D物理应用黑白实用教案

1、1例例1.一个一个(y )单单求电场力所作的功求电场力所作的功 . qOrabrrrd11解解:当单位当单位(dnwi)正电荷距离原正电荷距离原点点 r 时时,由库仑定律由库仑定律(k ln dn l)电场力为电场力为2rqkF 则功的元素为则功的元素为rrqkWdd2所求功为所求功为barrqkWd2rqk1ab)11(baqk位正电荷沿直线从距离点电荷位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到处移动到 b 处处 (a b) , 在一个带在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下电荷所产生的电场作用下, 第1页/共22页第一页，共23页。2S例例2.体体, 求移动求移动(ydng)过程中气体压过程

2、中气体压力所力所Ox解解:由于气体的膨胀由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积把容器中的一个面积(min j)为为S 的活塞的活塞从从点点 a 处移动处移动(ydng)到点到点 b 处处 (如图如图), 作的功作的功 .ab建立坐标系如图建立坐标系如图.xxxd由波义耳由波义耳马略特定律知压强马略特定律知压强 p 与体积与体积 V 成反比成反比 , 即即,SxkVkp 功元素为功元素为WdxFdxxkd故作用在活塞上的故作用在活塞上的SpFxk所求功为所求功为baxxkWdbaxk lnabkln力为力为在底面积为在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气的圆柱形容器中盛有一定量的气 第2页/

3、共22页第二页，共23页。3m3m5例例3.试问试问(shwn)要把桶中的水全部吸出需作多少功要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解解: 建立建立(jinl)坐标系坐标系如图如图.Oxxxxd在任一小在任一小(y xio)区间区间d,xxx上的一薄层水的重力为上的一薄层水的重力为gxd32这薄层水吸出桶外所作的功这薄层水吸出桶外所作的功(功元素功元素)为为Wdxxgd9故所求功为故所求功为50Wxxgd9g922xg5 .112( KJ )设水的密设水的密度为度为05(KN)一蓄满水的圆柱形水桶高为一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为底圆半径为3m, 第3页/共22页第三页，共23页

4、。4面积面积(min j)为为 A 的平板的平板二、液体二、液体(yt)的侧的侧压力压力设液体设液体(yt)密度密度为为 深为深为 h 处的压强处的压强: hgph当平板与水面平行时当平板与水面平行时, ApP 当平板不与水面平行时当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决所受侧压力问题就需用积分解决 .平板一侧所受的压力为平板一侧所受的压力为第4页/共22页第四页，共23页。5小窄条上各点的压强小窄条上各点的压强(yqing)xgp332Rg例例4. 的液体的液体 , 求桶的一个求桶的一个(y )端面所受的侧压力端面所受的侧压力. 解解: 建立建立(jinl)坐标系如坐标系如图图.所

5、论半圆的所论半圆的22xRy)0(Rx 利用对称性利用对称性 , 侧压力元素侧压力元素RP0 xxRxgd222OxyRxxxd222xR Pdxg端面所受侧压力为端面所受侧压力为xd方程为方程为一水平横放的半径为一水平横放的半径为R 的圆桶的圆桶,内盛半桶密度为内盛半桶密度为 第5页/共22页第五页，共23页。60arcsin224222RRxRxRxgR,d222xxR 说明说明(shumng):当桶内充满当桶内充满(chngmn)液体时液体时,),(xRg小窄条上的压强小窄条上的压强(yqing)为为侧压力元素侧压力元素Pd故端面所受侧压力为故端面所受侧压力为RRxxRxRgPd)(22

6、2奇函数奇函数3Rg)(xRgRxxRgR022d4tRxsin令OxyRxxxd第6页/共22页第六页，共23页。7三、三、 引力引力(ynl)问题问题质量质量(zhling)分分别为别为21, mm的质点的质点(zhdin) , 相距相距 r ,1m2mr二者间的引力二者间的引力 :大小大小:221rmmkF 方向方向:沿两质点的连线沿两质点的连线若考虑若考虑物体物体对质点的引力对质点的引力, 则需用积分解决则需用积分解决 .第7页/共22页第七页，共23页。8例例5.设有一长度设有一长度(chngd)为为 l, 线密度为线密度为 的均的均匀细直棒匀细直棒,其中垂线上距其中垂线上距 a 单

7、位单位(dnwi)处有一质量为处有一质量为 m 的的质点质点 M,M该棒对质点该棒对质点(zhdin)的引力的引力.解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图.y2l2ld,xxx细棒上小段细棒上小段对质点的引力大小为对质点的引力大小为 dkF xm d22xa 故铅直分力元素为故铅直分力元素为cosddFFya22dxaxmk22xaa23)(d22xaxamkxOx在在试计算试计算FdxFdyFdxxd第8页/共22页第八页，共23页。9利用利用(lyng)对对称性称性223022)(d2lxaxamkFy222202轾犏= -犏?臌l lx xk mak maaaxaaxm m22412laa

8、lmk棒对质点引力棒对质点引力(ynl)的水平的水平分力分力.0 xF22412llmkFaa故棒对质点的引力故棒对质点的引力(ynl)大大小为小为棒对质点的引力的铅直分力为棒对质点的引力的铅直分力为 My2l2laaxOxFdxFdyFdxxd第9页/共22页第九页，共23页。102lOy2laxxxdx说明说明(shumng):amk22) 若考虑质点克服若考虑质点克服(kf)引力沿引力沿 y 轴轴从从 a 处处1) 当细棒很长时当细棒很长时,可视可视 l 为无穷大为无穷大 ,此时引力此时引力(ynl)大大小为小为方向与细棒垂直且指向细棒方向与细棒垂直且指向细棒 .移到移到 b (a b)

9、 处时克服引力作的功处时克服引力作的功,bybalyyylmkW224d222412llmkyyWdyd则有则有22412llmkFaa第10页/共22页第十页，共23页。11lOxyacosdFyFd23)(d22xaxamkxFd23)(d22xaxxmklyxaxamkF02223)(dlxxaxxmkF02223)(d引力引力(ynl)大大小为小为22yxFFF22ddxaxmkFxxxdxFdyFdsindF注意注意(zh y)正负号正负号3) 当质点位于棒的左端点垂线当质点位于棒的左端点垂线(chu xin)上时上时, 第11页/共22页第十一页，共23页。12四、转动惯量四、转动

10、惯量 (补充补充(bchng)质量质量(zhling)为为 m 的质点关于轴的质点关于轴 l 的转的转动惯量为动惯量为l2rmI 的质点系的质点系),2, 1(,nimrlii质量为的距离为与轴21iniirmI若考虑物体的转动惯量若考虑物体的转动惯量 , 则需用则需用(x yn)积分积分解决解决 .r关于轴关于轴 l 的转动惯量为的转动惯量为m第12页/共22页第十二页，共23页。13lR例例6. 求圆盘求圆盘(yun pn)对通过中心与其垂直的轴的转对通过中心与其垂直的轴的转动惯量动惯量 ; 求圆盘求圆盘(yun pn)对直径所在轴的转动对直径所在轴的转动惯量惯量 .解解: 建立建立(ji

11、nl)坐标系坐标系如图如图.设圆盘面密度为设圆盘面密度为 .的对应于d,xxx小圆环质量小圆环质量xx d2对应于对应于d,xxx的小圆环对轴的小圆环对轴 l 的转动惯量为的转动惯量为xxId2d3故圆盘对轴故圆盘对轴 l 的转动惯量为的转动惯量为RxxI03d2421 R221RMxxxxd2RM设有一个半径为设有一个半径为 R , 质量为质量为 M 的均匀圆盘的均匀圆盘 , O第13页/共22页第十三页，共23页。14OxRyxxxd平行平行(pngxng) y 轴轴的细条的细条的对应于d,xxx关于关于(guny) y 轴的转动惯量轴的转动惯量元素为元素为yId细条细条(x tiao)质

12、量质量:y2xdxxyd22xxRxd2222故圆盘对故圆盘对y 轴的转动惯量为轴的转动惯量为yIxxRxRRd2222xxRxRd42202)sin(tRx 令tttRdcossin422402441R)(2RM241RM 取旋转轴为取旋转轴为 y 轴轴, 建立坐标系如图建立坐标系如图. .第14页/共22页第十四页，共23页。15内容内容(nirng)小结小结(1) 先用元素先用元素(yun s)法求出它的微分表达式法求出它的微分表达式 dQ一般元素一般元素(yun s)的几何的几何形状有形状有:扇、扇、片、片、壳壳 等等.(2) 然后用定积分来表示整体量然后用定积分来表示整体量 Q ,

13、并计算之并计算之. 1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤的步骤:2.定积分的物理应用定积分的物理应用:变力作功变力作功 ,侧压力侧压力 ,引力等。引力等。条条、段、段、环环、带、带、第15页/共22页第十五页，共23页。16(1999考研考研(ko yn)思考思考(sko)与练习与练习提示提示(tsh): 作作 x 轴轴如图如图.Ox30 xxd1.为清除井底污泥为清除井底污泥, 用缆绳将抓斗放入井底用缆绳将抓斗放入井底, 泥后提出井口泥后提出井口,缆绳每缆绳每在提升过程中污泥在提升过程中污泥以以20N /s 的的速度从抓斗缝隙中漏掉速度从抓

14、斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重抓斗抓起的污泥重2000N ,提升速度为提升速度为3m /s , 问问克服重力需作多少焦耳克服重力需作多少焦耳( J ) 功功?已知井深已知井深30 m ,抓斗自重抓斗自重400N , 将抓起污泥的抓斗由将抓起污泥的抓斗由抓起污抓起污x 提升提升 dx 所作的功可分为三部分所作的功可分为三部分: 米重米重50N ,第16页/共22页第十六页，共23页。17提升抓斗提升抓斗(zhu du)中中的污泥的污泥:井深井深 30 m, 抓斗自重抓斗自重(zzhng) 400 N, 缆绳每米重缆绳每米重50N, 抓斗抓

15、起的污泥重抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度为提升速度为3ms, 污泥以污泥以 20Ns 的速度从抓斗缝隙中漏掉的速度从抓斗缝隙中漏掉xWd400d1克服克服(kf)缆缆绳重绳重:xxWd)30(50d2抓斗升至抓斗升至 x 处所需时间处所需时间 :) s (3x(J)91500 xxWxd)202000()30(504003300 xWxd)202000(d33321ddddWWWW克服抓斗自重克服抓斗自重: Ox30 xxd第17页/共22页第十七页，共23页。18xyABO2. 设星形线设星形线taytax33sin,cos上每一点上每一点(y din)处线密处线密度的大小等于该点

16、到原点距离度的大小等于该点到原点距离(jl)的立的立方方,提示提示(tsh): 如如图图.2222d)(d23yxsyxkFsyxkd)(2122cosddFFxsyxxyxkd)(222221sxkdsinddFFysykd),(yxsd在点在点O 处有一单处有一单 位质点位质点 ,求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.第18页/共22页第十八页，共23页。19同理同理takFx203costttattadcossin3)sin(cos32222tttkadsincos32042253ak253akFy故星形线在第一故星形线在第一(dy)象限的弧段对该

17、质点的象限的弧段对该质点的2253akF xFd,dsxkyFdsykd;sin,cos33taytax引力引力(ynl)大小为大小为作业作业(zuy): P291 2 , 3 , 5 , 9 , 12xyABO),(yxsd第19页/共22页第十九页，共23页。20锐角锐角(rujio) 取多大时取多大时, 薄板所受的压力薄板所受的压力 P 最大最大 .备用备用(biyng)题题斜边为定长的直角三角形薄板斜边为定长的直角三角形薄板(bo bn), 垂直垂直放置于放置于解解: 选取坐标系如图选取坐标系如图.设斜边长为设斜边长为 l ,水中水中, 并使一直角边与水面相齐并使一直角边与水面相齐, coscotlxyxxygdsin02d)coscot(lxxlxg)cos(cos633lglOyxy则其方程为则其方程为问斜边与水面交成的问斜边与水面交成的xxxdsin0lP第20页/共22页第二十页，共23页。21)cos(cos633lgP,0ddP令33arccos0故得唯一故得唯一(wi y)驻点驻点 故此故此(gc)唯一驻点唯一驻点0即为所求即为所求. 由实际意义可知由实际意义可知(k zh)最大值最大值存在存在 ,即即0sincos3sin2, ),0(2lOyxyxxxd第21页/共22页第二十一页，共