《高等代数章节》PPT课件

1、高等代数课件高等代数课件陇南师范高等专科学校数学系陇南师范高等专科学校数学系2021年制造年制造*7.1 线性变换的定义及性线性变换的定义及性质质*7.2 线性变换的运算线性变换的运算*7.3 线性变换的矩阵线性变换的矩阵*7.4 不变子空间不变子空间*7.5 线性变换的本征值和线性变换的本征值和本征向量本征向量假定假定V和和W是数域是数域F上的向量空间上的向量空间.定义定义1 设设是是V到到W的一个映射的一个映射, 假设满足以下条件假设满足以下条件, 那么称是那么称是一个从到的线性映射一个从到的线性映射:(i) 对于恣意对于恣意, V, (+)= ()+ (); (ii) 对于恣意对于恣意a

2、F, V, (a)=a().可将定义可将定义1中条件中条件(i),(ii)换成下面一个条件换成下面一个条件:(iii) 对恣意对恣意, V, 恣意恣意a, bF, (a+b)=a()+b().例例 1 对于对于R2中的每一个向量中的每一个向量=(x1, x2)定义定义()=(x1, x1x2, x1+x2)R3,那么那么是一个线性映射是一个线性映射.例例 2 令令H是是V3中经过原点的一个平面中经过原点的一个平面. 对于对于V3中的每一个向量中的每一个向量, 令令()表示表示在在H上的正射影上的正射影. 那么那么是是V3到到V3的一个线性映的一个线性映射射.与向量空间同构与向量空间同构的定义比

3、较的定义比较例例 3 令令A是数域是数域F上的一们上的一们mn矩阵矩阵, 对对n元列空间元列空间Fn中的每一中的每一向量向量=规定规定: ()=A. 那么那么 ()是一个是一个m元列向量元列向量, 即即 ()Fn. 容容易证明易证明 是一个从是一个从Fn到到Fm的线性映射的线性映射.例例 4 令令V和和W是数域是数域F上的两个向量空间上的两个向量空间. 对于对于V中的每一向量中的每一向量,令令W的零向量与它对应的零向量与它对应. 容易看出这是容易看出这是V到到W的一个线性映射的一个线性映射, 称称之之 为零映射为零映射.例例 5 设设V是数域是数域F上的向量空间上的向量空间. 取定取定F中的一

4、个数中的一个数k. 对于恣意对于恣意V,令令 ()=k. 那么那么 是是V到本身的一个线性映射到本身的一个线性映射. 称为称为V的一个的一个位似位似.例例 6 取定数域取定数域F中的中的n个数个数a1, a2, , an. 对于对于Fn中的每一个向中的每一个向量量=(x1, x2, , xn), 定义定义 ()=a1x1+a2x2+anxnF. 那么那么 是是从从Fn到到F的一的一 个线性映射个线性映射. 称为称为F上的一个上的一个n元线性函数或元线性函数或Fn上的一上的一个线性型个线性型.例例 7 Fx上的求导运算是上的求导运算是Fx到本身的一个线性映射到本身的一个线性映射.nxx1例例 8

5、 对每一对每一f(x)Ca, b, 规定规定 . 那么那么 是是Ca, b到本身的一个线性有映射到本身的一个线性有映射.线性映射把零向量映射为零向量线性映射把零向量映射为零向量. (a11+a22+ann)=a1 (1)+a2 (2)+an (n).设设 是向量空间是向量空间V到到W的一个线性映射的一个线性映射. 假设假设VV ,那么称那么称W的子空间的子空间 ()| V是是V在在 下的象下的象, 记作记作 (V). 假设假设WW ,那么称那么称V的子空间的子空间| ()W是是W在在 下的原象下的原象, 记作记作 1(V).定理定理7.1.1 设设 是向量空间是向量空间V到到W的一个线性映射的

6、一个线性映射. V是是V 的子的子空间空间, W是是W的子空间的子空间. 那么那么V在在 下的象是下的象是W的子空间的子空间, W在在 下的原象是下的原象是V的子空间的子空间.特别地特别地, 向量空间向量空间V在在 下的象是下的象是W的子空间的子空间, 称其为称其为 的象的象, 记作记作 Im( ). W的零子空间的零子空间0在在 下的原象是下的原象是V的子空间的子空间, 称其为称其为 的核的核, 记记作作 Ker( ), 即即Ker( )=| ()=0.xadttfxf)()(定理定理7.1.2 设设是向量空间是向量空间V到到W的一个线性映射的一个线性映射. 那么有那么有(i) 是单射是单射

7、Im()=W.(i) 是满射是满射Ker()=0.两个线性映射的合成映射是线性映射两个线性映射的合成映射是线性映射.设设U, V, W是数域是数域F上的向量空间上的向量空间, : UV, :VW是线性映是线性映射射.那么合成映射那么合成映射:VW是是U到到W线性映射线性映射.假设线性映射假设线性映射:VW有逆映射有逆映射 1, 那么那么 1是从是从W到到V的线的线性映射性映射.设设V是数域是数域F上的向量空间上的向量空间. V到本身的一个线性映射称为到本身的一个线性映射称为V的的一一 个线性变换个线性变换. 用用L(V)表示表示V的一切线性变换的集合的一切线性变换的集合.零变换零变换: V到本

8、身的零映射称为到本身的零映射称为V的零变换的零变换, 记作记作, 显然显然L(V).单位变换单位变换: V到本身的恒等映射称为到本身的恒等映射称为V的单位变换的单位变换, 记作记作, 显然显然L(V).负变换负变换: L(V), 的负变换的负变换是指是指V到到V的映射的映射: | ().变换的加法变换的加法: ,L(V), 定义定义V到到V的映射的映射+为为+: | ()+ ().容易阐明容易阐明+L(V). 称为变换称为变换+为变换为变换与与的和的和.变换的减法变换的减法: ,L(V), 定义变换定义变换与与的差的差为为=+().变换的纯量乘法变换的纯量乘法: L(V), kF. 定义定义V

9、到到V的映射的映射k: | k().那么那么kL(V), 称它为称它为k与与的积的积.可以验证变换的加法与变换的纯量乘法满足以下规律可以验证变换的加法与变换的纯量乘法满足以下规律:+ =+(+)+ =+(+)+ =+()=k(+) = k+k(k+l) = k+l(kl) = k(l)1 =其中其中, , 是是V到到V的恣意变换的恣意变换, k, l是是F中的恣意数中的恣意数. 因此因此:定理定理7.2.1 L(V)对于变换的加法和纯量乘法构成数域对于变换的加法和纯量乘法构成数域F上的一个上的一个线性空间线性空间.变换的乘法变换的乘法: ,L(V), 那么它们那么它们(作为映射作为映射)的合成

10、的合成L(V), 称之为称之为与与的积的积, 记作记作. 变换的乘法满足结合律变换的乘法满足结合律. 对于正整数对于正整数n, 规定规定 n=. . 再规定再规定 0= . ( 表示单位变换表示单位变换). 另可将另可将k 简单地记为简单地记为k, k是是F中的一个数中的一个数.设设 是是Fx中的一个多项式中的一个多项式, 是一个线性变换是一个线性变换, 那么那么 也是一个线性变换也是一个线性变换, 记作记作:nnxaxaaxf10)(nnaaa10nnaaaf10)( 假设假设 , A , A是是一一 个个 n n阶方阵阶方阵, , 那么那么)()()(),()()(,)(),(xgxfxv

11、xgxfxuxFxgxf).()()(),()()(gfvgfAu设设V是数域是数域F上的向量空间上的向量空间, 1, 2, , n是是V的一个基的一个基, 是是V的一个线性变换的一个线性变换. 那么对们每一那么对们每一 j=1,2, ,n, (j )都可由都可由1, 2, , n线性表示线性表示. 设设其中其中, (a1j, a2j, anj, )是是 (j )关于基关于基1, 2, , n的坐标的坐标 j=1,2, ,n,.它们是独一确定的它们是独一确定的. 以它为第以它为第j列列, 做成一个矩阵做成一个矩阵:n阶矩阵阶矩阵A叫线性变换叫线性变换 关于基关于基1, 2, , n的矩阵的矩阵

12、. 对于给定对于给定的线性变换和取定的基的线性变换和取定的基, 它是独一确定的它是独一确定的.nnnnnnnnnnaaaaaaaaa22112222112212211111)()()(nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211等式等式(1)将等式将等式(1)写为矩阵的方式就是写为矩阵的方式就是 ( (1), (2), , (n)=(1, 2, , n)A.设设= x11+x22+xnn是是V的任一向量的任一向量. 所以所以因此因此, ()关于基关于基1, 2, , n的坐标构成的列向量是的坐标构成的列向量是:由此我们得到由此我们得到:定理定理7.3.1 设设V是数域是数域F上的向

13、量空间上的向量空间, 1, 2, , n是是V的的一个基一个基, 是是V的一个线性变换的一个线性变换, A是线性变换是线性变换 关于这个基的矩阵关于这个基的矩阵, 与与 ()关于这个坐标分别是关于这个坐标分别是(x1,x2,xn)和和(y1,y2,yn). 那么有那么有nnnnnnnnxxxAxxxxxxxxx2121212122112211),()(,),(),()()()()()(nxxxA21nnxxxAyyy2121例例 1 设设1, 2是是V2的两个正交单位向量的两个正交单位向量, 那么它构成那么它构成V2的一的一个基个基, 是将是将V2的每一个向量都旋转的每一个向量都旋转角的一个线

14、性变换角的一个线性变换. 那么有那么有因此因此关于基关于基1, 2的矩阵是的矩阵是设设是中是中V2的一个向量的一个向量, 它和它和()关于基关于基1, 2的坐标分别是的坐标分别是(x1, x2 )和和(y1, y2 ), 那么那么例例 2 位似变换关于恣意基的矩阵是位似变换关于恣意基的矩阵是.特别地；特别地；单位变换关于恣意基的矩阵是单位矩阵单位变换关于恣意基的矩阵是单位矩阵, 零变换关于恣意基的矩阵零变换关于恣意基的矩阵是零矩阵是零矩阵.cossin)(sincos)(212211cossinsincos2121cossinsincosxxyy1(2)2(2)OkkkkI定理定理7.3.2

15、设设V是数域是数域F上的一个上的一个n维向量空间维向量空间, 1, 2, , n是是V的一个基的一个基, 那么对那么对V中的恣意中的恣意n个向量个向量 1, 2, , n, 恰有恰有V的一的一个线性变换个线性变换 , 使得使得 ( i)= i, i=1, 2, , n.数域数域F上一切上一切n阶矩阵的集合构成阶矩阵的集合构成F的一个的一个n2维向量空间维向量空间, 记之记之 为为Mn(F).定理定理7.3.3 设设V是数域是数域F上的一个上的一个n维向量空间维向量空间, 1, 2, , n是是V的一个基的一个基, 对于对于V的每个线性变换的每个线性变换 , 让它对应于它关于基让它对应于它关于基

16、 1, 2, , n的矩阵的矩阵A. 如此建立的对应关系是如此建立的对应关系是L(V)到到Mn(F)的一个同的一个同构构(坚持加法和纯量乘法的双射坚持加法和纯量乘法的双射). 而且假设变换而且假设变换 , 分别对应于矩阵分别对应于矩阵A,B, 那么变换那么变换 , 的乘积的乘积对应于矩阵对应于矩阵A,B的乘积的乘积AB. (坚持乘法坚持乘法)推论推论7.3.4 设设V是数域是数域F上的一个上的一个n维向量空间维向量空间, 是是V的一个线性的一个线性变换变换, 它关于某个基的矩阵是它关于某个基的矩阵是A. 那么变换那么变换 可逆当且仅当矩阵可逆当且仅当矩阵A可逆可逆, 且且1关于这个基的矩阵就是

17、关于这个基的矩阵就是A 1. (坚持逆坚持逆)设设A, B是两个是两个n阶矩阵阶矩阵, 假设存在假设存在n阶可逆矩阵阶可逆矩阵T使得使得: B=T1AT那么称矩阵那么称矩阵A与与B类似类似. 矩阵的类似关系是一种等价关系矩阵的类似关系是一种等价关系(即类似具有自反性即类似具有自反性, 对称性和传送性对称性和传送性).设设V是数域是数域F上的一个上的一个n维向量空间维向量空间, 是是V的一个线性变换的一个线性变换, 它关它关于于V的两个基的两个基1, 2, , n和和1, 2, , n的矩阵分别是的矩阵分别是A, B. 那么有那么有( (1), (2), , (n)=(1, 2, , n)A,(

18、 ( 1), (2), , (n)=(1, 2, , n)B.再设再设T是从基是从基1, 2, , n到到1, 2, , n的过渡矩阵的过渡矩阵:(1, 2, , n)=(1, 2, , n)T.由此三式可得由此三式可得: (1, 2, , n)B=(1, 2, , n)T1AT.所以所以 B=T1AT. 即即:同一线性变换关于两个基的矩阵是类似的同一线性变换关于两个基的矩阵是类似的.反之反之, 两类似矩阵可以看作是同一线性变换关于两个基的矩阵两类似矩阵可以看作是同一线性变换关于两个基的矩阵.设设V是数域是数域F上的一个向量空间上的一个向量空间, 是是V的一个线性变换的一个线性变换.定义定义

19、设设W是是V的一个子空间的一个子空间, 假设假设(W)W, 那么称那么称W在线性在线性变换变换之下不变之下不变, 或说或说W是是的一个不变子空间的一个不变子空间.例例 1 V本身和零子空间本身和零子空间V是任何变换的不变子空间是任何变换的不变子空间.例例 2 的象的象Im()和核和核Ker()都是都是的不变子空间的不变子空间.例例 3 任何一个子空间都是位似变换的不变子空间任何一个子空间都是位似变换的不变子空间.例例 4 设设L是是V3中一条过程原点的直线中一条过程原点的直线, 是是V3的一个以为轴的的一个以为轴的旋转变换旋转变换. 那么那么L是是的一个一维不变子空间的一个一维不变子空间, 过

20、程原点与过程原点与L垂直的垂直的平面平面H是是的一个二维不变子空间的一个二维不变子空间.例例 5 设设Fx是是F上的一元多项式所成的向量空间上的一元多项式所成的向量空间, Fnx是次数是次数不超越不超越n的多项式及零多项式所成的子空间的多项式及零多项式所成的子空间. 那么那么Fnx是求导变换是求导变换的不变子空间的不变子空间.设设W是是 的一个不变子空间的一个不变子空间, 定义映射定义映射 |W :WW为为 |W ()= (). 那么那么 |W是是W的一个线性变换的一个线性变换, 称它为线性变换称它为线性变换 在在W上上的限制的限制.设设W是是 的一个非平凡的不变子空间的一个非平凡的不变子空间

21、, 1, 2, , r是是W的一的一个基个基, 把它扩展为把它扩展为V的一个基的一个基1, 2, , r , r+1, , n. 由于由于W在在 之下不变之下不变, 所以所以 (1), (2), , (r)仍在仍在W内内, 它们可用它们可用W的基的基1, 2, , r线性表示线性表示. 因此因此这阐明关于这个基的矩阵是这阐明关于这个基的矩阵是nnnrnrrrnnnnrnrrrrrrrrrrrrrrrraaaaaaaaaaaaaa1, 1111,11, 11,11, 11221112211111)()()()(231AOAA|W关于W的基1, 2, , r 的矩阵一个一个 (nr)r 阶零矩阶零

22、矩阵阵假设假设V是它的两个子空间是它的两个子空间W1与与W2的直和的直和, 即即V=W1W2. 可用可用W1的基的基1, 2, , r 与与W2的基的基r+1, , n组成组成V的一个基的一个基. 假设假设W1与与W2是是 的不变子空间的不变子空间, 那么那么 关于这个基的矩阵是关于这个基的矩阵是例例 6 接例接例4. V3是是L与与H的直和的直和. 取取L上的一个非零向量上的一个非零向量1作为作为它的基它的基, 取取H上的两个正交单位向量上的两个正交单位向量2, 3作为它的基作为它的基, 那么那么1, 2, 3组组V3的一个基的一个基. 关于这个基的矩阵是关于这个基的矩阵是21AOOA|W1

23、关于W1的基1, 2, , r 的矩阵|W2关于W2的基r+1, 2, , n 的矩阵cossin0sincos0001应该地应该地, 假设假设V是它的子空间是它的子空间W1, W2, , Ws的直和的直和, 且每一个且每一个都是都是 的不变子空间的不变子空间. 用这些子空间的基组用这些子空间的基组V的一个基的一个基. 那么那么 关于这关于这个基的矩阵是个基的矩阵是Ai是是 |Wi关于关于Wi的基的矩阵的基的矩阵. 特别地特别地, 当每一个子空间都是一维空间当每一个子空间都是一维空间时时, 这个矩阵就是一个对角矩阵这个矩阵就是一个对角矩阵.sAAA21设设V是数域是数域F上的一个向量空间上的一

24、个向量空间, 是是V的一个线性变换的一个线性变换.定义定义 1 设设是数域是数域F中的一个数中的一个数. 假设存在假设存在V中的一个非零向量中的一个非零向量使得使得()=, 那么称那么称是是的一个特征根的一个特征根, 称称是是的属于特的属于特征根征根的一的一 个特征向量个特征向量.例例 1 设设H是是V3中一个过程原点的平面中一个过程原点的平面, 是把是把V3的每一个向量的每一个向量变成它在变成它在H上的正射影的线性变换上的正射影的线性变换. 那么那么H中每一个非零向量都是中每一个非零向量都是的属于特征根的属于特征根1的特征向量的特征向量, 而过原点与而过原点与H垂直的直线上的每一个非垂直的直

25、线上的每一个非零向量都是零向量都是的属于特征根的属于特征根0的特征向量的特征向量.例例 2 用用D表示实数域上的可微分恣意次的实函数所成的向量空表示实数域上的可微分恣意次的实函数所成的向量空间间. : f(x)|f (x)是求导运算是求导运算. 对每一实数对每一实数都有都有, (ex)=ex. 因此每一实数因此每一实数都是都是的特征根的特征根, 而而ex是是的属的属于特征根于特征根的一个特征向量的一个特征向量.例例 3 用用Fx表示一切一元多项式构成的向量空间表示一切一元多项式构成的向量空间. 是把是把f(x)变变为为 xf(x)的线性变换的线性变换. 对任何数对任何数都不存在多项式都不存在多

26、项式f(x)使使 xf(x)=f(x), 因此因此没有特征根没有特征根.定义定义 2 设设A=(aij)数域数域F上的一个上的一个n阶矩阵阶矩阵. 行列式行列式叫做矩阵叫做矩阵A的特征多项式的特征多项式.类似矩阵有一样的特征多项式类似矩阵有一样的特征多项式.一个线性变换一个线性变换关于不同的基有不同的矩阵关于不同的基有不同的矩阵, 但是但是, 这些矩阵是这些矩阵是类似的类似的, 这些矩阵的特征多项式也就是一样的这些矩阵的特征多项式也就是一样的. 因此我们把一个线性因此我们把一个线性变换变换的特征多项式定义为它关于任何一个基的矩阵的特征多项式的特征多项式定义为它关于任何一个基的矩阵的特征多项式,

27、 记作记作f(x).定理定理7.5.1 设设是数域是数域F上的上的n维向量空间维向量空间V的一个线性变换的一个线性变换. F是的一个特征根当且仅当是的一个特征根当且仅当是是的特征多项式的特征多项式f(x)的一个根的一个根.nnnnnnAaxaaaaxaaaaxAxIxf212222111211|)(n阶矩阵A=(aij)的主对角线上的元素的和称为矩阵A的迹, 记作Tr(A).在 fA(x)中最高次项xn的系数是1.在 fA(x)中, xn1的系数是 Tr(A) .在 fA(x)的常数项是A的行列式乘以(1)n.例 4 计算的特征多项式.矩阵A的特征多项式 fA(x)在复数域内的根叫做矩阵A的特

28、征根. 设是矩阵A的一个特征根, 那么齐次线性方程组的一个非零解叫做矩阵A的属于特征根的一个特征向量.dcba000)(21nxxxAI设设 1, 2, n是矩阵是矩阵A的全部特征根的全部特征根, 那么那么Tr(A)= 1+ 2+ n , |A|= 1 2 n.设设 是数域是数域F上的上的n维向量空间维向量空间V的一个线性变换的一个线性变换, 它关于基它关于基1, 2, , r的矩阵是的矩阵是A, 是是A的特征根的特征根, 且且F, 那么那么 是是 的特征根的特征根. 方程组的非零解就是方程组的非零解就是 的属于的属于 的一个特征向量关于基的一个特征向量关于基1, 2, , r的坐标的坐标.例

29、例 5 设设R上三维向量空间的线性变换上三维向量空间的线性变换 关于关于基基1, 2, 3的矩阵是的矩阵是:. 求求 的特征根和相应的的特征根和相应的特征向量特征向量.例例 6 求矩阵求矩阵A的特征根和相应的特征向量的特征根和相应的特征向量:000)(21nxxxAI013211233320230005A设设 是数域是数域F上的上的n(n 0)维向量空间维向量空间V的一个的一个线性变换线性变换. 假设存在假设存在V的一个基使关于这个基的的一个基使关于这个基的矩阵具有右面的方式矩阵具有右面的方式, 那么称那么称 可以对角化可以对角化. 类似地类似地假设对于数域假设对于数域F上的一个矩阵上的一个矩

30、阵A, 存在数域存在数域F上的上的一个矩阵一个矩阵T, 使得使得T1AT具有右面的矩阵方式具有右面的矩阵方式, 那么称矩阵那么称矩阵A可对角可对角化化.定理定理7.6.1 设设 是数域是数域F上的维向量空间上的维向量空间V的一个线性变换的一个线性变换. 假设假设1, 2, n是是 的属于不同特征根的特征向量的属于不同特征根的特征向量, 那么那么1, 2, n线性无关线性无关.推论推论7.6.2 设设 是数域是数域F上的上的n(n 0)维向量空间维向量空间V的一个线性变换的一个线性变换. 假设假设 的特征多项式的特征多项式 f (x)在在F内有内有n个单根个单根, 那么存在那么存在V的一个基的一个基, 使使 关于这个基的矩阵是对角方式关于这个基的矩阵是对角方式.n00000021推论推论7.6.3 设设A是数域是数域F上的上的 n 阶矩阵阶矩阵. 假设假设A的特征多项的特征多项式式 fA (x)在在F内有内有n个单根个单根, 那么存在一个可逆矩阵那么存在一个可逆矩阵T, 使使设设 是是 的一个特征根的一个特征根, 那么那么V =| ()=Ker()是是V的一个子空间的一个子空间, 称之为称之为 的属于特征根的属于特征根 的特征子空间的特征子空间. 特征子空间是特征子空间是 的不变子