围位置的不确定量范围不确定关系适用于微观粒子不确定关系适用于微观粒子将激光光子位置将激光光子位置- -动量不确定性关系动量不确定性关系2tE二、能量和时间的不确定关系二、能量和时间的不确定关系2xpx同样可得粒子处于某状态的能量和时间的不确定性同样可得粒子处于某状态的能量和时间的不确定性关系关系变为变为2chtc可以解释为什么原子谱线自然宽度可以解释为什么原子谱线自然宽度2tEtE2eV1017 0EnE谱线宽度：谱线宽度：hEHz1018与实验测量结果吻

19、合！与实验测量结果吻合！原子基态寿命无穷长，基态有确定的能量值。原子基态寿命无穷长，基态有确定的能量值。例例 原子在激发态的寿命为原子在激发态的寿命为10-8 s，由由不确定关系不确定关系P.91应用举例不确定性关系限定了使用经典语言的范围和度不确定性关系限定了使用经典语言的范围和度微观粒子同一方向上的坐标与动量不可同时准确微观粒子同一方向上的坐标与动量不可同时准确测量测量, ,它们的精度存在一个终极的不可逾越的限制它们的精度存在一个终极的不可逾越的限制 . .不确定性的物理根源是粒子的波动性。不确定性的物理根源是粒子的波动性。说明说明不确定性与测量没有关系，是微观粒子不确定性与测量没有关系，

20、是微观粒子波波粒二象性的体现。粒二象性的体现。对对宏观宏观粒子，因粒子，因 很小，所以很小，所以h0 xpx可视为位置和动量可视为位置和动量能同时能同时准确测量准确测量 .p.93思考题1，2但是但是有没有一种终极理论？有没有一种终极理论？会不会有一个高维度的会不会有一个高维度的文明？文明？ 经典经典粒子粒子 不被分割的整体，有确定位置和运动轨不被分割的整体，有确定位置和运动轨道道 ；决定论，严格的因果律决定论，严格的因果律经典经典的波的波 某种实际的物理量的空间分布作周期性的某种实际的物理量的空间分布作周期性的变化，波具有相干叠加性变化，波具有相干叠加性 . 二象性二象性 要求将波和粒子两种

21、对立的属性统一到同一要求将波和粒子两种对立的属性统一到同一物体上物体上 .必须采用几率性的观点（量子力学的哥本哈必须采用几率性的观点（量子力学的哥本哈根解释）根解释） 一一 波函数波函数 概率密度概率密度1）经典的波与波函数经典的波与波函数)(2cos),(0 xtEtxE)(2cos),(0 xtHtxH 电磁波电磁波)(2cos),(xtAtxy 机械波机械波eRe),()(2ixtAtxy 经典波为经典波为实实函数函数既然粒子具有波动性，应该有描述波动性的函数既然粒子具有波动性，应该有描述波动性的函数波函数波函数。奥地利物理学家薛定谔（奥地利物理学家薛定谔（ESchrodinger，18

22、871961）1925年提出用波函数年提出用波函数(r, t)描述粒子运动状态。描述粒子运动状态。按德布罗意假设：能量按德布罗意假设：能量E、动量、动量 p 的的“自由粒子自由粒子”沿沿x方向运动方向运动对应的对应的物质波应为物质波应为“单色平面波单色平面波”：)(0),(kxtietx2）量子力学波函数（量子力学波函数（复函数复函数）)(0),(pxEtietx 0为待定常数为待定常数,Ekp或由关系数或由关系数可将波函数改写为可将波函数改写为若粒子为三维自由运动若粒子为三维自由运动，波函数可表示为波函数可表示为)(0),(tErpietrhEph微观粒子的微观粒子的波粒二象性波粒二象性 自

23、由自由粒子能量粒子能量 和动量和动量 是是确定确定的，其德布罗的，其德布罗意频率和波长均不变意频率和波长均不变 ， 可认为它是一可认为它是一平面平面单色波单色波 .平面单色波波列平面单色波波列无限长无限长 ，根据不确定原理，根据不确定原理 ，粒子在，粒子在 x方向上的位置方向上的位置完全不完全不确定确定 .Ep 自由自由粒子平面波函数粒子平面波函数)(2i0e),(pxEthtx经典力学经典力学 位置和速度位置和速度 量子力学量子力学 波函数波函数波函数体现了波粒二象性，其中的波函数体现了波粒二象性，其中的E E和和 是描写粒子性是描写粒子性的物理量，却处在一个描写波的函数中。的物理量，却处在

24、一个描写波的函数中。p 波函数的物理意义是什么？粒子的什么性质在波动？波函数的物理意义是什么？粒子的什么性质在波动？二、波函数的统计解释二、波函数的统计解释对应粒子波动性的波函数做为一个重要的新概念登上量子力学舞台后，其本身的物理意义却模糊不清，使许多物理学家感到迷惑不解而大伤脑筋。爱因斯坦为了解释光粒子（光量子或光子）和波的二象性，把光波的强度解释为光子出现的几率密度。玻恩玻恩( (MBorn，18821970)在这个观念在这个观念的启发下，马上将其推广到的启发下，马上将其推广到函数上。函数上。1926 年玻恩提出年玻恩提出 德布罗意波是德布罗意波是概率概率波波 .|2必须是电子（或其它粒子

25、）的几率密必须是电子（或其它粒子）的几率密度度” 。1954年，年，玻恩获诺贝尔物理奖。玻恩获诺贝尔物理奖。 （ , ,t t）的物理意义在于：的物理意义在于：波函数的模的平方（波的强度）代波函数的模的平方（波的强度）代表时刻表时刻 t、在空间、在空间 点处，单位体点处，单位体积元中微观粒子出现的概率。积元中微观粒子出现的概率。rr 统计解释：统计解释：在某处德布罗意波的强度是与粒子在某处德布罗意波的强度是与粒子在该处邻近出现的概率成正比的在该处邻近出现的概率成正比的 . 概率概念的哲学意义：概率概念的哲学意义：在已知给定条件下，不在已知给定条件下，不可能精确地预知结果，只能预言某些可能的结果

26、的可能精确地预知结果，只能预言某些可能的结果的概率概率 .1.波恩的波函数几率解释是量子力学基本原理之一2.经典波振幅是可测量，而波函数是不可测量，可测是几率不同于经典波的波函数，它无直接的物理意义。不同于经典波的波函数，它无直接的物理意义。),(tr 有意义的是有意义的是对单个粒子，对单个粒子，给出粒子的概率分布密度；给出粒子的概率分布密度；2 对对N 个粒子，个粒子，2 N给出粒子数的分布密度。给出粒子数的分布密度。trtrtrtr,*2VtrtrVtrd,d),(*在时刻在时刻 t、空间、空间 点处，体积元点处，体积元 dV 中发现微观粒子中发现微观粒子的概率为：的概率为：r对对N 粒子

27、系，在体积元粒子系，在体积元 dV 中发现的粒子数为中发现的粒子数为VtrtrNNd,d*说明：说明：1.波函数应满足的条件波函数应满足的条件 1. 自然条件：单值、有限和连续自然条件：单值、有限和连续2. 归一化条件归一化条件)(全空间 VtrVtrd),( d),( 21d),(),(*Vtrtr粒子出现在粒子出现在dV 体积内的几率为：体积内的几率为：粒子在空间各点的概率总和应为粒子在空间各点的概率总和应为 l，END让入射电子几乎一个一个地通过单缝让入射电子几乎一个一个地通过单缝随着电子数增大，逐渐形成衍射图随着电子数增大，逐渐形成衍射图样样衍射图样来源于衍射图样来源于“单个电子单个电

28、子”所具有的波动性所具有的波动性统计规律。统计规律。底片上出现一个一个的点子，开始时底片上出现一个一个的点子，开始时点子无规则分布点子无规则分布 说明说明电子具有电子具有“粒子性粒子性”，但不满足经典的决定论。，但不满足经典的决定论。一个电子重复许多次相同实验表现一个电子重复许多次相同实验表现出的统计结果。出的统计结果。是自己与自己干涉是自己与自己干涉例例 用几率波说明用几率波说明弱电子流单弱电子流单缝衍射缝衍射数百个电子数百个电子少数几个电子少数几个电子数万个电子数万个电子德布洛意波（物质波）也称为德布洛意波（物质波）也称为概率波概率波。单缝、双缝干涉实验在1961年前是假想实验如何如何理解

29、微观粒子的波粒二象性理解微观粒子的波粒二象性 （1）粒子性粒子性指它与物质相互作用的指它与物质相互作用的 “整体性整体性”。但不是。但不是经典的粒子，因为微观粒子没有确定的轨道。经典的粒子，因为微观粒子没有确定的轨道。(2) 波动性波动性“弥散性弥散性”、“可叠加性可叠加性”、“干涉干涉”、“衍衍射射”。不。不 是经典的波，并不对应某真实物是经典的波，并不对应某真实物理量的波动。理量的波动。(3) 在一些情况下，实物粒子突出显示出其粒子特在一些情况下，实物粒子突出显示出其粒子特性；而在另一些情况下，则突出显示出波动特性；而在另一些情况下，则突出显示出波动特性性即波粒二象性。即波粒二象性。“波动

30、性波动性”与与“粒子性粒子性”的联系的联系玻恩统计解玻恩统计解释。释。3. 关于量子力学的争论关于量子力学的争论 以玻耳为首，包括以玻耳为首，包括海森堡、狄拉克、玻恩海森堡、狄拉克、玻恩的哥本的哥本哈根学派：宇宙中事物偶然性是根本的，必然性是偶哈根学派：宇宙中事物偶然性是根本的，必然性是偶然性的平均表现。然性的平均表现。 以爱因斯坦为首，包括薛定以爱因斯坦为首，包括薛定谔、德布罗意学派：自然规律根谔、德布罗意学派：自然规律根本上是决定论的。本上是决定论的。“上帝肯定不上帝肯定不是用掷骰子来决定电子应如何运是用掷骰子来决定电子应如何运动的！动的！” “God does not play dice

31、”v 备注备注Einstein: 不相信单个电子的运动是不确定的，可以不相信单个电子的运动是不确定的，可以设计更精确的实验仪器解决。设计更精确的实验仪器解决。Bohr: 所有粒子的不确定性是原则的、本性的。所有粒子的不确定性是原则的、本性的。Einstein: 我不相信上帝会玩骰子。我不相信上帝会玩骰子。Bohr: 不要指挥上帝去做什么。不要指挥上帝去做什么。Einstein-Bohr 争论（争论（1927-1955）Einstein: 按照电子的衍射，某一电子落在何处与前按照电子的衍射，某一电子落在何处与前一个电子落在何处有关，这是不可能的。一个电子落在何处有关，这是不可能的。Bohr: 不

32、是前后电子之间相互影响，而是单个电不是前后电子之间相互影响，而是单个电 子的运动具有不确定性。子的运动具有不确定性。在在1927年年Solvey会议上：会议上：尽管量子论的诞生已经过了一个世纪，其辉煌鼎盛与繁荣也过了半个世纪。但是量子理论曾经引起的困惑至今仍困惑着人们。正如玻尔的名言：“谁要是第一次听到量子理论时没有感到困惑，那他一定没听懂。”薛定谔的猫就是诸多量子困惑中有代表性的一个。 薛定谔在年发表了一篇论文，题为量子力学的现状，在论文的第节，描述了那个常被视为恶梦的猫实验：哥本哈根派说，没有测量之前，一个粒子的状态模糊不清，处于各种可能性的混合叠加。比如一个放射性原子，它何时衰变是完全概

33、率性的。只要没有观察，它便处于衰变不衰变的叠加状态中，只有确实地测量了，它才随机选择一种状态而出现。那么让我们把这个原子放在一个不透明的箱子中让它保持这种叠加状态。薛定谔想象了一种结构巧妙的精密装置， 一只可怜的雌猫（以引起更多怜悯）被封在一个密室里，密室里有食物有毒药。毒药瓶上有一个锤子，锤子由一个电子开关控制，电子开关由放射性原子控制。如果原子核衰变，则放出粒子，触动电子开关，锤子落下，砸碎毒药瓶，释放出里面的氰化物气体，雌猫必死无疑。这个残忍的装置由薛定谔所设计，所以此猫便叫做薛定谔猫。 自然的推论：当它们都被锁在箱子里时，因为我们没有观察，所以那个原子处在衰变不衰变的叠加状态。因为原子

34、的状态不确定，所以猫的状态也不确定，只有当我们打开箱子察看，事情才最终定论：要么猫四脚朝天躺在箱子里死掉了，要么它活蹦乱跳地“喵呜”直叫。问题是，当我们没有打开箱子之前，这只猫处在什么状态？似乎唯一的可能就是，它和我们的原子一样处在叠加态，这只猫当时陷于一种死活的混合。 一只猫同时又是死的又是活的？它处在不死不活的叠加态？这未免和常识太过冲突，同时在生物学角度来讲也是奇谈怪论。如果打开箱子出来一只活猫，那么要是它能说话，它会不会描述那种死活叠加的奇异感受？恐怕不可能。 换言之，薛定谔猫概念的提出是为了解决爱因斯坦的相对论所带来的祖母悖论，即平行宇宙之说。 原子核的衰变是随机事件，物理学家所能精

35、确知道的只是半衰期衰变一半所需要的时间。如果一种放射性元素的半衰期是一天，则过一天，该元素就少了一半，再过一天，就少了剩下的一半。但是，物理学家却无法知道，它在什么时候衰变，上午，还是下午。当然，物理学家知道它在上午或下午衰变的几率也就是雌猫在上午或者下午死亡的几率。 如果我们不揭开密室的盖子，根据我们在日常生活中的经验，可以认定，雌猫或者死，或者活。这是她的两种本征态。但是，如果我们用薛定谔方程来描述薛定谔猫，则只能说，她处于一种活与不活的叠加态。我们只有在揭开盖子的一瞬间，才能确切地知道雌猫是死是活。此时，猫的波函数由叠加态立即收缩到某一个本征态。量子理论认为：如果没有揭开盖子，进行观察，

36、我们永远也不知道雌猫是死是活，她将永远到处于半死不活的叠加态。这与我们的日常经验严重相违，要么死，要么活，怎么可能不死不活，半死半活？ 薛定谔挖苦说：按照量子力学的解释，箱中之猫处于“死活叠加态”既死了又活着！要等到打开箱子看猫一眼才决定其生死。（请注意！不是发现而是决定，仅仅看一眼就足以致命！）正像哈姆雷特王子所说：“生存，还是毁灭，这可真是一个问题。”只有当你打开盒子的时候，迭加态突然结束（在数学术语就是“坍缩（collapse）”），哈姆雷特王子的犹豫才终于结束，我们知道了猫的确定态：死，或者活。哥本哈根的几率诠释的优点是：只出现一个结果，这与我们观测到的结果相符合。 但是有一个大的问题

37、：它要求波函数突然坍缩。但物理学中没有一个公式能够描述这种坍缩。尽管如此，长期以来物理学家们出于实用主义的考虑，还是接受了哥本哈根的诠释。付出的代价是：违反了薛定谔方程。这就难怪薛定谔一直耿耿于怀了。我发誓：我是无辜的薛定谔方程是非相对论微观粒子的基本方程薛定谔方程是非相对论微观粒子的基本方程 -量子力学基本假设量子力学基本假设地位同经典物理的牛顿定律地位同经典物理的牛顿定律 薛定谔薛定谔Erwin SchrodingerErwin Schrodinger 奥地利人奥地利人 1887-19611887-1961 创立量子力学创立量子力学获获19331933年诺贝尔物理学奖年诺贝尔物理学奖. 量

38、子力学量子力学 建立于建立于 1923 1927 年间，两个等年间，两个等价的理论价的理论 矩阵矩阵力学和力学和波动波动力学力学 . 相对论量子力学相对论量子力学（1928 年，狄拉克）：描述高年，狄拉克）：描述高速运动的粒子的波动方程速运动的粒子的波动方程 . 薛定谔薛定谔 在德布罗意波的概念在德布罗意波的概念基础上，基础上，1926年建立了以薛定谔方年建立了以薛定谔方程为基础的波动力学程为基础的波动力学,并建立了量并建立了量子力学的近似方法子力学的近似方法 .按照经典波动理论，波动的物理量满足如下形按照经典波动理论，波动的物理量满足如下形式的波动方程：式的波动方程：22222xyVtyV为

39、波速为波速物质波的物质波的波动方程是什么？波动方程是什么？德布洛意关于电子波动性的假设传到苏黎士后，德布洛意关于电子波动性的假设传到苏黎士后，德拜德拜(P.Debye，The Nobel Prize in Chemistry 1936)说，说，“一个没有波动方程的波动理论太肤一个没有波动方程的波动理论太肤浅了！浅了！”。在一周后聚会时薛定谔说：。在一周后聚会时薛定谔说：“我找到我找到了一个波动方程！了一个波动方程！”。量子力学中的基本动量子力学中的基本动力学方程。力学方程。一、薛定谔方程的建立一、薛定谔方程的建立自由粒子波函数自由粒子波函数对波函数微分得对波函数微分得),(),(txEittx

40、)(0),(EtxxpietxtiE 能量算符能量算符),(),(txEttxi),(),(txpixtxxxipx),(),(txpxtxix 动量算符动量算符),(),(),(2222txtitxEtxxm自由粒子的薛定谔方程自由粒子的薛定谔方程),(2) ,(222txxmtxti),(),(2222txpxtxx由由mpEx22和和),(),(txEtxti 把自由粒子把自由粒子运动运动算符推广到非自由粒子运动，粒子算符推广到非自由粒子运动，粒子所处的势场为所处的势场为U(x,t)，粒子的能量粒子的能量),(22txUmpEx薛定谔方程变为薛定谔方程变为),(),(2 222txtxU

41、xm这就是这就是含时含时薛定谔方程薛定谔方程),(2 222txUxmH称为哈密顿算符，则称为哈密顿算符，则令令 推广到推广到三维势场三维势场U( r, t) 中中),(2222trUmpppEzyx),(),(trHtrtikzjyix令令薛定谔方程薛定谔方程形式不变形式不变哈密顿算符哈密顿算符变为变为),()(2 2222222trUzyxmH),(2 22trUmH),(),(trHtrti二、定态薛定谔方程二、定态薛定谔方程若微观粒子处在稳定的势场中，则势能函数若微观粒子处在稳定的势场中，则势能函数U与时间无与时间无关关，称这类问题为，称这类问题为定态问题定态问题。自由运动粒子自由运动

42、粒子 rerU2041例如：例如： 0rU氢原子中的电子氢原子中的电子此时，哈密顿算此时，哈密顿算符与时间无关，符与时间无关，薛定谔方程可用薛定谔方程可用分分离变量离变量法求解：波函数法求解：波函数 可以分离为空间坐标函数可以分离为空间坐标函数和时间函数的乘积。和时间函数的乘积。设设 )( ) (),(tTrtrE 可得只含变量可得只含变量 t 和和只含只含变量变量 r 的的两个方程两个方程：)()()(d)(dtTrHrttTi)()(1)(1d)(drHrtTttTi(1) )(d)(dtETttTi(2) )()(rErH1. 方程（方程（1）是）是关于关于变量为变量为t 的微分方程的微

43、分方程，解为：解为：时间振动因子时间振动因子2. 方程（方程（2）是关于变量为）是关于变量为x、y、z的微分方程：的微分方程：),(),(),(222zyxEzyxzyxUm称为称为定态薛定谔方程定态薛定谔方程，又称为能量算符的本征方程，又称为能量算符的本征方程其解其解 (x,y,z) 与粒子所处的外力场与粒子所处的外力场U 和边界条件和边界条件有关有关。EtietT)(3. 波函数是以上两部分的乘积波函数是以上两部分的乘积粒子出现在空间的几率与时间无关粒子出现在空间的几率与时间无关定态定态粒子出现在空间的几率：粒子出现在空间的几率： 2)( r可见，定态问题最后归结为求解定态可见，定态问题最

44、后归结为求解定态薛定谔薛定谔方程。方程。ENDEtiertr)(),(22|)(| ),( ),(Etiertrtr0)(8p22222222EEhmzyx 在在三维三维势场中运动粒子的势场中运动粒子的定态定态薛定谔方程薛定谔方程拉普拉斯算子拉普拉斯算子2222222zyx0)(8p222EEhm定态定态薛定谔方程薛定谔方程定态定态波函数波函数),(zyx 波函数的波函数的标准条件标准条件：单值的，有限的和连续的：单值的，有限的和连续的 .1ddd,2zyxzyx1） 可归一化可归一化 ;zyx,2） 和和 连续连续 ;),(zyx3） 为有限的、单值函数为有限的、单值函数 .1）能量能量 E

45、 不随时间变化；不随时间变化；2）概率密度概率密度 不随时间变化不随时间变化 .2定态波函数性质定态波函数性质),(trU3具体的势场 决定粒子状态变化的情况，如果给出势能函数 的具体形式，只要我们知道了微观粒),(trU薛定谔方程的讨论薛定谔方程的讨论ttr),(),(trU),(tr1薛定谔方程描述了微观粒子的运动状态 在势场 中随时间变化 的规律。2薛定谔方程是量子力学的基本方程，它不能从更基本的假设中推导出来。而是依据实验事实和基本假定“建立”的，是否正确则由实验结果检验。 子初始时刻的状态 。原则上说，只要通过薛原则上说，只要通过薛定谔方程，就可以求出任意时刻的状态定谔方程，就可以求

46、出任意时刻的状态 。),(tr),(00tr2),(tr),(tr),( tr4薛定谔方程中有虚数单位i，所以 一般是复数形式。 表示概率波， 是表示粒子在时刻t、在空间某处出现的概率。因而薛定谔方程所描述的状态随时间变化的规律，是一种统计规律。5在薛定谔方程的建立中，应用了 ，所 ),(22trUpE以是非相对论的结果；同时方程不适合一切 的粒子，这是方程的局限性。0nnnc如果 、是方程的解，那么它们的的线性组合 也是方程的解， 为任意常数。即如果 、是体系可能的状态，那么它们的的线性组合 也是体系一个可能的状态 n2nnnnncccc2211ic12n16. 态迭加原理 确定粒子的哈密顿

47、量； 在全空间写出粒子的能量本征方程； 利用波函数的自然条件确定确定能量本征值和波函数。步骤：步骤：处理的问题：处理的问题： 势阱中的粒子粒子被束缚在某势场中； 势垒对粒子的散射自由粒子入射到某势场中。（3 3）应用）应用举例举例例1：一个粒子在如图所示的势场中运动，它的势能为 这种势场称为一维无限深势阱。在一维无限深势阱中粒子如何运动？它的波函数如何？能量如何？ 0)(xUaxxax, 00 222dxd解：由于粒子做一维运动，所以有 )(xU 由于势能中不显含时间，故用定态薛定谔方程求解。Etiextx)(),(方程的解为定态解(x)E(x)U(x)dx(x)dm2222因此一维定态薛定谔

48、方程为例一：一维无限深势阱例一：一维无限深势阱), 0(, 0axxaxxU, 0,228hmEk axU0, 008dd2222hmEx0dd222kxkxBkxAxcossin)( 波函数的标准条件：单值、有限和连续 .用来确定常数及得到能量量子化。0, 0, 0BxkxAxsin)(axoUnkaka , 0sin228hmEk2228mahnE , 3 , 2 , 1,nank量子数 基态能量) 1(,8221nmahE 激发态能量), 3 , 2(,8222nmahnEn 一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 .0sin,kaAax0sinkaaxoU0222kxkxAxsin)(xanAxsin)( 归一化条件1dd0*2xxa1dsin022xxanAa)0(,sin2)(axxanax, 3 , 2 , 1,nank量子数pEaxoaA2pEaxoxanaxsin2)(22 概率密度2228mahnEn 能量08dd2222hmEx 波动方程)0 (,sin2axxana)(x), 0(,0axx 波函数, 3 ,