测量误差及数据处理的基本知识ppt课件

1、7 7 丈量误差及丈量误差及 数据处置的根本知识数据处置的根本知识 【本章知识要点】 观测条件；等精度观测；非等精度观测；粗差；系统误差；偶尔误差及其特性；多余观测；规范差；中误差；极限误差；允许误差；相对误差；误差传播定律；最或是值；矫正数；等精度观测值中误差；算术平均值中误差；权；定权方法；非等精度观测值精度评定；单位权中误差计算。7.1 丈量误差概述丈量误差概述7.1.1. 误差来源误差来源 仪器、人、环境仪器、人、环境丈量中的被观丈量客观上多存丈量中的被观丈量客观上多存在一个真实值或实际值，对该在一个真实值或实际值，对该量进展观测得到观测值，观测量进展观测得到观测值，观测值值 Li与真

2、实值与真实值X或实际值或实际值 之差称为真误差之差称为真误差 ，即：，即： i = LiX7.1.2. 误差分类：误差分类： (1)系统误差系统误差 积聚性、可预知性积聚性、可预知性 (2)偶尔误差偶尔误差 抵偿性、不可预知性抵偿性、不可预知性系统误差 误差大小、符号按一定规律变化或坚持常数 具有累计性偶尔误差 误差大小、符号无规律变化 抵消性 粗 差 由于大意和干扰产生大于限差的误差7.1.3. 多余观测多余观测必要观测必要观测 间隔往返测间隔往返测 水准红黑面读数水准红黑面读数 角度多测回角度多测回 多余观测多余观测差值差值评定精度评定精度7.1.4 偶尔误差的统计规律偶尔误差的统计规律

3、真误差真误差 定义式：定义式： i = LiX X真值；真值；L观测值观测值 误差区间误差区间正正 误误 差差负负 误误 差差合合 计计个数个数k频率频率k/n个数个数k频率频率k/n个数个数k频率频率k/n0.00.2450.126460.128910.2540.20.4400.112410.115810.2260.40.6330.092330.092660.1840.60.8230.064210.059440.1230.81.0170.047160.045330.0921.01.2130.036130.036260.0731.21.460.01750.014110.0311.41.640.

4、01120.00660.0171.6以上以上000000总和总和1810.5051770.4953581.000 (1)有界性有界性 在一定的观测条件下，偶尔误差不会超越在一定的观测条件下，偶尔误差不会超越某一定值某一定值 (2)单峰性单峰性 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的能够性大能够性大 (3)对称性对称性 绝对值相等的正、负误差出现的能够性相绝对值相等的正、负误差出现的能够性相等等 (4)抵偿性抵偿性 当观测次数无限添加，偶尔误差的算术平当观测次数无限添加，偶尔误差的算术平均值趋向零均值趋向零 误差分布误差分布-正态分布正态分布 规范差规范差222

5、21)( efnn22lim =3.1416 e=2.7183 为规范差2 为规范差的平方，称为方差。甲系统误差系统误差乙偶尔误差偶尔误差丙偶尔误差偶尔误差丈量精度丈量精度7.2 评定精度的规范评定精度的规范 7.2.1 规范差与中误差规范差与中误差 (1)定义式定义式 nm按观测值的真误差计算中误差序号序号第一组观测第一组观测第二组观测第二组观测观测值观测值真误差真误差2 2观测值观测值真误差真误差2 21 117917959595959-1-11 118018000080008+8+864642 217917959585958-2-24 417917959545954-6-636363 3

6、18018000020002+2+24 418018000030003+3+39 94 417917959575957-3-39 918018000000000000 05 518018000030003+3+39 917917959535953-7-749496 618018000000000000 017917959515951-9-981817 717917959565956-4-4161618018000080008+8+864648 818018000030003+3+39 918018000070007+7+749499 917917959585958-2-24 417917959

7、545954-6-63636101018018000020002+2+24 418018000040004+4+41616+2+26060+2+2404404中误差【】【】=60 n=10=60 n=10【】【】=404 n=10=404 n=10m m1 1= =2.52.5m m2 2 = = 6.4 6.4(2)概率意义概率意义7.2.2. 极限误差极限误差P(|1 m)=0.683=68.3%P(|2 m)=0.954=95.4%P(|3 m)=0.997=99.7%所以，普通允许或极限误差取：m2极m3极7.2.3. 相对误差相对误差 K (1) 定义定义 (2) 适用情况适用情况

8、AxmKx1例：丈量200m和80m的中误差都是20mm，精度怎样描画？100001200020.01K4000180020.02K中误差 m极限误差 允= 2 m相对中误差绝对误差平均误差 或然误差 22222212)()()(21nxfxfxfzmmmmn ),(21nxxxfz 那么函数的中误差与观测值中误差之间的关系式7.3误差传播定律 设有普通函数：误差传播定律描画观测值的误差传播定律描画观测值的中误差与观测值函数的中误中误差与观测值函数的中误差之间的关系差之间的关系(5-27)6/22/2022 1:24 AM222222122)()()(21nxfxfxfzmmmmn nnxxf

9、xxfxxfz )()()(2211),(21nxxxfz 1、按问题要求写出函数式2、对函数式全微分3、写出函数的中误差与观测值中误差之间的关系式1函数中误差的计算方法：例 S = a babbmaambma mb2 2特殊函数中误差的计算方法：特殊函数中误差的计算方法：1、倍函数中误差2、和或差函数中误差3、线性函数1、倍函数中误差 设有函数： z = k x 式中k为常数；x为观测值，其中误差为mx；那么函数Z的中误差为mz mz= k mx 即观测值与某一常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘该常数222222122)()()(21nxfxfxfzmmmmn z = k x ZI = k

10、 xI (ZI ) 2= (k xI ) 2 mz2= k2 mx2 mz = k mx例 在1：500地形图上，量得某线段的平距为dAB=51.2mm0.2mm，求AB的实地平距DAB及其中误差mD。解：函数关系为 DAB = 500 dAB=25600 mm 中误差式为 m DAB =500 m dAB=100 mm DAB = 25.600 0.1 m 2、和或差函数中误差设有函数： z = x y x、y为观测值，其中误差分别为mx、 my ；那么函数Z的中误差为mz mz2 = mx2 my2 即两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差平方之和。222222122)()()(2

11、1nxfxfxfzmmmmn 原理例 水准丈量测站高差计算公式为h=a-b。知后视读数的中误差为ma1mm，前视读数的中误差为mb1mm，求每测站高差的中误差m h。解：函数关系为 h= a b 中误差式为 m h=1.41mm11ahf12bhf2) 1(122222hbammm推行式设有函数： z = x1 x2 xn x、y为观测值，其中误差分别为mxi、 ；那么函数Z的中误差为mz mz2= m12 m22 mn2 即n个观测值代数和的中误差平方，等于n观测值中误差平方之和。 当m1= m2 = = mn =m时；那么有 mz2= m2 m2 m2 mz2 = n m2 mz = n

12、m 222222122)()()(21nxfxfxfzmmmmn 3 3、线性函数、线性函数设有函数： z = k1 x1 k2x2 knxn 式中ki 为常系数；xi为独立观测值，其中误差分别为mxi、 ；那么函数Z的中误差为mz mz2= k12 m12 k22 m22 kn2 mn2 即一组常数与一组独立观测值乘积代数和的中误差平方，等于各常数与相应观测值中误差乘积的平方之和。222222122)()()(21nxfxfxfzmmmmn 例 对某段间隔丈量了n次，观测值为l1, l2,ln,观测值为相互独立的等精度观测，观测值的中误差为m，求算术平均值的中误差mx。 函数关系为 全微分式

13、 中误差式为 nnnndldldldx 12111 nnnnnllllx 12111.2121212222mmmmnnnx nmxm 例光电测距三角高程公式为 h=Dtan+ i v，知D=192.263m0.006m， =89166， i = 1.515m0.002m v = 1.627m0.002m求高差h的中误差mh 。函数关系为函数关系为 h=Dtan+ i v，其全微分式为其全微分式为 中误差式为中误差式为 Mh=7mm h=27.437=0.007m dvdiDdDdhd)sec(tan2222222222)sec()(tanvimDhmmDmma计算实例计算实例 1. 【例【例7

14、-2】 课本课本P124，恣意函数，恣意函数 2. 【例【例7-3】 课本课本P125，倍函数，倍函数 3. 【例【例7-4】 课本课本P125，和差函数，和差函数 4. 【例【例7-5】 课本课本P125，线性函数，线性函数中误差的计算中误差的计算 留意：留意：1假设是间隔假设是间隔D，那么需求计算相对误差，那么需求计算相对误差K；2假设是角度假设是角度，那么不要计算相对误差，那么不要计算相对误差K。7.3.2误差传播定律的运用n1钢尺分段量距的精度n2普通水准丈量的精度n1水准尺读数中误差22221.nDmmmmmmmmmm0 . 250. 116. 173. 0222222估照平读n2一

15、测站的高差中误差n3根据测站数计算高差中误差n4根据线路长度计算高差中误差读站mmmmba222站mnmhkmhmLm5往返测所得高差闭合差的允许值往返测所得高差闭合差的允许值hfmmh23经纬仪丈量程度角的精度n1半测回方向值中误差n2半测回角值中误差n3上、下半测回角值之差的中误差n4一测回角值中误差5 . 8622 回方半方mm回方半方半mmm22回方半mmm222回方半mmm227.4 等精度观测值的精度评定 7.4.1 算术平均值算术平均值证明：算术平均值证明：算术平均值 = 最可靠值最可靠值7.4.2 矫正数矫正数 v = xL 特点：特点： (1) v= 0可证明可证明 (2)

16、vv= min可证明可证明nLnLnLnx 216/22/2022 1:24 AMV1 = x - l1V2 = x l2 。Vn = x lnv =n x - l v =06/22/2022 1:24 AMvvmin = (x -l1)2+ (x -l2)2 + + (x -ln)2 d vv/d x =2 (x l ) = 0 n x l = 0 x = l / n等精度观测值的算术平均值x即为：最可靠值6/22/2022 1:24 AM7.4.3 等精度观测值的中误差等精度观测值的中误差由于nm 在大多数情况下为未知V1 = x l1V2 = x l2 。Vn = x ln1 X l12

17、 X l2。 n = X ln只能经过上面两关系式找出 m 与 v 之间的关系6/22/2022 1:24 AM1 nvvm观测值中误差：6/22/2022 1:24 AM7.4.4算术平均值中误差用矫正数(v)计算最或是值中误差：)1(nnvvxnmm表7-2mnLx49.251cmnvvm2.215201mcmnmMx01.00.152.225149101.049.2511xMkx 49.251nLx算术平均值：观测值中误差：算术平均值中误差：序号L（m）V（cm）VV 精 度 评 定1251.52-39最后结果可写成x=251.490.01（m）2251.46+393251.490042

18、51.48-115251.50+11V=0VV=20算术平均值相对中误差：7.5 非等精度观测值的精度评定1不等精度观测 不同观测条件2不等精度观测权 权大，精度高，观测值可靠性强 权小，精度低，观测值可靠性差问题:怎样求P点的高程ACBPN3=35站站N2=20站站N1=15站站S1=2kmS3=4kmS2=3kmh1h2h3HP=HA+h1HP=HB+h2HP=HC+h3n第一组观测了四次第一组观测了四次, l1 , l2 , l3 , l4 n第二组观测了两次第二组观测了两次, l1 , l2例例 对某一观丈量进展了两组观测对某一观丈量进展了两组观测:x1= ( l1+ l2+ l3+

19、l4 ) / 4x2=(l1+ l2) / 2 l1 l2 l3 l4 l1 l2的精度是一样的，的精度是一样的，x1与与x2的精度是不同的的精度是不同的!X = (l1+ l2+ l3+ l4 + l1+ l2) / 6 =( 4 x1 + 2 x2 ) / ( 4 + 2 )单位权 等于1的权单位权观测值 P=1的观测值 单位权中误差 单位权观测值的中误差权的概念权的概念22imip中误差小，精度高，观测值可靠性大，权大中误差小，精度高，观测值可靠性大，权大中误差大，精度低，观测值可靠性差，权小中误差大，精度低，观测值可靠性差，权小权与中误差关系l1 l2 l3 l4 l1 l2的精度是一

20、样的，设的精度是一样的，设其中其中误差皆为误差皆为m，那么，那么x1与与x2的中误差分别为的中误差分别为 2214mm2222mm22122212= mp= 4 p= 2 m=2p= 2 p= 1 若取，则有若取，则有222222/2/pmm222211/4/pmm 上式可以阐明可以恣意选择上式可以阐明可以恣意选择 的值，但的值，但并不改动观测值之间的权的比并不改动观测值之间的权的比 。间隔、高差、角度观测值的定权方法间隔、高差、角度观测值的定权方法同精度丈量时，边长的权与边长成反比同精度丈量时，边长的权与边长成反比 Pi = c / si当每公里水准丈量精度一样时，水准道路观当每公里水准丈量精度一样时，水准道路观测高差的测高差的 权与道路长度成反比权与道路长度成反比 Pi = c / si由角度观测值求算术平均值时，其权与观测由角度观测值求算术平均值时，其权与观测值个数测回数成正比值个数测回数成正比 Pi = ni / c例 设对某量进展了n次等精度观测，求算术平均值的权。 解：设一测回角度观测值中误差为m 那么算术平均值的中误差为 令= m 一测回