102第二类曲线积分ppt课件

1、二、对坐标的曲线积分的概念；三、对坐标的曲线积分的计算；一、问题的提出；第三节 对坐标的曲线积分oxyABL一、问题的提出1 nMiM1 iM2M1Mix iy 实例实例: : 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功,:BAL( , )( , )( , )F x yP x y iQ x y j常力所作的功常力所作的功分割分割.),(,),(,1111110BMyxMyxMMAnnnn 1()() .iiiiMMx iyj .WF AB求和求和. ),(),(1 niiiiiiiyQxP 取极限取极限. ),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW 近似值近似值精确值精确值( ,)( ,)(

2、 ,) ,iiiiiiFPiQj 取1( ,)iiiiiWFMM .),(),(iiiiiiiyQxPW 即即 niiWW1oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy 二、对坐标的曲线积分的概念11122211110111,( , ),( , ).( ,),(,),(,)(1,2, ;,).,( ,).nnniiniiiiiiiiiiLxoyABP x yQ x yLLMx yMxyMxyLnMMinMA MBxxxyyyMM 设 为面内从点 到点 的一条有向光滑曲线弧 函数在上有界 用 上的点把 分成 个有向小弧段设点为上任意取定的点 如果当各小弧段0,长度的最大值时1

3、.定义定义.),(lim),(,(),(,),(101iiniiLniiiixPdxyxPxLyxPxP 记作记作或称第二类曲线积分）或称第二类曲线积分）积分积分的曲线的曲线上对坐标上对坐标在有向曲线弧在有向曲线弧数数则称此极限为函则称此极限为函的极限存在的极限存在类似地定义类似地定义.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ ,),(),(叫做被积函数叫做被积函数其中其中yxQyxP.叫积分弧段叫积分弧段L2.存在条件：存在条件：.,),(),(第二类曲线积分存在第二类曲线积分存在上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当LyxQyxP3.组合形式组合形式 LLLdyyxQdxyx

4、PdyyxQdxyxP),(),(),(),(.LF ds,.FPiQjdsdxidyj其中4.4.推广推广 空间有向曲线弧空间有向曲线弧.),(lim),(10iiiniixPdxzyxP . RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyxR 5.5.性质性质.,)1(2121 LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL则则和和分成分成如果把如果把(2),LLL设 是有向曲线弧是与 方向相反的有向曲线弧 则即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.( , )( , )( , )( ,

5、 )LLP x y dxQ x y dyP x y dxQ x y dy 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 ! 定积分是第二类曲线积分的特例定积分是第二类曲线积分的特例.三、对坐标的曲线积分的计算 ( ),( ) ( ) ( ),( )( )PtttQtttdt22( , ),( , )( ),( ), ,( , ),( ),( ),( )( )0,( , )( , ),LP x y Q x yLxtLtytM x yLALBttttP x y dxQ x y dy设在曲线弧 上有定义且连续的参数方程为当参数 单调地由 变到时 点从 的起点 沿 运动到终点在以 及 为端点的闭区间上具有一

6、阶连续导数 且则曲线积分存在( , )( , )LP x y dxQ x y dy且对应参数设分点证明：根据定义ix,it),(ii点,i由于1iiixxx)()(1iitt( )iit LxyxPd),(tttPd )(),(niiiP10)(, )(lim( )iit )(tLxyxPd),(niiiixP10),(lim对应参数连续所以)(t因为L 为光滑弧 ,同理可证LyyxQd),( ( ),( ) dQttt)(t特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，终终点点为为起起点点为为 .)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 则则.)(:)2(dcyyxxL，终

7、终点点为为起起点点为为 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 则则.,)()()(:)3( 终终点点起起点点推推广广ttztytx ( ),( ),( ) ( ) ( ),( ),( )( ) ( ),( ),( )( )PdxQdyRdzPttttQttttRttttdt(4) 两类曲线积分之间的联系：两类曲线积分之间的联系：,)()( tytxL ：设设有有向向平平面面曲曲线线弧弧为为( , ),Lx y 上点处的切线向量的方向角 为 LLdsQPQdyPdx)coscos(则则其中其中,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt （可以推广到空间

8、曲线上（可以推广到空间曲线上 ） ( , , ), ,x y z 上点处的切线向量的方向角 为 dsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(则则F tdsF ds,tFds可用向量表示可用向量表示 ,FP Q R其中，cos , cos, cos ,t,dstdsdx dy dz有向曲线元；有向曲线元；.tFFt为向量在向量 上的投影处的单位切向量处的单位切向量上点上点),(zyx 例例1.)1 , 1()1, 1(,2的一段弧的一段弧到到上从上从为抛物线为抛物线其中其中计算计算BAxyLxydxL 解解的的定定积积分分，化化为为对对x)1(.xy OBAOLxydxxydxxydx 1

9、001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B的的定定积积分分，化化为为对对y)2(,2yx ABLxydxxydx 1122)(dyyyy1 1.y从到 1142dyy.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B例例2. 设在力场设在力场作用下, 质点由沿移动到),2,0,(kRB)0, 0,(RA.)2(AB解解: (1)zzyxxydddttkR2022d)(2) 的参数方程为kttzyRx20:,0,ABzzyxxydddktt20dBAzyx试求力场对质点所作的功.;,sin,cos) 1(tkztRytRx)(222Rk 222k其

10、中为),(zxyFdWFsdWFs.)0 ,()0 ,()2(;)1(,2的直线段的直线段轴到点轴到点沿沿从点从点的上半圆周的上半圆周针方向绕行针方向绕行、圆心为原点、按逆时、圆心为原点、按逆时半径为半径为为为其中其中计算计算aBxaAaLdxyL 例例3解解,sincos:)1( ayaxL，变到变到从从 0)0 ,(aA)0 ,( aB 0原式原式 daa)sin(sin22 03a)(cos)cos1(2 d .343a )0 ,(aA)0 ,( aB , 0:)2( yL，变到变到从从aax aadx0原原式式. 0 问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但问题：被积函数相同，起点和终

11、点也相同，但路径不同积分结果不同路径不同积分结果不同.是否有普遍性？是否有普遍性？例例4).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依依次次是是点点，这这里里有有向向折折线线的的一一段段弧弧到到上上从从抛抛物物线线的的一一段段弧弧到到上上从从抛抛物物线线为为其其中中计计算算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解解.)1(的的积积分分化化为为对对 x, 10,:2变变到到从从xxyL 1022)22(dxxxxx原原式式 1034dxx. 1 ) 0 ,

12、 1 (A)1 ,1(B2yx .)2(的积分的积分化为对化为对 y,10,:2变到变到从从yyxL 1042)22(dyyyyy原原式式 1045dxy. 1 )0 , 1(A)1 , 1(B)3( ABOAdyxxydxdyxxydx2222原原式式,上上在在 OA,10, 0变变到到从从xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA. 0 ,上上在在 AB,10, 1变变到到从从yx 102)102(2dyydyxxydxAB. 1 10 原原式式. 1 ) 0 , 1 (A)1 ,1(B问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分

13、结果相同路径不同而积分结果相同.具有普遍性？具有普遍性？ozyx例例5. 求求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI其中,2122zyxyx从 z 轴正向看为顺时针方向.解解: 取取 的参数方程的参数方程,sin,costytx)02:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd )sin)(cossin(costt d)cos41 (220)sin)(cos2(tt 2设二者夹角为 ( ,),(cos,cos)FP QtdLF ts22max,MPQ 设 曲线段 L 的长度为s, 证明),(, ),(yxQyxP续,sMyQxPLdd证证:LyQxPddsQP

14、LdcoscossMsQPLdcoscos说明说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连 cosdLFs例例6:例例7.7.将积分yyxQxyxPLd),(d),(化为对弧长的积分,0222xyx).0 , 2()0 , 0(BO到从解：解：oyxB,22xxyxxxxyd21d2sdxyd12xxxd212sxddcos,22xx syddcosx1yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx )1(x其中L 沿上半圆周1. 定义kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2. 性

15、质(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示 L 的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结内容小结3. 计算,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 对有向光滑弧 对有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttP)(t)(t)(t4. 两类曲线积分的联系LyQxPddsQPLdcoscoszRyQxPdddsRQPdcoscoscos)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd 对空间有向光滑弧 :练习练习. 设曲线设曲线C为曲面为曲面2222azyx与曲面axyx22,)0, 0(的交线az从 ox 轴正向看去为逆时针方向,(1) 写出曲线 C 的参数方程 ;(2) 计算曲线积分.ddd222zxyzxyC解解: (1)22222)()(aayx222yxaztxaacos22tyasin22sintaz 20:t