1.2隐函数的求导法ppt课件

1、设,022yxxy求.ddxy令,22),(yxxyyxF那么xFyF2ln2yx故xyddyFxF2ln22ln2yxxy)02ln2(yx2ln2xy , 例例解解解解 令令那那么么,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 另解另解视视 y = y(x) ，对方程两边关于，对方程两边关于 x 求导，得求导，得),(112222xyxyxyyxyyx y 解解得得.xyyx 公式法公式法直接法直接法0),(. 2 zyxF函数),(yxzz 的偏导数.求方程所确定的xye0zez2z2令),(zyxF

2、xye,ze那么xF,xyyeyF,xyxezF,2ze故zFxFxzzxyeye22zxyeye)02(ze 例例解解函数),(yxzz 的偏导数.求方程所确定的xye0zez2z2令),(zyxFxye,ze那么xF,xyyeyF,xyxezF,2ze故)02(zezFyFyzzxyexe22zxyexe解解解解 令令那那么么,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 另解另解求导，得求导，得，对方程两边关于，对方程两边关于视视 ),( xyxzz (*) 0

3、422 xxzz zx; 2 zxzx 求求导导，得得式式两两边边关关于于再再对对 x*, 021 xxxxxxzz zzz 21 2zzzxxx.)2()2(322zxz 直接法直接法公式法公式法直接法直接法直接法直接法解解 令令),(),(xyzzyxfzzyxF 那那么么zxFFxz )(1)(2121xyffyzff ; 求导，得求导，得，对原方程两边关于，对原方程两边关于视视 ),( yzyxx )()1(021xyyxzfyxf ;2121fyzffxzfyx .fxzffxyfzy21211 同同理理，得得公式法公式法直接法直接法方程组中每个方程两边关于 x 求导：xFxyyFd

4、d0ddxzzFxGxyyGdd0ddxzzG移项, 得xyyFddxzzFddxFxyyGddxzzGddxG 运用消元法解此二元一次方程组 1( ,)( , )yxyzyxyzFFFFdzF GGGGGdxJy x 1( ,),( , )yzxzyzxzFFFFdyF GGGGGdxJx z ( ,)( , )yzyzFFFFyzF GJGGGGy zyz2、 0),(0),(vuyxGvuyxF在点在点),(0000vuyxP不等于零，则方程组不等于零，则方程组 0),( vuyxF、 0),( vuyxG在点在点),(0000vuyxP的某一邻域内恒能唯一确定一的某一邻域内恒能唯一确定

5、一组单值连续且具有连续偏导数的函数组单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxuu ，),(yxvv ，它们满足条件，它们满足条件),(000yxuu , ,vv 0),(00yx，并有，并有vGuGvFuFvuGFJ ),(),(,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu .),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ),(),(11( ,),( , )xvuvxvuvFFFFuF GGGGGxJx v 例例设0022yvuxvu确定函数),(yxuu ),(yxvv 求,xu,yu,xv。yv解令,),(2

6、xvuvuyxF,),(2yvuvuyxG那么),(),(vuGFvu211214 uv),(),(vxGFv2011v2 xu14uvv2同理可得),(),(xuGF0112u1),(),(vyGFv21101),(),(yuGF1102uu2141uvxv141uvyu142uvuyv例例解解1 1（公式法）（公式法） cos sin ( , ) ( , ) xryrrr x yx y设、，求其所确定的、的偏导数。, cos),( rxryxF 令令.sin),( ryryxG xr ),(),( rGFJ则则 GGFFrr cossinsincosrr . r ),(),(/),(),(

7、 rGFxGF rrr/cos0sin1 ,cos yr ),(),(/),(),( rGFyGF,sin x ),(),(/),(),( rGFxrGF,sinr y.cosr /rrrcos1sin0解解2 （直接法）（直接法） sincos , ),( ),( 求求导导，得得关关于于对对、视视xryrxyxyxrr , cossin0)sin(cos1 xxxxrrrr ,0 cossin1)sin(cos xxxxrrrr 即即 rrrrrrrrxx sincossinsincos/0sin1cos coscossinsincos/cos0sin1解解得得. yyr 同同理理关于隐函数

8、求二阶偏导数关于隐函数求二阶偏导数以以0),( zyxF为例，为例， 主要有三种方法：主要有三种方法：公式法公式法,zxFFxz 222)()(zzxzxFFxFFFxz 21223xzzzxxzzxxzFFFFFFFF 类似地可求得类似地可求得222,yzyxz 直接法直接法方程两边连续求导两次方程两边连续求导两次0 xzFFzx0)(2222 xzFxzFxzFFzzzxzxx解得：解得：21223xzzzxxzzxxzFFFFFFFF 两种方法相比，法二较简便，因为可避免两种方法相比，法二较简便，因为可避免商的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数商的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导

9、数时，毋须解出一阶偏导数而是将其具体数值代入时，毋须解出一阶偏导数而是将其具体数值代入即可求得二阶偏导数，使运算大为简化。即可求得二阶偏导数，使运算大为简化。22zxBdyAdxdz yzBxzA ,那么那么这样一次就可求得全部的一阶偏导数。这样一次就可求得全部的一阶偏导数。全微分法全微分法利用全微分形式不变性，在所给的方程两边直接利用全微分形式不变性，在所给的方程两边直接求全微分求全微分思考题思考题1已已知知)(zyzx ，其其中中 为为可可微微函函数数， 求求? yzyxzx 思考题解答思考题解答记记)(),(zyzxzyxF ,1)(zzyFy ,)()(22zyzyzxFz ,)(zy

10、yxzFFxzzx ,)()(zyyxzyzFFyzzy 于于是是zyzyxzx .zxFFxz xz思考题思考题2设F( x , y)具有连续偏导数, 0),(zyzxF.dz求解法解法1 利用偏导数公式利用偏导数公式.是由方程设),(yxfz 0),(zyzxF yz212FyFxFz211FyFxFzyyzxxzzdddzF11 1F)(2zx 2F)(2zyzF12 确定的隐函数,)dd(2121yFxFFyFxz那么)()(2221zyzxFF 已知方程故对方程两边求微分: 1F)dd(d2121yFxFFyFxzz)dd(2zzxxzzzFyFxd221 zyFxFdd21解法解法2 2 微分法微分法. .0),(zyzxF)dd(2zzyyz)(dzx 2F0)(dzy 1F 2F0练练 习习 题题练习题答案练习题答案222111cybxacybxa解解:22111babax 2211bcbc2211caca22111babay 二元线性代数方程组解的公式*另解另解（用全微分）（用全微分）两两边边微微分分，得得对对 ),( xyzzyxfz )()(21xyzdfzyxdfdz )()(21dzxyzdyxyzdxfdzdydxf .zyyx , 同同理理，得得形式不变形式不变dyfxyffxzfdxfxyffyzfdz2121212111 全微分与偏导数全