信号与线性系统分析第一章

1、信号分析与处理信号分析与处理Signal Analysis and Processing主讲教师：董芳河北大学质监学院 序 言 课程位置 主要内容 课程特点 学习方法 选用教材 参 考 书课程位置 先修课先修课 后续课程后续课程高等数学高等数学 通信原理通信原理线性代数线性代数 数字信号处理数字信号处理复变函数与积分变换复变函数与积分变换 自动控制原理自动控制原理电路分析基础电路分析基础 本课程为电类专业的一门专业基础课，为后续本课程为电类专业的一门专业基础课，为后续的许多专业课打下了良好的基础，属于专业发展必的许多专业课打下了良好的基础，属于专业发展必修课程，希望大家能很好的掌握本门课程。修

2、课程，希望大家能很好的掌握本门课程。主要内容 本课程研究确定性信号经线性时不变系本课程研究确定性信号经线性时不变系统传输与处理的基本概念与基本分析方法：统传输与处理的基本概念与基本分析方法： 主要研究连续时间信号与系统的分析；主要研究连续时间信号与系统的分析； 从时间域到频域到复频域；从时间域到频域到复频域； 从输入、输出描述到状态空间描述。从输入、输出描述到状态空间描述。 与与电路分析电路分析比较，更抽象，更一般化；比较，更抽象，更一般化； 应用应用数学知识数学知识较多，用数学工具分析物理概念较多，用数学工具分析物理概念 常用数学工具：常用数学工具：微分、积分微分、积分( (定积分、无穷积分

3、、上限积分）定积分、无穷积分、上限积分）线性代数线性代数 微分方程微分方程 卷积积分、傅里叶变换、拉氏变换卷积积分、傅里叶变换、拉氏变换 可以借助于可以借助于MATLABMATLAB软件辅助学习软件辅助学习课程特点 注重物理概念与数学分析之间的对照，不要注重物理概念与数学分析之间的对照，不要盲目盲目计算；计算；学习方法 注意分析结果的注意分析结果的物理解释物理解释，各种参量改变时的物理意义，各种参量改变时的物理意义及其产生的后果；及其产生的后果； 同一问题可有多种解法，应寻找同一问题可有多种解法，应寻找最最简单、简单、最最合理的解法，合理的解法，比较各方法之优劣；比较各方法之优劣； 在学完本课

4、程相当长的时间内仍需要在学完本课程相当长的时间内仍需要反复反复学习本课程的学习本课程的基本概念。基本概念。 信号与线性系统分析（第四版）信号与线性系统分析（第四版） 吴大正吴大正 主编主编 该书基本概念清楚，数学推导严谨，该书基本概念清楚，数学推导严谨，理论系统性强，例题具有代表性，图解理论系统性强，例题具有代表性，图解说明性强，习题丰富，文字简洁说明性强，习题丰富，文字简洁选用教材(1) (1) 郑君里等，信号与系统（第三版）郑君里等，信号与系统（第三版）. .北京：高教出版社，北京：高教出版社，20112011(2) (2) （美）（美）Alan V. Oppenheim（刘树棠译），（刘

5、树棠译）， 信号与系统信号与系统 （第（第二版）二版）. . 西安：西安： 西安交通大学出版社西安交通大学出版社, 1998, 1998(3) (3) 管致中等，信号与线性系统（第四版）管致中等，信号与线性系统（第四版）. . 北京：高等教育出版北京：高等教育出版社社, 2004 , 2004 (4) (4) 陈生谭等，信号与系统（第三版）陈生谭等，信号与系统（第三版）. .西安：西安电子科技大学出西安：西安电子科技大学出版社，版社，20082008(5)(5)信号与系统常见题型解析及模拟题信号与系统常见题型解析及模拟题范世贵主编，西北工业大范世贵主编，西北工业大学出版社学出版社(6) (6)

6、 信号分析与处理：信号分析与处理：MATLABMATLAB语言及应用语言及应用黄文梅、熊桂林、杨黄文梅、熊桂林、杨勇著，国防科技大学出版社勇著，国防科技大学出版社参考书其他其他。关于关于出勤出勤课堂课堂纪律纪律关于关于作业作业几点要求拓宽加深部分拓宽加深部分本书内容本书内容 绪论绪论第一章第一章连续时域连续时域第二章第二章离散时域离散时域 第三章第三章频域分析频域分析 第四章第四章复频域复频域第五章第五章系统函数系统函数 第七章第七章Z Z变换变换第六章第六章基本概念引导基本概念引导核心内容核心内容状态变量状态变量分析法分析法 第八章第八章第一章 信号与系统1.1 绪 言1.2 信 号1.3

7、信号的基本运算1.4 阶跃函数和冲激函数1.5 系统的描述1.6 系统的特性和分析方法信号与系统信号与系统要解决的问题要解决的问题l什么是信号？什么是信号？l什么是系统？什么是系统？l信号作用于系统产生什么响应？信号作用于系统产生什么响应？1.1 绪言一、信号的概念一、信号的概念 消息消息（message） 人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。 信息信息（information） 通常把消息中有意义的内容成为信息。通常把消息中有意义的内容成为信息。 信号信号（signal） 信号是信息的载体。通过信号传递信息。信号是信息的载体。通过信号传递信息。 为

8、了有效地传播和利用信息，常常需要将信息转为了有效地传播和利用信息，常常需要将信息转换成便于传输和处理的信号！换成便于传输和处理的信号！信号无处不在信号无处不在通通 讯讯 古老通讯方式：烽火、旗古老通讯方式：烽火、旗语、信号灯语、信号灯 近代通讯方式：电报、电近代通讯方式：电报、电话、无线通讯话、无线通讯 现代通讯方式：计算机网现代通讯方式：计算机网络通讯、视频电视传播、络通讯、视频电视传播、卫星传输、移动通讯卫星传输、移动通讯生生 活活 上课铃：声信号上课铃：声信号 红绿灯：光信号红绿灯：光信号 电视机：电信号电视机：电信号 广告牌：图像信号、文字广告牌：图像信号、文字信号信号 信号无处不在信

9、号无处不在信号无处不在信号无处不在二、系统的概念（二、系统的概念（ ） 系统（系统（system） 一般而言，系统是指若干相互关联的事物组一般而言，系统是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。合而成具有特定功能的整体。 信号的产生、传输和处理需要一定的物理装信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样的物理装置常称为系统。置，这样的物理装置常称为系统。 手机、电视机、通信网、计算机网都可以看成系统。它手机、电视机、通信网、计算机网都可以看成系统。它们所传送的语音、音乐、图像、文字等都可以看成信号。们所传送的语音、音乐、图像、文字等都可以看成信号。 信号在系统中按一定规律运动、变化，

10、信号在系统中按一定规律运动、变化，系统对输入信系统对输入信号进行加工和处理，将其转换为所需要的输出信号。号进行加工和处理，将其转换为所需要的输出信号。信号与系统的概念是紧密相连的！信号与系统的概念是紧密相连的！系统系统输入信号输入信号激励激励输出信号输出信号响应响应转换器()发射机消息（广播节目）信号调制转换器()接收机消息（广播节目）信号解调无线电广播系统的组成无线电广播系统的组成 信号理论和系统理论涉及范围广泛，信号理论和系统理论涉及范围广泛，内容十分丰富。内容十分丰富。信号理论信号理论信号分析信号分析信号传输信号传输信号处理信号处理信号综合信号综合系统理论系统理论系统分析系统分析系统综合

11、系统综合讨论信号的表示、信号的性质等讨论信号的表示、信号的性质等研究对于给定的系统，在输入信号的作用下产生的研究对于给定的系统，在输入信号的作用下产生的输出信号。输出信号。1.2 信号物理上：物理上： 信号是信息寄寓变化的形式信号是信息寄寓变化的形式数学上：数学上： 信号是一个或多个变量的函数信号是一个或多个变量的函数形态上：形态上： 信号表现为一种波形信号表现为一种波形自变量：自变量： 时间、位移、周期、频率、幅度、时间、位移、周期、频率、幅度、 相位相位信号的描述信号的描述 信号的信号的时间特性时间特性：表示为随时间变化的函数。：表示为随时间变化的函数。 信号的信号的频率特性频率特性：信号

12、可以分解为许多不同：信号可以分解为许多不同 频率的正弦分量之和频率的正弦分量之和。l信号是信息的一种物理体现，它一般是随时信号是信息的一种物理体现，它一般是随时 间或位置变化的物理量。间或位置变化的物理量。l信号按物理属性分为电信号和非电信号信号按物理属性分为电信号和非电信号, ,它们可它们可以相互转换。以相互转换。l电信号容易产生，便于控制，易于处理。电信号容易产生，便于控制，易于处理。l本课程讨论电信号本课程讨论电信号-简称简称“信号信号”。信号的特性信号的特性信号描述的方法信号描述的方法 000 tettft 单边指数信号函数表达式单边指数信号函数表达式 描述信号的常用方法（描述信号的常

13、用方法（1）函数表达式）函数表达式f(t) （2）波形）波形单边指数信号波形图单边指数信号波形图1t0f(t)“信号信号”与与“函数函数”两词常相互通用两词常相互通用确定性信号和随机信号确定性信号和随机信号可以用确定时间函数表示的信号，称为确定信号或规则信号。如正弦信号。 确定性信号确定性信号 随机信号随机信号本课程只讨论本课程只讨论确定性确定性信号！信号！研究确定信号是研究随机信号的基础研究确定信号是研究随机信号的基础不能用确定时间函数表示的信号，且在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性，如在某时刻取某一数值的概率，这类信号称为随机信号或不确定信号。电子系统中的起伏热噪声、雷

14、电干扰信号就是两种典型的随机信号。一、连续时间信号和离散时间信号（一、连续时间信号和离散时间信号（） 除若干不连续点外，对于任意时间值都可以给出确除若干不连续点外，对于任意时间值都可以给出确定的信号值，此信号称为连续时间信号，简称连续信号定的信号值，此信号称为连续时间信号，简称连续信号连续信号连续信号 只在一些离散时刻有定义的信号称为离散时间信只在一些离散时刻有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号号，简称离散信号离散信号离散信号按信号的定义域分类按信号的定义域分类 连续信号连续信号（t t连续）连续）离散信号离散信号（t离散）离散）抽样信号抽样信号数字数字信号信号时间离散时间离散幅值连续幅

15、值连续时间离散时间离散幅值离散幅值离散模拟模拟信号信号时间连续时间连续幅值连续幅值连续时间连续时间连续幅值离散幅值离散连续信号连续信号 01212A Af1(t)to1tf2(t)oAtf3(t)t0(a)(b)(c)值域连续值域连续值域不值域不连续连续值域连续值域连续离散信号离散信号 0123 4567 82468A Akf1(k)1310234131023410132f2(k)f3(k)kk56A(a)(b)(c)值域连续值域连续值域不值域不连续连续值域不值域不连续连续举例：举例：连续时间信号：单位阶跃函数连续时间信号：单位阶跃函数离散时间信号：单位阶跃序列离散时间信号：单位阶跃序列0,0

16、1( ),021,0ttttt( ) t10,0( )1,0kkkk1)(k01 2 3二、周期信号与非周期信号（二、周期信号与非周期信号（） 周期信号周期信号( (period signal) )是定义在是定义在(-(-，) )区间，区间，每隔一定时间每隔一定时间T( (或整数或整数N），按相同规律重复变化的），按相同规律重复变化的信号。信号。不具有周期性的信号称为不具有周期性的信号称为非周期信号非周期信号。连续周期信号连续周期信号f(t)满足满足: : f(t) = f(t + mT)，m = 0,1,2,离散周期信号离散周期信号f(k)满足满足: : f(k) = f(k + mN)，m

17、 = 0,1,2,满足上述关系的最小满足上述关系的最小T( (或整数或整数N) )称为该信号的周期。称为该信号的周期。, 2, 1, 0),(sin)2(sin)2sin()sin()(mmNkmkmkkkf（1 1）对于正弦序列（或余弦序列）（）对于正弦序列（或余弦序列）（）l当当2/为为整数整数，序列具有周期，且，序列具有周期，且N= 2/ ；l当当2/为为有理数有理数，序列具有周期，且，序列具有周期，且N=2M/ （M取使取使N为整数的最小整数）为整数的最小整数） ；l当当2/为为无理数无理数，序列不具有周期性，但其样值包，序列不具有周期性，但其样值包络线仍为正弦函数。络线仍为正弦函数。

18、数字角频率（或角频率）数字角频率（或角频率）如何判断一个信号是否具有周期性？如何判断一个信号是否具有周期性？（2 2）对于两个信号之和（）对于两个信号之和（）l当两个连续信号周期当两个连续信号周期T1、T2之比为之比为有理数有理数时，其和信时，其和信号为周期信号，且等于号为周期信号，且等于T1和和T2的最小公倍数的最小公倍数;l两个离散周期序列之和一定是周期序列，其周期等于两个离散周期序列之和一定是周期序列，其周期等于两个序列周期的最小公倍数。两个序列周期的最小公倍数。如何判断一个信号是否具有周期性？如何判断一个信号是否具有周期性？两个连续周期信号之和不一定是周期信号！两个连续周期信号之和不一

19、定是周期信号！例例1 1 判断下列序列是否为周期序列，若是确定判断下列序列是否为周期序列，若是确定其周期。其周期。 解：解：（1 1）)351cos()()1265cos()()67sin()(321kkfkkfkkf（1）（2）（3）14722为周期序列，周期为为周期序列，周期为1414。（2）MN5125622为周期序列，周期为为周期序列，周期为1212。（3）不是周期序列。不是周期序列。10522例例2 2 判断下列信号是否为周期信号，若是确判断下列信号是否为周期信号，若是确定其周期。定其周期。 解：解：12( )sin(2 )cos(3 )( )cos(2 )sin()f tttftt

20、t（1）（2）（1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为是周期信号，其角频率和周期分别为1= 2 rad/s ， T1= 2/1= s；cos3t是周期信号，其角频率和周期分别为是周期信号，其角频率和周期分别为2= 3 rad/s ，T2= 2/2= (2/3) s；由于；由于T1/T2= 3/2为有理数，故为有理数，故f1(t)为为周期信号，其周期为周期信号，其周期为T1和和T2的最小公倍数的最小公倍数2。（2） cos2t 和和sint的周期分别为的周期分别为T1= s，T2=2 s ，由于，由于T1/T2为为无理数，故无理数，故f2(t)为非周期信号。为非周期信号。例例3 3 判断

21、下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。（1）sin(3k/4) 和和cos(0.5k)的数字角频率分别为的数字角频率分别为 1 = 3/4 rad， 2 = 0.5 rad，由于，由于2/ 1 = 8/3， 2/ 2 = 4为有理数，故它们为有理数，故它们的周期分别为的周期分别为N1 = 8 ， N2 = 4，故，故f1(k) 为周期序列，其周期为为周期序列，其周期为N1和和N2的最小公倍数的最小公倍数8。 kkkf2cos43sin1（1）（2） kkf2sin2解：解：（2）sin(2k) 的数字角频率为的数字角频率为 1 = 2 rad；

22、由于；由于2/ 1 = 为无理为无理数，故数，故f2(k) = sin(2k)为非周期序列为非周期序列 。由上例可看出由上例可看出：连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。：连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。三、实信号和复信号三、实信号和复信号 物理可实现的信号常常是时间物理可实现的信号常常是时间t 或或k的实函数，的实函数，其在各时刻的函数或序列值为实数，如单边指数信其在各时刻的函数或序列值为实数，如单边指数信号、正弦信号等，统称它们为号、正弦信号等，统称它们为实信号实信号。 函数或序列值为复数的信号称为函数或序列值为复数的信号称为复信号复信号，最，最常

23、用的是复指数信号。常用的是复指数信号。重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。实指数信号实指数信号( )etf tK单边指数信号单边指数信号通常把通常把 称为指数信号的称为指数信号的时间常数时间常数，记作，记作 , ,代表信代表信号衰减速度，具有时间的量纲。号衰减速度，具有时间的量纲。1l 指数衰减指数衰减, ,0l 指数增长指数增长0l 直流直流( (常数常数) ), ,000 K00 ftt 00e0ttf tt两对关系式（两对关系式（）cos()sin()cos()sin()j tj tetjtetjt)(21)cos()(21)sin

24、(tjtjtjtjeeteejt欧拉欧拉公式公式推出推出公式公式复指数信号复指数信号 sj为复数，称为复频率, 均为实常数( )e ()stf tKt 1/s rad/s的量纲为，的量纲为( )e e e e cossinjtstjtf tKKKtjtjKKK e可为复数，也可为实数，可表示为 =复指数信号实部和虚部的波形复指数信号实部和虚部的波形 0)( ; 0)( ; 0)(cbaottoot(a)(b)(c)衰减指数信号升指数信号直流 0 , 0 0 , 0 0 , 0振荡衰减增幅等幅 0 , 0 0 , 0 0 , 0四、能量信号和功率信号（四、能量信号和功率信号（）（1）信号）信号f

25、 (t)的能量的能量E 将信号将信号f (t)施加于施加于1电阻上，它所消耗瞬时功率电阻上，它所消耗瞬时功率为为 ，在区间，在区间(a , a)的能量和平均功率定义为的能量和平均功率定义为2| )(|tf（2）信号的平均功率）信号的平均功率P2221lim|( )|TTTPf tdtTdttfEaaadef2)(lim若信号若信号f (t)的能量有界，即的能量有界，即E ，则称其为能，则称其为能量有限信号，简称量有限信号，简称能量信号能量信号，此时，此时P = 0。有限时间范围有定义，取值又是有限值的信号有限时间范围有定义，取值又是有限值的信号是能量信号，一般的非周期信号是能量信号。是能量信号

26、，一般的非周期信号是能量信号。周期信号是功率信号周期信号是功率信号 。若信号若信号f (t)的功率有界，即的功率有界，即P 0 向右移位向右移位f(t-1)t0-1-2121向左移位向左移位b1 原信号被压缩原信号被压缩0-12121f(2t)t原信号被扩展原信号被扩展0|a|10-1-212241()2ftt尺度变换尺度变换即将原信号在时间轴上进行压即将原信号在时间轴上进行压缩或扩展。缩或扩展。( (其中其中a为实常数为实常数) )()(atfty0-1212f(t)t注注：离散信号通常不作展缩运算，因：离散信号通常不作展缩运算，因为它常常会丢失原信号的部分信息。为它常常会丢失原信号的部分信

27、息。例如：例如：42f(2k)k01-1f(k)k4230 1 2-1-2f(0.5k)k4230 2 4-2-4压缩压缩扩展扩展例例1 已知已知f (t)波形，求波形，求)(),(00ttfttf解：解：方法一、先反转后平移方法一、先反转后平移2 0 1 t1)(tf)( tf -1 0 2 t1)()()(00ttfttftftttt00021)(0ttf01右移方法二、先平移后反转方法二、先平移后反转( (注意：是对注意：是对t t 的变换！的变换！) )2 0 1 t1)(tf)(0ttf1 012000ttttttt210001 0)(0ttf左移左移右移右移反转反转1tttt210

28、00)(0ttftttt120001)(0ttf例例2 信号信号f (t)的波形如图所示。的波形如图所示。 画出信号画出信号f (-2t4)的波形。（的波形。（） t0 1 2 3 4 ) 42(tf2 t0 2 4 6 8 ) 4( tf2 t-4 -2 2 4)( tf 20? t-4 -2 2 4 )(tf20tof ( t )1- -22已知已知f (t)，画出，画出 f ( 4 2t)。 三种运算的次序可任意。但一定要注意始终对三种运算的次序可任意。但一定要注意始终对时间时间 t t 进行！进行！f (t -4-4)426to1压缩，得压缩，得f (2t 4)反转，得反转，得f (

29、2t 4)- -1- -3f (- -2t -4-4)to1右移右移4，得，得f (t 4)f (2t -4-4)213to1解：解：（1 1）时移）时移 例例3 已知已知f (5-2t)的波形如图所示，试画出的波形如图所示，试画出f (t)的波形。的波形。t2325)25(tf03t021)2(tf 152: ( )(2 )( 2 )(5 2 )5525 222: (5 2 )( 2 )(2 )( )f tftftftttftftftf t 压缩反转平移左移反转扩展分析（）右移求解过程（2）反转：）反转：f (-2t)中以中以-t代替代替t，可求得，可求得 f (2t)以以t0的纵轴为中心线

30、对褶的纵轴为中心线对褶由由f (2t) f (2t)反转反转 0 1 t f(2t)21（3）比例：以）比例：以 代替代替f (2t)中的中的t，所得的，所得的f (t)波形将是波形将是f (2t)波形在时间轴上扩展两倍。波形在时间轴上扩展两倍。t211 0 1 2 t)(tf由由f (2t) f (t) 扩展扩展已知已知f ( 4 2t) ，画出，画出 f (t) 。 - -1- -3f (- -2t - -4)to1反转，得反转，得f (2t 4)f (2t - -4)213to1展开，得展开，得f (t 4)to1 1f (t - -4)246左移左移4，得，得f (t)tof ( t

31、)1- -221.4 阶跃函数和冲激函数 阶跃函数阶跃函数和和冲激函数冲激函数不同于普通的函数，称不同于普通的函数，称为为奇异函数奇异函数。在信号与系统理论等许多学科中引入奇异函数在信号与系统理论等许多学科中引入奇异函数后，不仅使一些分析方法更加完美、灵活，而后，不仅使一些分析方法更加完美、灵活，而且更为简洁。且更为简洁。研究奇异函数要用广义函数的理论，这里将研究奇异函数要用广义函数的理论，这里将直观地引出阶跃函数和冲激函数。直观地引出阶跃函数和冲激函数。本节的本节的重点重点是：冲激函数和阶跃函数的性质是：冲激函数和阶跃函数的性质一、阶跃函数一、阶跃函数下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数

32、。下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。选定一个函数选定一个函数n(t)如图所示。如图所示。 ton1n11n21n to1 (t)0, 10,210, 0)(lim)(deftttttnn1、阶跃函数的定义、阶跃函数的定义（）2、阶跃函数的性质、阶跃函数的性质（）00000()1()()21()tttttttt0,01( ),021,0ttttto1 (t)0t01(t-t0)t（1）可以方便地表示某些信号）可以方便地表示某些信号 f (t)o2t12-1( )2 ( )3 (1)(2)f tttt011t(1)t031t3 ( 1)tt0-33 (1)t( )2 ( )3 (1)(2)

33、f ttttt0-31221f (t)o2t12-1(a)(b)f (t)f(t) (t)oottot(c)f(t) (t- -t1)- - (t- -t2)t1t2（2）用阶跃函数表示信号的作用区间）用阶跃函数表示信号的作用区间 （3）积分）积分 111212( ) ( )( )0( ) ()( )( ) ()()( )f ttf ttf tttf tttf tttttf tttt ( )( )( )( )( )( )ttttx dxxdxxxttxx dxtt二、冲激函数二、冲激函数 单位冲激函数单位冲激函数是个奇异函数，它是强度极大，是个奇异函数，它是强度极大，作用时间极短一种物理量的理

34、想化模型。作用时间极短一种物理量的理想化模型。1、冲激函数的定义、冲激函数的定义（）t=0+1VC=1F-( ) tA0)0 (Cut=0某种物理现象的近似某种物理现象的近似to(1) (t)也可采用下列直观定义：对也可采用下列直观定义：对n(t)求求导得到如图所示的矩形脉冲导得到如图所示的矩形脉冲pn(t) 。 topn(t)n1n12n)(lim)(deftptnn高度无穷大，宽度无穷小，面高度无穷大，宽度无穷小，面积为积为1的对称窄脉冲。的对称窄脉冲。它由如下特殊的方式定义（由狄拉克最早提出）它由如下特殊的方式定义（由狄拉克最早提出） ( )0,0( )1,0ttt dttton1n11

35、n212、冲激函数与阶跃函数关系、冲激函数与阶跃函数关系tttd)(d)(to1 (t)to(1) (t)ttd)()(ton1n11n21topn(t)n1n12nnntttpnnd)(d)(tof (t)21- -1f(t) = 2(t +1)-2(t -1)f(t) = 2(t +1)-2(t -1)求导求导1- -1otf (t)(2)(- -2)可见，引入冲激函数之后，间断点的导数也存在。如可见，引入冲激函数之后，间断点的导数也存在。如(1)与普通函数与普通函数 f(t) 的乘积的乘积取样性质取样性质若若f(t)在在 t = 0 、 t = a处存在，则处存在，则 )0(d)()(f

36、tttf)(d)()(aftattf( ) ( )(0) ( ),( ) ()( ) ()f ttftf ttaf ata3、冲激函数的性质、冲激函数的性质（）()( )tt( ) ()( ),baf ttc dtf cacb)(22)()4sin()()4sin(tttt22d)()4sin(ttt?d) 1()4sin(03ttt?d)()4sin(91ttt?d)(211t?d)() 1(12t022其它, 011,2tt(t)(e2)()(e2)(e)(edd2222tttttttttt(2)冲激函数的导数冲激函数的导数(t) （也称冲激偶）和积分（也称冲激偶）和积分 f(t)(t)

37、= f(0)(t) f (0) (t) 证明：证明： f(t)(t) = f(t)(t) + f (t) (t) f(t)(t) = f(t)(t) f (t) (t) = f(0)(t) f (0) (t) (t)是在是在t=0的邻域内，由一对位置上无限接近，的邻域内，由一对位置上无限接近，强度均趋于无限大的正、负冲激函数组成的。强度均趋于无限大的正、负冲激函数组成的。 ot(1)( 1) (t)(t)的定义：的定义：( ) ( )d(0)t f ttf (n)(t)的定义：的定义：)0() 1(d)()()()(nnnfttft4)2(2)2(ddd)( )2(0022tttttttt冲激

38、函数的积分：冲激函数的积分：( )( )ttx dx( )( )ttx dx0011() ( )( )( ) ()( )ttf t dtf tf ttt dtf t(3)移位性质移位性质则有：则有： (t)表示在表示在t = 0处的冲激，则在处的冲激，则在t = t0及及t = t1处的冲激可表示为处的冲激可表示为(t-t0) 和和(t-t1)0)(tt(1)0)(0ttt0t(1)0k(t-t0)t0t(k)(4)尺度变换尺度变换)(1|1)()()(taaatnnn证明见教材证明见教材P21推论推论: :(1)(|1)(taat)(|1)(00attatat(2t) = 0.5(t) )(

39、) 1()()()(ttnnn(2)当当a = 1时时当当n为偶数时为偶数时(n)(t) 为偶函数，如为偶函数，如(t)、(2) (t)当当n为奇数时为奇数时(n)(t)为奇函数，如为奇函数，如(1) (t)、(3) (t)已知已知f(t)，画出，画出g(t) = f (t)和和 g(2t) 求导，得求导，得g(t) o2tf (t)-24(4)o2tg(t) = f (t)-2-1压缩，得压缩，得g(2t) (2)o1tg(2t)-1-1(5)复合函数形式的冲激函数复合函数形式的冲激函数 实际中有时会遇到形如实际中有时会遇到形如f(t)的冲激函数，的冲激函数，其中其中f(t)是普通函数。并且

40、是普通函数。并且f(t) = 0有有n个互不相等个互不相等的实根的实根 ti ( i=1，2，n) 一般地，一般地，niiitttftf1)()( 1)(这表明，这表明，f(t)是位于各是位于各ti处，强度为处，强度为 的的n个冲激个冲激函数构成的冲激函数序列。函数构成的冲激函数序列。 )( 1itf)21(41)21(41) 14(2ttt注意：如果注意：如果f(t)=0有重根，有重根，f(t)无意义。无意义。 三、序列三、序列(k)和和(k)这两个序列是普通序列。这两个序列是普通序列。（1）单位）单位(样值样值)序列序列(k)的定义的定义0, 00, 1)(defkkko11-1k (k)

41、取样性质：取样性质： f(k)(k) = f(0)(k)0()()(fkkfkf(k)(k k0) = f(k0)(k k0) 例例?)(kk?)()5(kkk?)(iik（2）单位阶跃序列）单位阶跃序列(k)的定义的定义0, 00, 1)(defkkko11-1k (k)23（3）(k)与与(k)的关系的关系(k) = (k) (k 1) kiik)()(或或0)()(jjkk(k) = (k)+ (k 1)+四、其他常用信号四、其他常用信号振幅：振幅：K 周期：周期： 频率：频率：f 角频率：角频率： 初相：初相： 21Tf2 f( )cos()f tKt ( (一一) ) 正弦信号正弦信

42、号抽样函数抽样函数sin( )atStt （二）（二）特点：特点：(1) 0( )1atytS t 关关于于 的的偶偶函函数数，因因此此关关于于 轴轴对对称称时时，最最大大(2) ()( )0atKKSt 为为整整数数 ， 振荡衰减趋近振荡衰减趋近0 ,( )atS t(3)t tSa123O ( )aS t dt(4) 与与t 轴包围的面积轴包围的面积(5) 函数的主要能量集中在函数的主要能量集中在-,区间，把区间，把 -,称为第一对零点。称为第一对零点。 tO12 2 tf tG其他函数只要用门函数处理其他函数只要用门函数处理( (乘以门函数乘以门函数) )，就只剩下门内的部分。就只剩下门

43、内的部分。 22Gttt 门函数：也称窗函数（门函数：也称窗函数（）（三）（三）符号函数符号函数：(Signum)（） 10sgn( )1 0ttt sgn( )()( )2 ( )1tttt 1( )sgn( )12tt tO tsgn（四）（四）作业：作业：P33P351.2 (3) (4) 1.3 (b) 1.4 (a) (b) 1.5 (1) (3) (5) 1.6 (2) (4) (6)1.10 (1) (3) (6) (7)1.5 系统的描述 描述描述连续连续动态系统的数学模型是动态系统的数学模型是微分方程微分方程，描，描述述离散离散动态系统的数学模型是动态系统的数学模型是差分方程

44、差分方程。系统分析的系统分析的基本思想基本思想：1. 根据工程实际应用，对系统建立数学模型。根据工程实际应用，对系统建立数学模型。通常表现为描述通常表现为描述输入输入输出输出关系的方程。关系的方程。2. 建立求解这些数学模型的方法。建立求解这些数学模型的方法。一、连续系统一、连续系统1. 解析描述解析描述建立数学模型（建立数学模型（） 图示图示RLC电路，以电路，以uS(t)作激励，以作激励，以uC(t)作为响作为响应，由应，由KVL和和VCR列方程，并整理得列方程，并整理得uS(t)uC(t)LRC22dddd(0 )(0 )CCCSCCuuLCRCuuttuu，二阶常系数线性微分方程。二阶

45、常系数线性微分方程。)()(d)(dd)(d01222tftyattyattya抽去具有的物理含义，微分方程写成抽去具有的物理含义，微分方程写成根据基尔霍夫定律和元件的电压、电流特性关根据基尔霍夫定律和元件的电压、电流特性关系来建立数学模型系来建立数学模型(1) :( )0KCLi t (3) VCR: ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) RRLLccutRitditutLdtdu ti tCdt (2) :( )0KVLu t 这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统。系统。MxCkf (t)其中，其中，k为弹簧常数，为弹簧常数，M为物体质

46、为物体质量，量，C为减振液体的阻尼系数，为减振液体的阻尼系数，x为物体偏离其平衡位置的位移，为物体偏离其平衡位置的位移，f(t)为初始外力。其运动方程为为初始外力。其运动方程为)()(d)(dd)(d22tftkxttxCttxM 能用相同方程描述的系统称能用相同方程描述的系统称相似系统相似系统。2. 系统的框图描述系统的框图描述上述方程从上述方程从数学角度数学角度来说代表了某些运算关系：来说代表了某些运算关系：相乘、微分、相加运算相乘、微分、相加运算。将这些基本运算用一些理。将这些基本运算用一些理想部件符号表示出来并相互联接表征上述方程的运想部件符号表示出来并相互联接表征上述方程的运算关系，

47、这样画出的图称为算关系，这样画出的图称为模拟框图模拟框图，简称，简称框图框图。基本部件单元基本部件单元有：有： 积分器：积分器：f (t)txxfd)(加法器：加法器：f 1(t)f 2(t)f 1(t) - f 2(t)数乘器：数乘器：af (t)或aaf (t)系统模拟系统模拟：实际系统实际系统方程方程模拟框图模拟框图 实验室实现（模拟系统）实验室实现（模拟系统）指导实际系统设计指导实际系统设计例例1：已知：已知y”(t) + ay(t)+ by(t) = f(t)，画框图。，画框图。解解：将方程写为：将方程写为 y”(t) = f(t) ay(t) by(t)y(t)y(t)y(t)例例

48、2：已知：已知y”(t) + 3y(t)+ 2y(t) = 4f(t) + f(t)，画框图。，画框图。解解：该方程含：该方程含f(t)的导数，可引入辅助函数画出框图。的导数，可引入辅助函数画出框图。设辅助函数设辅助函数x(t)满足满足 x”(t) + 3x(t)+ 2x(t) = f(t) 可推导出可推导出 y(t) = 4x(t) + x(t)，它满足原方程。，它满足原方程。x(t)x(t)x(t)y(t)4以上模拟图未计初始条件，故是零状态响应。以上模拟图未计初始条件，故是零状态响应。 一阶微分方程的模拟一阶微分方程的模拟y(t)0( )( )( )y ta y tf t0( )( )(

49、 )y tf ta y t0a( )y t( )f t由一、二阶系统的模拟可以推出由一、二阶系统的模拟可以推出n阶系统的模拟。阶系统的模拟。 二阶微分方程的模拟（二阶微分方程的模拟（）y(t)y”(t)10( )( )( )( )y ta y ta y tf t10( )( )( )( )y tf ta y ta y t( )y t1a2a( )f tx”(t)x(t)x(t) 含有输入函数导数的二阶系统的模拟含有输入函数导数的二阶系统的模拟（）1010( )( )( )( )( )y ta y ta y tb f tb f t引入一辅助函数引入一辅助函数x(t)，使，使x(t)满足方程满足方

50、程10( )( )( )( )x ta x ta x tf t则则y(t)满足满足10( )( )( )y tb x tb x t（1）（2）1a 0a1b0b( )y t( )f t例例3：已知框图，写出系统的微分方程。：已知框图，写出系统的微分方程。y(t)3423f (t)设辅助变量设辅助变量x(t)如图如图x(t)x(t)x”(t)x”(t) = f(t) 2x(t) 3x(t) ,即即 x”(t) + 2x(t) + 3x(t) = f(t) y(t) = 4x(t)+ 3x(t)根据前面，逆过程，得根据前面，逆过程，得y”(t) + 2y(t) + 3y(t) = 4f(t)+ 3

51、f(t)二、离散系统二、离散系统1. 解析描述解析描述建立差分方程建立差分方程例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为元元/月，求第月，求第k个月初存折上的款数。个月初存折上的款数。 解：设第解：设第k个月初的款数为个月初的款数为y(k)，这个月初的存款为，这个月初的存款为f(k)，上个月初的款数为，上个月初的款数为y(k-1)，利息为，利息为y(k-1)，则，则 y(k)=y(k-1)+y(k-1)+f(k)即即 y(k)-(1+)y(k-1) = f(k)若设开始存款月为若设开始存款月为k=0，则有，则有y(0)= f(0)。 上述方程就称为

52、上述方程就称为y(k)与与f(k)之间所满足的差分之间所满足的差分方程。所谓方程。所谓差分方程差分方程是指由未知输出序列项与输是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。未知序列项变量入序列项构成的方程。未知序列项变量最高序号与最最高序号与最低序号的差数低序号的差数，称为，称为差分方程的阶数差分方程的阶数。由由n阶差分方程描述的系统称为阶差分方程描述的系统称为n阶系统。阶系统。描述描述LTI系统的是系统的是线性常系数差分方程线性常系数差分方程。2. 差分方程的模拟框图差分方程的模拟框图基本部件单元基本部件单元有：有： 数乘器，加法器，迟延单元（移位器）数乘器，加法器，迟延单元（移位器）f (k

53、)D Df (k-1)例：已知框图，写出系统的差分方程。例：已知框图，写出系统的差分方程。y(k)D DD D5423f (k)解解：设辅助变量设辅助变量x(k)如图如图x(k)x(k-1)x(k-2)即即 x(k) +2x(k-1) +3x(k-2) = f(k) y(k) = 4x(k-1) + 5x(k-2) 消去消去x(k) ，得，得 y(k) +2y(k-1) +3y(k-2) = 4f(k-1) + 5f(k-2) x(k)= f(k) 2x(k-1) 3x(k-2)根据框图求解微分或差分方程的一般根据框图求解微分或差分方程的一般步骤步骤：（1）选中间变量）选中间变量x() 。 对

54、于对于连续连续系统，设其系统，设其最右端最右端积分器的积分器的输出输出x(t); 对于对于离散离散系统，设其系统，设其最左端最左端延迟单元的延迟单元的输入输入为为x(k)；（2）写出各加法器输出信号的方程；）写出各加法器输出信号的方程；（3）消去中间变量）消去中间变量x() 。y(k)D DD D5423f (k)x(k)x(k-1)x(k-2)y(t)3423f (t)x(t)x(t)x”(t)连续系连续系统统离散系统离散系统1.6 系统的特性和分析方法一、系统的定义一、系统的定义 若干相互作用、相互联系的事物按一定规律组若干相互作用、相互联系的事物按一定规律组成具有特定功能的整体称为系统。

55、成具有特定功能的整体称为系统。 电系统是电子元器件的集合体。电路侧重于局电系统是电子元器件的集合体。电路侧重于局部，系统侧重于整体。电路、系统两词通用。部，系统侧重于整体。电路、系统两词通用。二、系统的分类及性质（二、系统的分类及性质（） 可以从多种角度来观察、分析研究系统的特可以从多种角度来观察、分析研究系统的特征，提出对系统进行分类的方法。下面讨论几种征，提出对系统进行分类的方法。下面讨论几种常用的分类法。常用的分类法。1. 连续系统与离散系统连续系统与离散系统 若系统的输入信号是连续信号，系统的输出信若系统的输入信号是连续信号，系统的输出信号也是连续信号，则称该系统为号也是连续信号，则称

56、该系统为连续时间系统连续时间系统，简，简称为称为连续系统连续系统。 若系统的输入信号和输出信号均是离散信号，若系统的输入信号和输出信号均是离散信号，则称该系统为则称该系统为离散时间系统离散时间系统，简称为，简称为离散系统离散系统。 2. 动态系统与即时系统动态系统与即时系统 若系统在任一时刻的响应不仅与若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励该时刻的激励有有关，而且与它关，而且与它过去的历史状况过去的历史状况有关，则称为有关，则称为动态系动态系统统 或或记忆系统记忆系统。含有记忆元件。含有记忆元件( (电容、电感电容、电感等等) )的系的系统是动态系统。否则称统是动态系统。否则称即时系统即时系

57、统或或无记忆系统无记忆系统。3. 单输入单输出系统与多输入多输出系统单输入单输出系统与多输入多输出系统按输入、输出的数目分为按输入、输出的数目分为单输入单输出系统与多输入多输出系统单输入单输出系统与多输入多输出系统。4. 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统满足满足线性性质线性性质的系统称为的系统称为线性系统线性系统。（1）线性性质）线性性质系统的激励系统的激励f ()所引起的响应所引起的响应y() 简记为简记为 y() = T f ()线性性质包括两方面：线性性质包括两方面：齐次性齐次性和和可加性可加性。 若系统的激励若系统的激励f ()增大增大a倍时，其响应倍时，其响应y()也增大也增

58、大a倍，倍，即即 Taf () = aT f ()，则称该系统是，则称该系统是齐次的齐次的。 若系统对于激励若系统对于激励f1()与与f2()之和的响应等于各个激励之和的响应等于各个激励所引起的响应之和，即所引起的响应之和，即 T f1()+ f2() = T f1()+T f2() 则称该系统是则称该系统是可加的可加的。若系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是若系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是线性的线性的，即即 Ta f1() + bf2() = aT f1() + bT f2() （2）动态系统是线性系统的条件）动态系统是线性系统的条件（） 动态系统不仅与动态系统不仅与激励激励 f

59、() 有关，而且与系统的有关，而且与系统的初始状态初始状态x(0)有关。有关。 初始状态也称初始状态也称“内部激励内部激励”。完全响应可写为完全响应可写为 y () = T f () , x(0)零状态响应为零状态响应为 yf() = T f () , 0零输入响应为零输入响应为 yx() = T 0，x(0)当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：零状态线性零状态线性： 零状态响应零状态响应yf()与激励与激励f()之间满足线性特性。之间满足线性特性。 Taf () , 0=aT f () , 0 （齐次性）（齐次性） Tf1(t) + f2

60、(t) , 0 = T f1 () , 0 + T f2 () , 0 （可加性）（可加性）Taf1(t) +bf2(t) , 0 = aT f1 () , 0 +bT f2 () , 0可分解性可分解性： 响应响应y( () )可以分解为零状态响应可以分解为零状态响应yf()和零输入响和零输入响应应yx()之和，之和， 即即 y () = yf() + yx() = T f () ,0+ T0,x(0)零输入线性零输入线性： 即零输入响应即零输入响应 yx() 与初始状态与初始状态 x(0-) 或或 x(0) 之间满之间满足线性特性。足线性特性。 T0,ax(0)= aT0,x(0) （齐次