天津大学结构力学第五章

1、qL力法力法的基本未知量是超静定结构多余约束中的基本未知量是超静定结构多余约束中的多余力的多余力BAqx1AqB(2)(2)AqB(a)原结构原结构 BAqx1(b)基本体系基本体系 图图6-1-1 如图如图6-1-1(a)所示为有一个多余约束的几何不变所示为有一个多余约束的几何不变体系。取体系。取B支座链杆为多余约束，去掉后代以支座链杆为多余约束，去掉后代以多多余力余力 ，见图见图(b)。 设想设想 是是已知的，图已知的，图(b)所示体系就是一个在所示体系就是一个在荷载和多余力共同作用下的静定结构的计算问荷载和多余力共同作用下的静定结构的计算问题。换句话说，题。换句话说，如果如果 等于等于原

2、结构原结构B支座的反支座的反力，则图力，则图(b)所示体系就能代替原结构进行分析。所示体系就能代替原结构进行分析。 1X1X1X本章中，力法基本体系的结构一定是静定结构，本章中，力法基本体系的结构一定是静定结构，力法基本体系的结构叫力法基本体系的结构叫力法基本结构力法基本结构。确定力法基本未知量，即要求确定多余力的数确定力法基本未知量，即要求确定多余力的数量，同时也要求确定相应的基本体系量，同时也要求确定相应的基本体系。见图见图6-1-3(a)所示连续梁，去掉两个竖向支座所示连续梁，去掉两个竖向支座链杆后为悬臂梁，见图链杆后为悬臂梁，见图(b) 。BCA(a)原结构原结构 BCAx1x2(b)

3、基本结构基本结构1 x2BCAx1x2 (c)基本结构基本结构2 图图6-1-3 力法基本未知量力法基本未知量数数 = = 结构结构的多余约束的多余约束数数 = = 结构结构的的超静定次数超静定次数一一个超静定结构的多余约束数是一定的，但个超静定结构的多余约束数是一定的，但是基本体系却不是唯一的。是基本体系却不是唯一的。对于较复杂的超静定结构，可采用对于较复杂的超静定结构，可采用 拆除约束拆除约束法法即即，逐一拆除结构的约束，直到其成为静定，逐一拆除结构的约束，直到其成为静定结构（力法基本结构），则拆除的约束就是结构（力法基本结构），则拆除的约束就是多余约束，其数量就是力法的基本未知量数。多余

4、约束，其数量就是力法的基本未知量数。 切断一根二力杆或去掉一根支座链杆，相当于切断一根二力杆或去掉一根支座链杆，相当于去掉一个约束去掉一个约束切开一个单铰或去掉一个固定铰支座，相当切开一个单铰或去掉一个固定铰支座，相当于去掉两个约束于去掉两个约束切断一根连续杆或去掉一个固定支座，相当切断一根连续杆或去掉一个固定支座，相当于去掉三个约束于去掉三个约束 将固定端换成固定铰支座或在一根连续杆上加将固定端换成固定铰支座或在一根连续杆上加一个单铰，相当于去掉一个约束一个单铰，相当于去掉一个约束1234拆除约束法常要用到约束的约束数，现归纳如下：拆除约束法常要用到约束的约束数，现归纳如下： 结构上的多余约

5、束一定要拆干净，即结构上的多余约束一定要拆干净，即最后应是一个无多余约束的几何不变体最后应是一个无多余约束的几何不变体系系；要避免将必要约束拆掉，即最后不应要避免将必要约束拆掉，即最后不应是几何可变体系或几何瞬变体系。是几何可变体系或几何瞬变体系。 用拆除约束法判定结构的力法基本未知量，用拆除约束法判定结构的力法基本未知量，应注意：应注意： 例例6-1-2 试确定图试确定图(a)、(b)所示结构的基本未知量所示结构的基本未知量 (a) x3x3x1x1x2x2(a1) x1x2x3(a2) (b) (b1) x3x1x2x2(b2) 力法基本方程力法基本方程，是求解结构多余约束中多余力，是求解

6、结构多余约束中多余力的位移协调条件方程。的位移协调条件方程。 变形和位移条件是结构内部对外力的响应的变形和位移条件是结构内部对外力的响应的外部表现形式，见图外部表现形式，见图6-1-2(a)、(b)所示。所示。多余力可以由基本结构中的多余力处沿该多多余力可以由基本结构中的多余力处沿该多余力方向的位移与原结构一致的条件确定。余力方向的位移与原结构一致的条件确定。 AqB(a)原结构原结构 x1qBA (b)基本体系基本体系 AqB(a)原结构原结构 x1qBA (b)基本体系基本体系 01(a) 利用叠加原理，将基本体系分解为在荷载、利用叠加原理，将基本体系分解为在荷载、多余力单独作用的两种情况

7、，分别分析后在多余力单独作用的两种情况，分别分析后在叠加。分解后，见图叠加。分解后，见图(c)、(d)所示所示 。该条件表示为：该条件表示为：BAx1(c) qBA(d) 11P1叠加叠加与与11110p 即：即： 得：得： (b) 1111 1x使使 式（式（b）改写成：）改写成： 11 110px (c) 1110p 1111 1x1p一次超静定结构一次超静定结构的力法基本方程的力法基本方程力法基本方程，是基本结构上多余力处沿力法基本方程，是基本结构上多余力处沿多余力方向的位移与原结构一致的条件。多余力方向的位移与原结构一致的条件。即位移协调条件即位移协调条件。(a) qAB取原结构的力法

8、基本体系如图（取原结构的力法基本体系如图（b） 01方向的位移条件方向的位移条件 1x02方向的位移条件方向的位移条件 2xx2x1BA(b) q分别考虑基本结构在各个多余力、荷载单独分别考虑基本结构在各个多余力、荷载单独作用下的位移情况，见图作用下的位移情况，见图(c)、(d)、(e)所示。所示。x1BA(c) 2121 1x1111 1xBx2A(d) 22222x12122x222221111211PP将各因素单独作用基本结构的位移叠加，得：将各因素单独作用基本结构的位移叠加，得： (a) (e) qAB2 p1 p引入位移影响系数引入位移影响系数,并代入位移条件，并代入位移条件，式式(

9、a)写成：写成： 01212111pxx02222121pxx (b)式式(b)既是两次超静定结构在荷载作用既是两次超静定结构在荷载作用下的力法方程。下的力法方程。 由两次超静定结构的力法方程推广，得：由两次超静定结构的力法方程推广，得： 0022222221211111212111PnnjjiiPnnjjiixxxxxxxxxx. 0022112211jPnjnjjjijijjiPninjijiiiiixxxxxxxxxx. 02211nPnnnjnjininnxxxxxnnnjninnjnjjjijjinijiiiinjinji21212122222211111211njixxxxx11n

10、PjPiPPP210000000+ = 写成矩阵形式：写成矩阵形式： 柔度矩阵的特征：柔度矩阵的特征： 在柔度矩阵的主对角线上（左上角至右下角在柔度矩阵的主对角线上（左上角至右下角的斜直线）排列的是主系数。主对角线两侧，的斜直线）排列的是主系数。主对角线两侧，排列的是副系数。根据位移互等定理，在主排列的是副系数。根据位移互等定理，在主对角线两侧对称位置上的副系数互等。所以，对角线两侧对称位置上的副系数互等。所以，力法方程的柔度矩阵是一个对称方阵，其独力法方程的柔度矩阵是一个对称方阵，其独立的柔度系数为立的柔度系数为 个个。2()/ 2nn确定结构的力法基本未知量，并绘出相应确定结构的力法基本未

11、知量，并绘出相应的力法基本体系；的力法基本体系； 1 作基本结构的各单位多余力弯矩图及荷载作作基本结构的各单位多余力弯矩图及荷载作用下的弯矩图；用下的弯矩图； 3 求力法方程中的系数和自由项；求力法方程中的系数和自由项； 2 力法解题一般步骤：力法解题一般步骤：将系数和自由项代入力法方程，求解多余未将系数和自由项代入力法方程，求解多余未知力；知力； 4 叠加法计算控制截面的弯矩值，作结构的弯叠加法计算控制截面的弯矩值，作结构的弯矩图；矩图； 5 由弯矩图作结构的剪力图，再由剪力图作结由弯矩图作结构的剪力图，再由剪力图作结构的轴力图；构的轴力图； 6 校核力法计算结果。校核力法计算结果。 7 试

12、用力法计算图试用力法计算图(a)所示超静定梁，并所示超静定梁，并作梁的弯矩图。作梁的弯矩图。 例例8-2-1AqB(a) 原结构原结构 EIL解：解：(1)取基本体系如图（取基本体系如图（b） (b) 基本体系基本体系qBAx1见图见图(c)、(d) PM1M作作图图 和和 图，图，LBAx =11(c) BAq22qL(d) 22ql作弯矩图，见图作弯矩图，见图(e) 82qL82qLAB(e) 习题：6-1, 6-2(a),(b) 例例6-3-1 使用力法计算图使用力法计算图(a)所示超静定梁，所示超静定梁，并作弯矩图并作弯矩图(a) LABEI解：解：(1)判定梁的超静定次数，并确定相应

13、的力判定梁的超静定次数，并确定相应的力法基本体系，见图法基本体系，见图(b) x1x2ABx1x2AB (b)基本体系基本体系 q(2)写力法方程写力法方程 01212111pxx02222121pxx (a) (3)求力法方程中的系数和自由项求力法方程中的系数和自由项 作基本结构分别在各多余力及荷载作用下作基本结构分别在各多余力及荷载作用下的弯矩图，见图的弯矩图，见图(c)、(d)、(e) x =11AB(c) ABx =11(d) (e) ABq图乘求系数和自由项图乘求系数和自由项 EILLEI3) 132121(12211EILLEI6) 131121(12112EIqLLqLEIPP2

14、4) 121832(1322111可由可由 1M的面积与该面积形心处的竖的面积与该面积形心处的竖标相乘得出，叫做标相乘得出，叫做自乘自乘。122M可由可由 图的面积与该面积形心对应图的面积与该面积形心对应的图的竖标相乘得出（由位移互等定理，的图的竖标相乘得出（由位移互等定理，也可交换取面积和竖标），叫做也可交换取面积和竖标），叫做互乘互乘。由此，将求柔度系数和自由项的过程，由此，将求柔度系数和自由项的过程，演变成各弯矩图演变成各弯矩图自乘自乘或或互乘互乘的过程。的过程。 将将所的系数和自由项代入力法方程所的系数和自由项代入力法方程(a)，并求，并求解多余力解多余力 02436024633213

15、21EIqLxEILxEILEIqLxEILxEIL简化为：简化为： 08210821221221qLxxqLxx(b) (a) 解方程，得：解方程，得： 1221qLx1222qLx (c) 作作弯矩图，见图弯矩图，见图(f) (f) M图图 AB242qL122qL122qL例例6-3-2 计算图计算图(a)所示超静定刚架，并作弯矩图所示超静定刚架，并作弯矩图 L/2ACBL/2L(a) 2EIPF解：解：(1 1) 确定基本未知量，并选择基本体确定基本未知量，并选择基本体系系 (b) 基本体系基本体系1 Ax2BCx1PFx =11ABCL(b1) Ax =12LCBL(b2) ABC(

16、b3) PF L/2PFABC(d)M图图 P3F /40P3F /80例例6-3-3 BACPLEIkab判定结构的力法基本未知量，确定基本体判定结构的力法基本未知量，确定基本体系，并写出力法方程；系，并写出力法方程； (1)计算基本结构在各约束单独作用下的内力，计算基本结构在各约束单独作用下的内力，然后计算力法方程中的系数和自由项；然后计算力法方程中的系数和自由项； (2)将系数和自由项代入力法方程，并求解出多将系数和自由项代入力法方程，并求解出多余力；余力； (3)计算控制截面内力，做内力图，并进行最后计算控制截面内力，做内力图，并进行最后结果的校核。结果的校核。 (4)力法解题的主要步

17、骤为：力法解题的主要步骤为： 例例6-4-1 ABC20kN2m2m2mED2mF10kN原结构原结构ABC20kNEDF10kN1X1X基本结构基本结构ABCEDF0.7071X =100000.7070.7070.70711N 图1X=1ABC20kNEDF10kNAVBVABC20kNEDF10kN13.33318.85613.33316.66716.6673.33316.66713.3334.714023.57000PN 图ABCEDF0.7071X =100000.7070.7070.70711N 图ABC20kNEDF10kN13.33318.85613.33316.66716.6

18、673.33316.66713.3334.714023.57000PN 图ABC20kNEDF10kN1518.85613.3331516.6671.6672.35723.5702.357N 图1.667例例6-4-2 用力法计算图用力法计算图(a)所示组合结构，求出各桁架所示组合结构，求出各桁架杆的轴力，并作梁式杆的弯矩图。已知梁式杆的轴力，并作梁式杆的弯矩图。已知梁式杆的抗弯刚度杆的抗弯刚度EI=常数，各桁架杆的轴向刚度常数，各桁架杆的轴向刚度EA=常数，且常数，且A=I/16。(a) 4m3m4mq=10kN/mDBCAEI(1)确定力法基本体系确定力法基本体系 解：解：q=10kN/m

19、x1x1DBCA(b) 力法方程为：力法方程为： 01111px(2)计算力法方程中的系数和自由项计算力法方程中的系数和自由项 x =11x1DBCA(c) 因本例仅在梁式杆上有均布荷载，桁架部分上无因本例仅在梁式杆上有均布荷载，桁架部分上无轴力轴力发生发生，只有只有梁式杆上有弯矩，见图梁式杆上有弯矩，见图(d)。 q=10kN/m30kN40kNmDBCA10kN(d) 显然，计算系数或自由项均应分别考虑梁显然，计算系数或自由项均应分别考虑梁式杆和桁架杆各自变形特点的位移计算式。式杆和桁架杆各自变形特点的位移计算式。计算如下：计算如下： EIEIEA78.169)2324221(25)65)

20、(65(2)311(111EIEIP67.266)2214841032232440212(121 067.26678.1691EIxEIkNx57. 11(4)计算内力计算内力 mkNMxMMPCACBCA86.3640)57. 1(221（下侧受拉）（下侧受拉） 桁架杆轴力：桁架杆轴力： kNxFNDC57. 111（压力）（压力） kNxFFNDANDB31. 1651（拉力）（拉力） (3)将系数和自由项代入力法方程，并解之：将系数和自由项代入力法方程，并解之： DBCA(e) 36.86kN m38.43kN m1.31kNEALFNiii2LEAFFNPNiiPLEAFFNjNiij

21、组合结构中的梁式杆和桁架杆分别按各自的组合结构中的梁式杆和桁架杆分别按各自的计算式计算后叠加。计算式计算后叠加。 力法方程中的柔度系数和荷载作用时自由项力法方程中的柔度系数和荷载作用时自由项计算公式：计算公式： dxEIMiii2dxEIMMjiijdxEIMMPiiP梁和刚架：梁和刚架： 桁架：桁架： 习题：6-2(d), 6-4(b), 6-5(b), 6-6, 6-9(b) 若结构是对称的若结构是对称的,1.荷载是正对称时，结构的弯矩、轴力是荷载是正对称时，结构的弯矩、轴力是正对称的，剪力是反对称的；正对称的，剪力是反对称的；2.荷载是反对称时，结构的弯矩、轴力是荷载是反对称时，结构的弯

22、矩、轴力是反对称的，剪力是正对称的。反对称的，剪力是正对称的。 内力的对称性内力的对称性若取对称的基本结构，并且多余力也具有正若取对称的基本结构，并且多余力也具有正或（和）反对称性，或（和）反对称性，1.在正对称荷载作用下，结构只有正对称多在正对称荷载作用下，结构只有正对称多余力，反对称多余力等于零；余力，反对称多余力等于零；2.在反对称荷载作用下，结构只有反对称多在反对称荷载作用下，结构只有反对称多余力，正对称多余力等于零。余力，正对称多余力等于零。多余力的对称性多余力的对称性例例6-5-1 计算并绘制一超静定刚架分别在图计算并绘制一超静定刚架分别在图(a)、(b)所所示荷载作用下的弯矩图。

23、示荷载作用下的弯矩图。 (a) CAABBL/2L/2L/2L/2EI 常数PFPFCAABBL/2L/2L/2L/2(b) EI 常数PFPF图图(a)，刚架在正对称荷载下的内力计算：，刚架在正对称荷载下的内力计算： 解：解： x1CAx1ABBC(a1) PFPF由图由图(a2)、(a3)图乘求系数和自由项：图乘求系数和自由项： EILLLLEI32)3221(2311EILFLLLFEIPPP245)652221(231AABBC C(a3) PFPF/ 2PF L/ 2PF LLLx1CAx =11ABBC(a2) 代入力法方程，解得：代入力法方程，解得： 1651111PPFx计算杆

24、端弯矩：计算杆端弯矩： 1632)165(LFLFFLMPPPAB（外侧受拉）（外侧受拉） CAABB(c) PFPF3 16 kN m5 32 kN m弯矩图见图弯矩图见图(c) 图图(b)，刚架在反对称荷载下的内力计算：，刚架在反对称荷载下的内力计算： 取对称的基本结构，只考虑反对称的多余力，取对称的基本结构，只考虑反对称的多余力，见图见图(b1)、(b2) CAABBC(b3) PF L/2PF L/2PFPFx2CAx2ABBC(b1) PFPFx2CAx =12ABBC(b2) L/2L/2EILLLLLLLEI127)232222122(2322EILFLLLFEIPPP8)222

25、21(232代入力法方程，解得：代入力法方程，解得： 1432222PPFx计算杆端弯矩：计算杆端弯矩： 28112)143(2PPPABFLFFLM（左侧受拉）（左侧受拉） 283)143(2LFFLMPPBA（右侧受拉）右侧受拉） 由图由图(b2)、(b3)图乘求系数和自由项：图乘求系数和自由项： 弯矩图见图弯矩图见图(d) CAABB11F L/28P3F L/28P(d) 力法利用对称性需要力法利用对称性需要(1)取对称的基本结构；取对称的基本结构；(2)使多余力具有正对称或（和）反对称性。使多余力具有正对称或（和）反对称性。这这两条须同时满足，而不需要考虑荷载是两条须同时满足，而不需

26、要考虑荷载是否具有对称或反对称性。否具有对称或反对称性。 因为因为任意荷载可任意荷载可分解分解为一对正对称荷载和反对称荷载为一对正对称荷载和反对称荷载。更一般情况下的对称性的利用更一般情况下的对称性的利用最一般情况下的对称性的利用最一般情况下的对称性的利用仅结构具有对称性，荷载和多余力都不具有仅结构具有对称性，荷载和多余力都不具有对称性或（和）反对称性。对称性或（和）反对称性。方法方法1：构造对称（反对称）荷载：构造对称（反对称）荷载方法方法2：构造对称（反对称）多余力：构造对称（反对称）多余力利用对称性计算图利用对称性计算图(a)所示对称刚架所示对称刚架例例6-5-2图图(a)所示对称刚架，

27、为两次超静定结构所示对称刚架，为两次超静定结构 BCCAq=6kN/m(a) EI3m3mEI取图取图(c)所示基本结构，但在对称位置上的两所示基本结构，但在对称位置上的两个多余力在一般荷载作用下不具有对称性，个多余力在一般荷载作用下不具有对称性，也不具有反对称性。也不具有反对称性。 BCCx2Ax1q=6kN/m(c) 方法一：构造对称和反对称荷载方法一：构造对称和反对称荷载对称荷载对称荷载反对称荷载反对称荷载计算系数和自由项：计算系数和自由项：1121218(3 33)23EIEI 22212190(3 33)(6 4 6)232EIEIEI 1213243(13.5 33)344PEIE

28、I 221311539(13.5 33)( 27 4 6)3424PEIEIEI 代入力法方程，求多余力：代入力法方程，求多余力： 0022221111PPxx123.3754.275xx计算杆端弯矩：计算杆端弯矩： 12002761.35ABBAMMxxkN m （右侧受拉）（右侧受拉） 1213.5313.534.05BCMxxkN m（上侧受拉）（上侧受拉） 1213.5313.532.7BCMxxkN m（上侧受拉）（上侧受拉） 仍然取与图仍然取与图(c)相同的基本结构，所不同的是将相同的基本结构，所不同的是将在对称位置上的两个多余力进行分组，分成一在对称位置上的两个多余力进行分组，分

29、成一组正对称的和一组反对称的，见图组正对称的和一组反对称的，见图(b)所示。所示。 CCx2Ax1Bx2x1q=6kN/m(b) 方法二：构造对称和反对称多余力方法二：构造对称和反对称多余力计算系数和自由项：计算系数和自由项：EIEI18)3323321(21122212190(3 33)(6 4 6)232EIEIEI EIEIP4243)34332731(11EIEIEIP41539)6427(21)34332731(12代入力法方程，求多余力：代入力法方程，求多余力： 0022221111PPxx计算杆端弯矩：计算杆端弯矩： 1227061.35ABBAMMxxkN m （右侧受拉）（右

30、侧受拉） 1227334.05BCMxxkN m（上侧受拉）上侧受拉） 123.3754.275xx120332.7BCMxxkN m（上侧受拉）（上侧受拉） X1lfX1=1X1=1状态xyxyFp 状态101111PXdsEIMMPP11略去剪力的影响；略去剪力的影响；dsEANNdsEIMM111111计算系数时只能积分，不能图乘计算系数时只能积分，不能图乘yM1cos1NdsEIyMP1dsEAdsEIy2211cos1111PXHPMM在竖向荷载作用下在竖向荷载作用下HyMXMMM11sincosHQQcossinHQN计算特点：计算特点： 和和 只能只能积分；积分； 推力推力由变形

31、条件求得；由变形条件求得；111PHH关于位移计算简化的讨论；关于位移计算简化的讨论；dsGAQkdsEANdsEIM21212111dsEIMQN21)1 (通常可以通常可以略去略去对于扁平拱，当对于扁平拱，当1110%810Nfhll且时不能忽略不能忽略当当 时时，可取可取Q/1/5fl dsdxcos1为什么要用拉杆？为什么要用拉杆？墙、柱不承担弯矩墙、柱不承担弯矩推力减少了拱肋弯矩推力减少了拱肋弯矩dxAENdsEANdsEIMl01121212111dsEIMMPP11其中，其中，110112011211AEldxAEdxAENll111111212111AElAEldsEANdsE

32、IME、I、AE1、A1X111NMX1=1 MP01111PX两类拱的比较：两类拱的比较：无拉杆无拉杆111PHHH 相当于无拉杆有拉杆有拉杆11111PHlE A0H简支曲梁适当适当加大加大 使使 较大较大，可减小，可减小拱肋拱肋 ， 求求出后，计算内力公式与前面一样。出后，计算内力公式与前面一样。11E A 110E A 11E AHM H习题：6-8(c,d), 6-11与荷载作用下力法思路和建立方程的方法相与荷载作用下力法思路和建立方程的方法相同，所不同的是：同，所不同的是： 基本结构（静定结构）在支座移动时是基本结构（静定结构）在支座移动时是刚体位移，并且无内力发生刚体位移，并且无

33、内力发生 ；基本结构多余力处沿多余力方向上与原基本结构多余力处沿多余力方向上与原结构一致的位移条件一般不全等于零。结构一致的位移条件一般不全等于零。以图以图6-4-1(a)所示超静定梁为例，建立超静定结所示超静定梁为例，建立超静定结构在支座移动时的力法方程构在支座移动时的力法方程 图图6-4-1(a) BABBAEI其多余力处沿多余力方向上与原结构一致其多余力处沿多余力方向上与原结构一致的位移协调条件：的位移协调条件： B102取力法基本体系如图取力法基本体系如图(b) x2x1BBA (b)基本结构基本结构 BA022221211212111xxxxB (a)12分别表示基本结构在支座分别表

34、示基本结构在支座移动时沿多余力方向上的位移移动时沿多余力方向上的位移 叠加基本结构在各因素单独作用下的位移，叠加基本结构在各因素单独作用下的位移，得力法方程：得力法方程：自由项的计算是静定结构在支座移动时的自由项的计算是静定结构在支座移动时的位移计算，即位移计算，即 cFRii(8-4-1)RiF多余力多余力 单独作用在基本结构上单独作用在基本结构上时引起的支座反力时引起的支座反力 1ix c基本结构的支座位移基本结构的支座位移 注：注：基本结构的支座移动，指基本结构保留基本结构的支座移动，指基本结构保留的支座上的位移的支座上的位移 例例6-4-1 图图(a)所示刚架，固定支座所示刚架，固定支

35、座A在三个约束方向在三个约束方向上都有位移发生，即水平位移上都有位移发生，即水平位移a，竖向位移，竖向位移a/2，转角，转角位移位移a/L。各杆。各杆EI相等，并为常数。只用力法计算该相等，并为常数。只用力法计算该刚架，并作弯矩图。刚架，并作弯矩图。LLa/2aAACAa/La/LBB (a)EIa/2x2x1ACBaBa/LA解：取基本体系如图解：取基本体系如图(b)所示。力法方程：所示。力法方程： Laxxxx/022221211212111(a) (b)作各单位多余力单独作用下的弯矩图，并作各单位多余力单独作用下的弯矩图，并求出相应的支座反力见图求出相应的支座反力见图(d)、(e) Lx

36、1=1CABL0 x2=1CAB11(d)(e)EILLLLEI32)3221(2311EILLLEI34) 11132121(122EILLLLLEI65)21132121(122112计算柔度系数方法同前，即：计算柔度系数方法同前，即：2)211 (1aaaLaaLa2)210(2aLEIx31769aLEIx22751本例自由项计算如下：本例自由项计算如下：求解多余力：求解多余力： 计算杆端弯矩计算杆端弯矩EILaxxMAB22175110EILaxxLMMBCBA2217181（右侧（右侧受受拉）拉） （左侧（左侧、上侧受、上侧受拉）拉） 结构在支座移动下的最后弯矩叠加公式仅结构在支座

37、移动下的最后弯矩叠加公式仅含各多余力的影响。即：含各多余力的影响。即： 1212ijijNijijnMMxMxMx(6-4-2)弯矩图见图弯矩图见图(c)CBAEILa2751EILa2718(c)由于超静定结构的基本结构是静由于超静定结构的基本结构是静定结构，在支座移动的影响下不定结构，在支座移动的影响下不产生内力，因此超静定结构在支产生内力，因此超静定结构在支座移动的影响，其内力是多余力座移动的影响，其内力是多余力作用在基本结构上的内力的体现。作用在基本结构上的内力的体现。或者更简单得说，其内力是由多或者更简单得说，其内力是由多余力引起的。余力引起的。 2 2超静定结构在支座移动的影响下，

38、超静定结构在支座移动的影响下，会产生内力，并且内力与结构的会产生内力，并且内力与结构的刚度的绝对值有关；刚度的绝对值有关； 1 1注注意意x2x1t2Bt1A (b)基本结构基本结构 x1ABB(c)图图6-4-2 t2Bt1A (a)原结构原结构 EIALx2BBAtt2Bt1ABt(d)(e)图图6-4-2 图图6-4-2(a)所示两次超静定梁，温度改变所示两次超静定梁，温度改变影响下的力法方程影响下的力法方程 ：0022221211212111ttxxxx(b)t 1t2自由项自由项 分别分别表示基本结构在温度改表示基本结构在温度改变时沿多余力变时沿多余力 和和 方向方向上的位移。上的位

39、移。 1x2x0( )( )NiitFMittSSh (6-4-3)NiFSMiS 分别分别表示基本结构在多余力表示基本结构在多余力 =1单独单独作用下，结构的杆件中产生的轴力图和弯矩作用下，结构的杆件中产生的轴力图和弯矩图的面积。图的面积。 ix自由项的计算式可写成一般形式：自由项的计算式可写成一般形式： 例例6-4-2 如图所如图所示结构，除承受图示的荷载外，内外示结构，除承受图示的荷载外，内外侧的温度也发生了改变，其内侧升高了侧的温度也发生了改变，其内侧升高了5，外侧升高，外侧升高了了25。杆件截面为矩形，尺寸见图示。杆件截面为矩形，尺寸见图示。已知已知：材料在温度下的线膨胀系数为：材料

40、在温度下的线膨胀系数为0.00001。用力法。用力法计算并作弯矩图和轴力图。计算并作弯矩图和轴力图。60cm40cmq=20kN/mt1CDAt2BEI=常数P1F =40kN (a)原结构原结构 (b)基本结构基本结构 解：该刚架为一次超静定结构，基本体系解：该刚架为一次超静定结构，基本体系如图如图(b)，力法方程：，力法方程： 011111tPx(a)60cm40cmq=20kN/mt1CDAt2BEI=常数P1F =40kNx1q=20kN/mt1CDAt2BP1F =40kNEI=常数1/6CA1x =11DB11/6(1/6)(0)(e)t1CDAt2BDB(d)120kNmq=20

41、kN/mCDAB(c)P1F =40kN由图由图(e)弯矩图自乘，得：弯矩图自乘，得： EIEI8) 1611326121(111计算系数和自由项：计算系数和自由项：1/6CA1x =11DB11/6(1/6)(0)(e)由图由图(e)和图和图(c)两两弯矩图互弯矩图互乘，得乘，得EIEIP60) 1216862032131612021(121由式由式(6-4-3)计算：计算：(b)0( )( )NiitFMittSSh Cttt1525252210Cttt2052512温度升高温度升高 外侧温度高外侧温度高 3211085. 2)616121(10602000001. 06611500001

42、. 0t由题给条件知：由题给条件知：则则251044. 1mkNEI将以上所得值代入力法方程将以上所得值代入力法方程(a)式中，解得：式中，解得： mkNxPt8 .4311111mkNxMAB8 .4311矩形截面的抗弯刚度：矩形截面的抗弯刚度：计算杆端弯矩：计算杆端弯矩：（右侧（右侧受受拉）拉）BCDA(f)43.8kN m120kN m7.3kN m由于基本结构是静定结构，温度改由于基本结构是静定结构，温度改变不产生内力。超静定结构由于温变不产生内力。超静定结构由于温度的改变所产生的内力是由多余力度的改变所产生的内力是由多余力作用在基本结构上的内力体现作用在基本结构上的内力体现的的。或者

43、或者更简单得说，其内力是由多余更简单得说，其内力是由多余力引起的。力引起的。 2 2超静定结构在温度的改变的影响下，超静定结构在温度的改变的影响下，会产生内力，并且内力与结构的刚会产生内力，并且内力与结构的刚度的绝对值有关；度的绝对值有关； 1 1注注意意原结构和基本结构的变形比较原结构和基本结构的变形比较:超静定结构的基本结构不仅在多余力方向与原超静定结构的基本结构不仅在多余力方向与原结构的位移一致（力法方程条件），并且满足结构的位移一致（力法方程条件），并且满足基本结构在任一截面上的位移都一定与原结构基本结构在任一截面上的位移都一定与原结构一致。一致。 超静定结构的位移计算就是其任意一个基

44、超静定结构的位移计算就是其任意一个基本结构（静定结构）在广义荷载（狭义荷本结构（静定结构）在广义荷载（狭义荷载、支座移动、温度）和多余力的共同作载、支座移动、温度）和多余力的共同作用下的位移计算（因超静定结构的基本结用下的位移计算（因超静定结构的基本结构不是唯一的）。构不是唯一的）。计算超静定结构的位移时的虚单位力可加计算超静定结构的位移时的虚单位力可加在其原结构的任意一个基本结构上。在其原结构的任意一个基本结构上。 00( )( )NQNQNFMRF FF FMMdskdsdsEAGAEIttSShFc 广义荷载作用下的位移计算公式广义荷载作用下的位移计算公式 (1)荷载荷载作用下的位移计算

45、作用下的位移计算dsEIMMdsGAFFkdsEAFFQQNN0超静定结构在荷载作用下的位移计算步骤：超静定结构在荷载作用下的位移计算步骤：计算超静定结构（原结构）在荷载计算超静定结构（原结构）在荷载作用下的内力（实际状态）；作用下的内力（实际状态）； 在原结构的任意一个基本结构上沿在原结构的任意一个基本结构上沿拟求位移方向施加虚单位力，并计算拟求位移方向施加虚单位力，并计算由此产生的内力；由此产生的内力；将将以上所得两种状态内力代入位移以上所得两种状态内力代入位移计算公式计算计算公式计算 。 (b)基本结构基本结构 例例6-8-1 求求图图 (a)所示所示刚架在刚架在荷载作用下荷载作用下C端

46、截端截面的面的转角位移转角位移 。cAx2BCx1PF (a)原结构原结构 L/2ACBL/2L2EIEIPF(d)M图图 (e) (f) 图图6-8-1ABCPFP3F L/40P3F L/801ABCM=11ABCM=1刚架刚架在荷载作用下的最后弯矩图已在在荷载作用下的最后弯矩图已在例例6-2-2中得出，见图中得出，见图(d)。图。图(e)、(f)示出了原结构的两个基本结构的虚单示出了原结构的两个基本结构的虚单位力作用下弯矩图，比较后，显然后位力作用下弯矩图，比较后，显然后者与最后弯矩图互乘较简单，因此取者与最后弯矩图互乘较简单，因此取图图(f)为原结构的虚力系。为原结构的虚力系。解：解：

47、EILFLLFLLFEIPPPC40) 12142113140321(212（） 将图将图(d)、(f)互乘，得互乘，得注意注意一般选择虚单位弯矩图在结构上分布尽可能一般选择虚单位弯矩图在结构上分布尽可能简单的基本结构作为虚力系。简单的基本结构作为虚力系。一般形式一般形式 cFdsEIMMdsGAFFkdsEAFFRQQNN0(2)支座移动时的位移计算支座移动时的位移计算例例6-8-2 求求图图(a)所示超静定梁由于所示超静定梁由于B支座位支座位移引起的梁中点的竖向位移。移引起的梁中点的竖向位移。 LABCbB (a)原结构原结构 EI1)用力法计算原结构，作梁在支座移动时的用力法计算原结构，

48、作梁在支座移动时的最后弯矩图（实际最后弯矩图（实际状态）。状态）。01111x解解: x1AbBBC (b)基本结构基本结构取图取图(b)所示简支梁为力法基本结构，力法方所示简支梁为力法基本结构，力法方程为：程为：方程中的系数和自由项：基本结构在单位多余方程中的系数和自由项：基本结构在单位多余力作用下的弯矩图和支座移动单独作用下的刚力作用下的弯矩图和支座移动单独作用下的刚体位移见图体位移见图(c)、(d)。 bABCB1/Lx =11AB1 (c) (d) 将系数和自由项代入力法方程，求解多余力：将系数和自由项代入力法方程，求解多余力： 211113LEIbxEILLEI3) 132121(1

49、11LbbLcFR)1(11杆端弯矩：杆端弯矩： 2113LEIbMxMAB梁的最后弯矩图见图梁的最后弯矩图见图(e)所所示示作最后弯矩图：作最后弯矩图：（上上侧侧受受拉）拉） ABC23LEIb(e)M图图 ABCx=-123LEIb(f)M图图 2)虚设单位力见图虚设单位力见图(g)，作虚单位弯矩图并求，作虚单位弯矩图并求支座反力（虚力支座反力（虚力状态）。状态）。 bABCB(g)虚单位弯矩图虚单位弯矩图 (h) F =1PABC1 23)利用位移计算公式求位移利用位移计算公式求位移 CVcFdxEIMMR165)21()321421(12bbEILbLLEICV (a) （ ） 1 1根据所取虚单位力所在的基本结构不同，根据所取虚单位力所在的基本结构不同，公式公式(a)的右侧后一项做相应的取舍。如若的右侧后一项做相应的取舍。如若取悬臂梁建立虚单位力系，见图取悬臂梁建立虚单位力系，见图(i)示，位示，位移计算移计算公式公式(a)为为