数学物理方法第九章ppt课件

1、9.1 9.1 特殊函数的常微分方程特殊函数的常微分方程 园球形和园柱形是两种常见的边境，本章调查拉园球形和园柱形是两种常见的边境，本章调查拉普拉斯方程在球坐标系和坐标系中分别变量法所导致普拉斯方程在球坐标系和坐标系中分别变量法所导致的常微分方程以及相应的本征值问题。的常微分方程以及相应的本征值问题。一直角坐标系内的拉普拉斯方程一直角坐标系内的拉普拉斯方程222222()0uuxyz 正交曲线座标系中的拉普拉斯方程正交曲线座标系中的拉普拉斯方程球域内球域内Laplace方程的边值问题方程的边值问题222222222222220,( , , )xyzauuuxyzaxyzuf x y zcosc

2、oscos sinsinxryrzr坐标变换坐标变换0020ra222222200,111sin0,sinsin( , )( , , )( , ,2 ),r aruuurrrrrrufuu ru ru 有限值,有限值,隐含着的周期边值条隐含着的周期边值条件和球内约束条件件和球内约束条件直角坐标：直角坐标：222222xyz 柱坐标：柱坐标：22211()()zz 2222222111()(sin)sinsinrrrrrr 球坐标：球坐标：1 1球坐标系拉普拉斯方程的分别变量球坐标系拉普拉斯方程的分别变量22222221110()(sin)sinsinuuurrrrrr 令令( , , )( )

3、 ( , )u rR r Y 拉普拉斯算子：拉普拉斯算子：22222220()(sin)sinsinYRRYRYrrrrrr 22221111()(sin)()sinsinRYYrl lR rrYY 2221110(sin)()sinsinYYl lY 欧拉方式方程欧拉方式方程222210()d RdRrrl lRdrdr球函数方程球函数方程2rRYtrln1dRdR dtdR=,drdt drr dt1,22222d Rd RdR=drrdtdt对欧拉方式方程作变量代换对欧拉方式方程作变量代换1( )llDR rCrr22(1)0d RdRl lRdtdtddll Rdtdt10因式分解因式

4、分解解为：解为：式中：式中：C C和和D D为积分常数为积分常数. .球函数方程，令球函数方程，令( ) ( )Y 22210(sin)()sinsindddl lddd 22211dddl lddd sin(sin)()sin220dd 210sin(sin) ()sinddl ldd 自然的周期边境条件：自然的周期边境条件：2()( ) 20 1 2, , ,mm ( )cossinmmAmBm l-阶缔合勒让德方程阶缔合勒让德方程cosx 221sinsinsin()xxxxx 2222111 10()() ()()ddxxl lxmdxdx2221101() ()ddmxl ldxdx

5、xl-阶勒让德方程阶勒让德方程u 是轴对称的，对是轴对称的，对的转动不改动的转动不改动 u 。0m 2221210()()ddxxl ldxdx 220,sinsin(1)sin0ddl lmdd 有限值2221(1)2(1)01xmxyxyl lyxy有限值( )()()0,1,2,0,1,2,ml = y cos = Pcosl =Lm=L,l令令( , , )( ) ( ) ( )uzRZ z 22222220d RZ dRRZ dd ZZRddddz 222110()()uuuzz 220dd 222222d RdRd ZRR dZddz 2 2柱坐标系拉普拉斯方程的分别变量柱坐标系拉

6、普拉斯方程的分别变量2R Z ( )cossinmmAmBm20,1,2,mm 222211d RdRmZR dR dZ 0ZZ 2222d R1 dRm+(-)R= 0d d1.0 ZCDz01 2 3ln, , ,mmEFmRFEm 2.0 0 zzZCeDe x 2222110()d RdRmRx dxdxx3.xv cos()sin()ZCvzDvz2v 22221(1)0d RdRmRx dxdxx贝塞耳方程贝塞耳方程虚宗量贝塞耳方程虚宗量贝塞耳方程侧面的齐次边境条件侧面的齐次边境条件 的能够数值的能够数值上下低面的齐次边境条件上下低面的齐次边境条件v的能够数值的能够数值二动摇方程的

7、分别变量二动摇方程的分别变量20ttuau 令令( , )( ) ( )u r tT t v r20T va T v 20Tvva T22Tvkva T 220Ta k T20vk v 振动方程振动方程亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程三输运方程的分别变量三输运方程的分别变量20tuau 令令( , )( ) ( )u r tT t v r20T va T v 20Tvva T220Ta k T20vk v 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程增长或衰变的方程增长或衰变的方程四亥姆霍兹方程四亥姆霍兹方程1. 1. 球坐标球坐标22222222111()(sin)0sinsinvvvrk vrrrrr ( , , )

8、( ) ( , )v rR r Y 22222222()(sin)0sinsinYRRYRYrk RYrrrrr 22211(sin)(1)0sinsinYYl lY 222() (1)0ddRrk rl lRdrdrl 阶球贝塞耳方程阶球贝塞耳方程xkr22() (1)0ddRxxl lRdxdx球函数方程球函数方程1/21/23/221/21 (1)04xyxyxyxl lxy1/2( )( )R rxy x3/21/212Rxyxy 21/23/21/21/23/21124x Rxyxyxyxyxy 2221 () 02x yxyxly阶贝塞耳方程阶贝塞耳方程 12l22() (1)0d

9、dRxxl lRdxdx20,1,2,mm ( )cossinmmAmBmx22221()0d RdRmRdd 22221(1)0d RdRmRx dxdxxm阶贝塞耳方程阶贝塞耳方程 2. 2. 柱坐标柱坐标222211()()0vvvk vzz ( , , )( )( )( )vzRZ z 220dd 20ZZ 2222210()d RdRkRdd 齐次边境条件，本征值问题齐次边境条件，本征值问题22200k 分别变数结果分别变数结果拉普拉斯拉普拉斯方程方程方程方程球坐标系球坐标系柱坐标系柱坐标系( )xcos( )sinmm 11( )/llrR rr l- l-阶阶连带勒让德连带勒让德

10、方程方程cos( )sinmm ( )zzeZ ze 0 ( )R m-m-阶贝赛尔阶贝赛尔方程方程cos( )sinzZ zz 20 ( )R m-阶虚宗量贝赛阶虚宗量贝赛尔方程尔方程0 1 ( )Z zz01( )lnR ( )mmmR 0m0 u三类数学物理方程三类数学物理方程Helmholtz方程方程连带连带LegendreLegendre方程、方程、BesselBessel方程方程分别时间空间变量分别时间空间变量分别空间坐标变量分别空间坐标变量9.2 9.2 常点邻域的级数解法常点邻域的级数解法线性常微分方程在指定初始条件下的级数解法。线性常微分方程在指定初始条件下的级数解法。( )

11、 ( )0yp x yq x y0001(),()y xCy xC对于复变函数：对于复变函数：22( )( )0d wdwp zq z wdzdz0001()()w zCw zC一定义一定义方程的常点方程的常点 ： 和和 在其邻域解析。否那么为奇点。在其邻域解析。否那么为奇点。0z( )p z( )q z二常点邻域的级数解二常点邻域的级数解定理：定理：方程的常点方程的常点 的邻域的邻域 中中 和和 解析，那解析，那么在这个圆中存在独一的解析解么在这个圆中存在独一的解析解 满足初始条件满足初始条件0z( )p z( )q z0zzR( )w z0001(), ()w zCw zC由于解的独一性，

12、可将此解写为泰勒级数：由于解的独一性，可将此解写为泰勒级数：00( )()kkkw zazz解析函解析函数实际数实际这些线性二阶常微分方程经常不能用通常的解法解出，但这些线性二阶常微分方程经常不能用通常的解法解出，但可用幂级数解法解出可用幂级数解法解出所谓幂级数解法，就是在某个恣意点所谓幂级数解法，就是在某个恣意点Z0Z0的邻域上，把待求的邻域上，把待求的解表为系数待定的幂级数，代入方程以逐个确定系数的解表为系数待定的幂级数，代入方程以逐个确定系数幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，可借幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，可借助于解析函数的实际进展讨论助于解析函数的实际进展

13、讨论求得的解既然是级数，就有能否收敛以及收敛范围的问题求得的解既然是级数，就有能否收敛以及收敛范围的问题. . 虽然幂级数解法较为繁琐，但它可广泛运用于微分方程虽然幂级数解法较为繁琐，但它可广泛运用于微分方程的求解问题中的求解问题中几点阐明几点阐明三勒让德方程的级数解法三勒让德方程的级数解法2(1) 2(1)0 xyxyl ly222(1)011xl lyyyxx化为规范方式：化为规范方式：22( )1xp xx2(1)( )1l lq xx1x 是方程的奇点是方程的奇点在在 点的邻域：点的邻域：00 x 0()0p x0()(1)q xl l0( )kkky xa x11( )kkky xk

14、a x22( )(1)kkkyxk ka x1.1.级数解级数解代入方程代入方程221210(1)(1)2(1)0kkkkkkkkkxk ka xxka xl la x或或22210(1)(1)2(1)0kkkkkkkkkkkkk ka xk ka xka xl la x021132212126121210kkkkkkl laal laaa xl lakak kakkax () () ()()()()02113221212611210 () () ()()()()kkkkl laal laaa xl lk kakkax02120()l laa1131260()l laaa211210 ()()

15、()()kkl lk kakka21112121()()()()()()()()kkkk kl lklklaaakkkk 递推公式递推公式20(1)2l laa31(1)(2)6l laa系数的两系数的两个序列个序列211212312221 ! kklkllllkaak这样这样 l 阶阶 Legendre 方程的解是：方程的解是： 00112031;11,2!12.3!y xa yxa yxl lyxxllyxxx 21lim11 kkkRklkl 所以所以 l 阶阶Legendre的级数解在单位圆内收敛，在单位圆外的级数解在单位圆内收敛，在单位圆外发散。发散。GaussGauss判别法判别法

16、幂级数解的收敛半径幂级数解的收敛半径2. x=1解的收敛性解的收敛性 可以证明，当解可以证明，当解 是无穷级数时，不能够在两是无穷级数时，不能够在两点同时收敛。点同时收敛。0( )kkky xa x 假设解是多项式，即只需有限项，这样的解可以在这两点假设解是多项式，即只需有限项，这样的解可以在这两点同时收敛同时收敛2(1)(1)(2)(1)kkk kl laakk由系数的递推关系由系数的递推关系 可知：可知：当当l是偶数，那么偶次项的系数在是偶数，那么偶次项的系数在k=l以后为零。以后为零。当当l是奇数，那么奇次项的系数在是奇数，那么奇次项的系数在k=l以后为零。以后为零。3.3.自然边境条件

17、自然边境条件“解在解在x=1坚持有限是自然边境条件，勒让德方程变本坚持有限是自然边境条件，勒让德方程变本钱征值问题，本征函数为勒让德多项式，钱征值问题，本征函数为勒让德多项式，l(l+1)是本征值。是本征值。9.3 正那么奇点邻域上的级数解法和和22( )( )0d wdwp zq z wdzdz110( )()skkkw zazz一奇点邻域上的级数解一奇点邻域上的级数解 定理：假设定理：假设z0是方程是方程 的奇点，那么在的奇点，那么在p(z)和和q(z)都解析的环状区域都解析的环状区域0z-z0R内，方程的两个线性无内，方程的两个线性无关解是关解是220( )()skkkwzb zz或或2

18、2100( )( )ln()()skkkwzAw zzzbzz二正那么奇点邻域上的级数解二正那么奇点邻域上的级数解显然，把解代入方程时，会得到的是一组无穷多个未知数的联显然，把解代入方程时，会得到的是一组无穷多个未知数的联立方程。但在一定条件下，两个线性独立解具有有限个负幂项，立方程。但在一定条件下，两个线性独立解具有有限个负幂项，这样的解称为正那么解。这样的解称为正那么解。正那么奇点正那么奇点22( )( )0d wdwp zq z wdzdz定理：方程定理：方程 在它的奇点在它的奇点z0的邻域的邻域0z-z0R内有两个正那么解的充要条件是：内有两个正那么解的充要条件是： (z-z0)p(z

19、)和和(z-z0)2q(z)在在z-z0 1 或或 n 2令最低幂项合并后的系数为零，得不到令最低幂项合并后的系数为零，得不到s s得二次代数方程得二次代数方程三贝塞尔方程三贝塞尔方程(1) v阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程在在x0=0的邻域上求解的邻域上求解222()0 x yxyxvyv整数或半奇数整数或半奇数221( )( )1p xxvq xx 2(1)0s ssv220sv12svsv 12012( )ssss kky xa xa xa xa x12(1)0s sspq12012( )ssss kky xa xa xa xa xsx 项1sx项2sx项2x y xy 2x y 2v y0(

20、1)s sa1(1)ssa2(2)(1)ssa0sa()(1)kskskas kx项20v a21v a22v a2kv a1(1)sa2(2)sa0a2ka()ksk a22022122200(1)0(2)0sv asv asv aa222()0kkskvaa12( )( )( )vvy xC JxC Jx10a1sv201( )( 1)( )! (1) 2kvkvkxJxkvk2sv 201( )( 1)()! (1) 2kvkvkxJxkvk (2) (2) 半奇数阶贝塞尔方程半奇数阶贝塞尔方程在在x0=0的邻域上求解的邻域上求解2221() 02x yxyxly10,1/2ls1221

21、0212( )( 1)( )sin32! ()2kkkxJxxxkk 21/2s 211/22( )( )lnkkkyxAJxxb x122( )cosJxxx 120,Ab任意12b任意第一解第一解( )( )0wp z wq z w根据常微分方程实际，对于一个二阶线性常微分方程根据常微分方程实际，对于一个二阶线性常微分方程假设曾经求出一个解假设曾经求出一个解 ，那么第二个解可用积分求出，那么第二个解可用积分求出朗斯基行列式法朗斯基行列式法1( )w z111222( )( )0( )( )0wp z wq z wwp z wq z w12222111()()0w wpwqww wpwqw1

22、2211221 1()0w ww wp w ww w121221 112( )( )( )( )( )w zwzzw ww wwzwz( )( )0dzpzdz21221 122111( )()ww ww wdzdz www2121( ) zwwdzw( )0( )p z dzze ( )( )0wp z wq z w什么情况下第二解能够含对数项？什么情况下第二解能够含对数项？12(1)0s sspq假设规定方程在正那么奇点处的两个假设规定方程在正那么奇点处的两个目的目的12ReRess那么那么121212当整数时， 第二解一定不含对数项当 = 时， 第二解一定含对数项当=正整数时， 第二解可

23、能含对数项sss sss12210212( )( 1)()sin32! ()2kkkxJxxxkk 1112222200( 1)( 1)1( )( )11122!(21)(2)3 1!()()( )222 1112kkkkkkkxxkkkk kk 221002( 1)2( 1)(21)!(21)!kkkkkkxxxkxk 211/ 22()() lnkkkyxAJxxb x2221( ) 02x yxyxy代入方程代入方程2211111122222221/21/21/21/21()ln241(1)04kkkkkkkkkkkkA x JxJxJxAxJAJAJk kb xkb xb xb x22

24、11/21/2212()04 kkkkkkAxJkb xb x12项x122 AxJ21/21()4kkkkb x21/2kkkb x1/20b2A 12项x1/20b32项x23/231( )24b1/2b52项x1/2b25/251( )24b120,Ab任意12b任意第一解第一解l+1/2 阶贝塞尔方程通解阶贝塞尔方程通解2221() 02x yxyxly11/22(1/2)( )( )llC JxC Jx(3) (3) 整数阶贝塞尔方程整数阶贝塞尔方程( )cos( )( )sinvvvJxvJxNxv 2220 x yxyxmy12( )( )mmC JxC Nx通解通解2( )li

25、m( )(ln)( )2mvmvmxNxNxC Jx 201( )( 1)()!()! 2kmkmkxJxk mk( )( 1)( ) mmmJxJx四虚宗量贝塞尔方程四虚宗量贝塞尔方程(1) v(1) v阶虚宗量贝塞尔方程阶虚宗量贝塞尔方程在在x0=0的邻域上求解的邻域上求解222()0 x yxyxvyv整数或半奇数整数或半奇数222()0ixyyvy v阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程201( )()( )! (1) 2vvkvvkxIxi Jixkvk201( )()( )! (1) 2vvkvvkxIxi Jixkvk 整数阶贝塞尔方程在整数阶贝塞尔方程在x=0处处的自然边境条件的自然边境条

26、件12( )( )mmC JxC Nx0 x 01,0mJJmN 246810-0.4-0.60.81正项级数，除正项级数，除x=0外恒不为零外恒不为零9.4 9.4 施图姆刘维尔本征值问题施图姆刘维尔本征值问题 一定的边境条件限制了常微分方程的解：仅当方程的参数取一定的边境条件限制了常微分方程的解：仅当方程的参数取特定的值时，满足边境条件的解才存在。参数的特定值叫本征值，特定的值时，满足边境条件的解才存在。参数的特定值叫本征值，解叫本征函数，求解的问题就叫本征值问题。解叫本征函数，求解的问题就叫本征值问题。一施图姆刘维尔本征值问题一施图姆刘维尔本征值问题施图姆刘维尔型方程：

27、施图姆刘维尔型方程： ( )( )( )0()ddyk xq x yx yaxbdxdx化为施图姆刘化为施图姆刘维尔型方程：维尔型方程：( )( )( ) ( ) ( )0a x dxa x dxa x dxddyeb x eyc x eydxdx 2( )( )( )( )2( )( )( )0a x dxa x dxa x dxa x dxd ydyeea xb x eyc x eydxdx 二阶常微分方程最普通的方式：二阶常微分方程最普通的方式：22( )( )( )0d ydya xb x yc x ydxdx 1振动方程：振动方程：0(0)0, ( )0yyyy l 222,sinn

28、n xyCll ( )( )( )0()ddyk xq x yx yaxbdxdx0,( ), ( )0,( )ablk xA q xxA A 为一常数。为一常数。221,1,( )1, ( )0,( )1abk xxq xx 勒让德方程：勒让德方程：2(1)0( 1)(1)- 有限， 有限ddyxydxdxyy 32221,1,( )1, ( ), ( )11 mabk xxq xxx 连带勒让德方程：连带勒让德方程：222(1)01( 1)(1)- 有限， 有限ddymxyydxdxxyy 瑞士数学家瑞士数学家J.C.F.Sturm,法国数学家法国数学家J.Liouville,183618

29、38年发表的研讨结果年发表的研讨结果522,( ), ( )0,( )xxabk xeq xxe 222/20, xxxddyeeydxdxxye的增长不快于埃尔米特方程：埃尔米特方程：规范方式规范方式 20yxyy 4200,( ), ( )/ , ( )abkqm 贝赛尔方程：贝赛尔方程：200(0)()0有限， ddymyyddyy 60,( ), ( )0, ( ) xxabk xxeq xxe /20(0), xxxddyxeeydxdxyxye有限， 的增长不快于拉盖尔方程：拉盖尔方程： (1) 0 xyx yy x222()0 x yxyxmy规范方式规范方式证明：证明：( )(

30、 )( )( )0()k x yk x yq x yx yaxb( )( )( )0( )( )k xq xxyyyk xk x 如端点如端点x=a是是k(x)的一级零点的一级零点1( )()1( )x ak xpxak x12(1)0s sspq220sq在在x=a成为无限大的解应该排除，这正是自然边境条件成为无限大的解应该排除，这正是自然边境条件如端点如端点x=a或或b是是k(x)的一级零点，那么在该端点存在自然边境的一级零点，那么在该端点存在自然边境条件条件( )( )q xx不高于一级极点不高于一级极点勒让德方程的自然边境条件：勒让德方程的自然边境条件：2(1)0( 1)(1)- 有限

31、， 有限ddyxydxdxyy 二本征值问题二本征值问题 如如 延续或最多以延续或最多以x=a 和和x=b为一阶极点，为一阶极点，那么存在无限多个本征值：那么存在无限多个本征值：( ),( ), ( )k x k x q x123 及无限多本征函数及无限多本征函数123( ),( ),( ),yxyxyx2. 一切本征值一切本征值0k 证：证： ( )( )( )kkkkdydk xq x yx ydxdx 22 ( )( )( )bbbkkkkkaaadyddxyk xdxq x ydxx ydxdx22 ( )( )( )kkkkkdydyk xq x yx ydxdx 222 ( )(

32、)()( )( )bbbbkkkakkkaaadydyk x ydxk xdxq x ydxx ydxdx ( ), ( ),( )0k x q xx 222( )( ( )( ( )( )()( )bbbkkkkkx akkx bkaaadydxx yk x y yk x y ydxk xdxq x ydx 第一类、第二类边境条件及自然边境条件决议右边一、二项为零第一类、第二类边境条件及自然边境条件决议右边一、二项为零第三类齐次边境条件：第三类齐次边境条件：()0kkx ayhy22()0kkx akkkx akx akx aky yk yhyykh ykhy()0kkx byhy22()0

33、kkx bkkkx bkx bkx bky yk yhyykh ykhy 所以所以2( )0bkkadxx y即即0k 3. 对应于不同的本征值的对应于不同的本征值的 本征函数带权本征函数带权 正交：正交：( )x 本征值与本征函数一一对应：本征值与本征函数一一对应：( )( )nnmmyxyx ( )( )( )0bnmax yx yx dx nm证：证：0nnnndkyqyydx 0mmmmdkyqyydx 0mnnmnnmdykyqy yy ydx 0nmmnmmndykyqy yy ydx ()0nmmnmnmnddykyykyy ydxdx ()()()0bbnmmnmnmnaadd

34、dx ykyykydx y y dxdxdx ()0bbnmmnmnmnaaddxky yky ydx y y dxdx ()()()0bnmmnx bnmmnx amnmnaky yky yky yky ydx y y dx第一、第二类齐次第一、第二类齐次或自然边境条件：或自然边境条件：()()0nmmnx bnmmnx aky yky yky yky y第三类齐次边境条件：第三类齐次边境条件：()0mmx byhy()0nnx byhy1()()()0nmmnx bnmmmnnx bky yky ykyyhykyyhyh同样：同样：()0nmmnx aky yky y()0bmnmnadx

35、 y y dx0bmnadx y y dx mn4. 本征函数族完备本征函数族完备0( )( )nnnf xf yxf(x) 具有延续一阶导数和分段延续二阶导数，且满足本征函具有延续一阶导数和分段延续二阶导数，且满足本征函数族所满足的边境条件。数族所满足的边境条件。绝对且一致收敛绝对且一致收敛三广义傅立叶级数三广义傅立叶级数复本征函数族复本征函数族 前边讨论的都是实变量的实值函数。普通地，本征函数还前边讨论的都是实变量的实值函数。普通地，本征函数还可以是实变量的复值函数，或者复变量的复值函数。可以是实变量的复值函数，或者复变量的复值函数。Hilbert 空间空间 把本征值问题的无穷多个本征函数

36、看作一个无把本征值问题的无穷多个本征函数看作一个无穷维函数空间的基，该空间中的任一个函数都可以穷维函数空间的基，该空间中的任一个函数都可以用这组基展开。换句话说，满足相应边境条件的恣用这组基展开。换句话说，满足相应边境条件的恣意函数都可以表示为该空间中的一个矢量。这个空意函数都可以表示为该空间中的一个矢量。这个空间又是一个内积空间，一切基矢量相互正交或相互间又是一个内积空间，一切基矢量相互正交或相互垂直。把一个函数用函数基展开，等价于把相应的垂直。把一个函数用函数基展开，等价于把相应的矢量在这个空间中投影，每一个基矢量上的投影分矢量在这个空间中投影，每一个基矢量上的投影分量即为该函数的广义量即为该函数的广义FourierFourier系数。这样的空间就是系数。这样的空间就是所谓所谓 Hilbert Hilbert 空间。空间