平面与平面垂直(人教B版)

1、平面与平面垂直平面与平面垂直平面与平面垂直平面与平面垂直1 定义：定义：如果两个相交平面的如果两个相交平面的交线与第交线与第三个平面垂直三个平面垂直，又这两个平面与第三个平，又这两个平面与第三个平面相交所得的面相交所得的两条交线互相垂直两条交线互相垂直，就称这，就称这两个平面互相垂直。两个平面互相垂直。两个平面两个平面，互相垂直互相垂直记作：记作：。两个平面互相垂直的两个平面互相垂直的画法画法： 画两个互相垂直的平面，把直立平面画两个互相垂直的平面，把直立平面的竖边画成和水平面的横边垂直，如图的竖边画成和水平面的横边垂直，如图所示，平面所示，平面和平面和平面垂直，记作：垂直，记作：。 为什么教

2、室的门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？探究二：探究二：2 平面与平面垂直的判定定理：平面与平面垂直的判定定理：文字语言：文字语言：如果一个平面过另一个平面的一如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直；条垂线，则这两个平面互相垂直；图形语言：图形语言： BA符号语言：符号语言：ABAB 黑板所在平面与地面垂直，我想在黑板内作一条直线与地面垂直，应该怎么作？探究三：探究三：3平面与平面垂直的性质定理：平面与平面垂直的性质定理：图形语言：图形语言： BACD符号语言：符号语言：CDABABABCDI文字语言文字语言：如果两个平面垂直，那么在一个平面如果两个平面垂直，那么在一个

3、平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面；内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面；已知：平面已知：平面平面平面，=CD，BA ，BACD，B为垂足，为垂足，求证：求证：BA. C E D B A 证明：在平面证明：在平面内过点内过点B作作BECD，因为因为， 所以所以BABE，又因为又因为BACD，CDBE=B，所以所以BA。例例1已知：平面已知：平面平面平面，在，在与与的交线上取线段的交线上取线段AB=4cm，AC，BD分别在平面分别在平面和平面和平面内，它们都垂内，它们都垂直于交线直于交线AB，并且，并且AC=3cm，BD=12cm，求，求CD的长。的长。 l C D B A 解：连接解

4、：连接BC，因为，因为BDAB，直，直线线AB是两个互相垂直的平面是两个互相垂直的平面 和和的交线，的交线，所以所以 BD，BDBC， 所以所以CBD是直角三角形，是直角三角形，在直角在直角BAC中，中，BC= 22345在直角在直角CBD中，中，CD=2251213所以所以CD的长为的长为13cm. 因为平面因为平面ABD和和ACD都过都过AD，所以平面所以平面ABD平面平面BDC，平面平面ACD平面平面BDC；例例2已知已知RtABC中，中，AB=AC=a，AD是斜边是斜边BC上的高，上的高，以以AD为折痕使为折痕使BDC成直角，求证：成直角，求证：（1）平面）平面ABD平面平面BDC，

5、平面平面ACD平面平面BDC；（2）BAC=60.证明：（证明：（1）如图，）如图，因为因为ADBD， ADDC，所以所以AD平面平面BDC， C D B A D C A B D C A B（2）在原图中，直角）在原图中，直角BAC，因为，因为AB=AC=a，所以，所以BC= a， 2所以所以 BD=DC= a， 22BDC是等腰直角三角形。是等腰直角三角形。 所以所以BC= BD= a 2BDC是等腰直角三角形。是等腰直角三角形。 所以所以AB=AC=BC，因此因此BAC=60. PABCO 例例1.如图，圆如图，圆O所在一平面所在一平面 ，AB是圆是圆O 的直径，的直径，C 是圆周上一点是

6、圆周上一点,且且PA AC, PA AB,求证：求证：平面平面PBC 平面平面PAC 小组合作小组合作：图中有多少对面面垂直？：图中有多少对面面垂直？练习题练习题1 下列命题中正确的是（下列命题中正确的是（ ）（A）平面）平面和和分别过两条互相垂直的直线，则分别过两条互相垂直的直线，则 （B）若平面）若平面内的一条直线垂直于平面内的一条直线垂直于平面内的两条平行直线，内的两条平行直线，则则 （C）若平面）若平面内的一条直线垂直于平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线，内的两条相交直线，则则（D）若平面）若平面内的一条直线垂直于平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，内的无数条直线，则则C

7、2设两个平面互相垂直，则（设两个平面互相垂直，则（ ）（A）一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面）一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面 （B）过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面）过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面内内 （C）过交线上一点垂直于交线的直线必垂直于另一个平面）过交线上一点垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 （D）分别在两个平面内的两条直线互相垂直）分别在两个平面内的两条直线互相垂直B3. 如图所示：四边形如图所示：四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形， 直线直线SC平面平面ABCD，E是是SA的中点，的中点， F E S D C B A证明：

8、连接证明：连接AC，BD，交点为，交点为F，连接连接EF，EF是是SAC的中位线，的中位线， SC平面平面ABCD， EF平面平面ABCD， 平面平面BDE平面平面ABCD.又又EF 平面平面BDE， EF/SC.求证：平面求证：平面EBD平面平面ABCD.4 在长方体在长方体ABCDA1B1C1D1中，中，AB=BC=3，B1B=4，连接连接B1C，过，过B作作BEB1C，交，交B1C于于F，交，交CC1于于E， 求证：平面求证：平面BDE平面平面A1BCD1。 证明：连接证明：连接AC，ABCDA1B1C1D1是长方体，是长方体， AA1面面ABCD，又又 ABCD是正方形，是正方形， ACBD，又又AC是是A1C在面在面ABCD上的射影，由上的射影，由三垂线定理得三垂线定理得 A1CBD.又又A1B1面面B1BCC1，且，且B1C是是A1C在面在面B1BCC1上的射影，上的射影，BEB1C，又又A1C 面面A1BCD1， 平面平面BDE平面平面A1BCD1. A1CBE，A1C面面BDE， 5. CABDO证明：证明：设设DC中点为中点为O，连结，连结AO,BOAC=AD=2, DAC=60AODC, , DC=2又又BAC= BAD=60 , AB=3ABD ABC ,