四章节拉普拉斯方程格林函数法学习教案

1、会计学1四章节四章节(zhngji)拉普拉斯方程格林函数法拉普拉斯方程格林函数法第一页，共14页。二 格林公式(gngsh)及其结论2()dddVSVvuvVuSuv Vn 22()d()dVSvuuvvuVuvSnn 格林公式(gngsh)的结论：1 调和函数的积分(jfn)表达式拉普拉斯方程的基本解222221111lnlnrxyzkrxy三维二维第1页/共13页第二页，共14页。2 牛曼内问题(wnt)有解的必要条件3 平均值公式(gngsh)4 拉普拉斯方程解的唯一性问题(wnt)调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。0111(

2、)( )d4Suu MuSn rrn ufn22()d()dVSvuuvvuVuvSnn d0SuSn取1v d0Sf S 021()d4aku Mu Sa狄氏问题的解唯一确定，牛曼问题的解除了相差一常数外也是唯一确定的。第2页/共13页第三页，共14页。三 格林函数(hnsh) r)(2Mu1()4u Mr02)(rr Mu01()4MMu Mr0原点处点电荷电量 ， r0点电荷密度M),(zyx处点电位00M),(000zyx0r即 处点电荷电量00rr 点电荷密度M),(zyx处点电位1M101rr F112)(rr FMu11()4MMFu Mr2M202rr F222)(rr FMu

3、22()4MMFu Mr11222)(rrrrFFMu121244MMMMFFrr0( )F2()( )u MF 001()( )d4MMu MFVr20u 第3页/共13页第四页，共14页。),(0MMG纯点源产生(chnshng)的场（不计初始条件和边界条件的影响）0001()()d4MMu MF MVr001(,)4MMG M Mr自由空间的格林函数(hnsh)线性系统( ) t( )h t线性系统( )f t( )( )f th t0000000011(,)()()d()d44MMMMG M MF MF MMF MMrrr1 格林函数(hnsh)定义第4页/共13页第五页，共14页。0

4、|,)(02uMu内rr000d)(),()(VMFMMGMu0|,)(2uMFMu内0(,)G M M)(|,)(2MfuMFMu内）（2()0,|()u Muf M内000(,)()()dG M Mu Mf MSn 对泊松问题(wnt)对拉普拉斯问题(wnt)000000d)(),(d)(),()(SMfnMMGVMFMMGMu第5页/共13页第六页，共14页。2 拉普拉斯方程(fngchng)的格林函22()d()dVSvuuvvuVuvSnn ()d0SvuuvSnnu，v均为调和函数0111()( )d4Suu MuSn rrn 0001111()()()d44SMMMMvuu Mu

5、vSnn rrn0114MMvrv为调和函数，且满足(mnz)0011()() d4SMMu MuvSnr 0()dSGu MuSn 0011()4MMG Mvr2()0,|()u Muf M内第6页/共13页第七页，共14页。3 区域(qy)的格林函数和狄氏问题的解电象法求格林函数(hnsh) 在区域外找出区域内一点关于边界的象点，在这两个点放置适当的电荷，这两个电荷产生的电位在曲面边界上相互抵消。这两个电荷在区域中形成的电位就是(jish)所要求的格林函数。101141),(0MMMMrrMMG半空间的格林函数0114MMvrv为调和函数，且满足0011()4MMG Mvrzddqqpxo

6、0MMr1MMrzddqqxo0MMr1MMr1M0MM第7页/共13页第八页，共14页。yxyxfyxuzyxzuyuxu,),()0 ,(0, 0222222101141),(0MMMMrrMMG2020202020204141zzyyxxzzyyxx00(,)()()dG M Mu Mf MSn 00(,)|( , )dzG M Mf x ySz例1 求解(qi ji)下列定解问题解：第8页/共13页第九页，共14页。20202020202004141),(zzyyxxzzyyxxMMG00(,)()|( , )dzG M Mu Mf x ySz0000|),(zzMMG2/320202

7、021zzyyxxz02/320202002/320202000|44zzzyyxxzzzzyyxxzz 0002/3202020dd)(21)(yxMfzzyyxxzMu第9页/共13页第十页，共14页。yxyxfyxuzyxzuyuxu,),()3 ,(3, 0222222),(0000zyxM)6 ,(0001zyxM104141),(0MMMMrrMMG0(,)()()dG M Mu Mf MSn 20202020202064141zzyyxxzzyyxx03(,)|( , )dzG M Mf x ySz3 z例2 求解下列(xili)定解问题解：第10页/共13页第十一页，共14页。

8、四分之一空间(kngjin)的格林函数 3210111141),(0MMMMMMMMrrrrMMG第11页/共13页第十二页，共14页。球内的格林函数(hnsh) 210RrrOMOM010PMPMOMrrrR0114OMPMRrr014PMr001011(,)44MMOMMMRG M MrrrR0M1MoP0M0点处点电荷电量 ，00OMrRM1点处点电荷电量 R0M1MoM第12页/共13页第十三页，共14页。NoImage内容(nirng)总结会计学。调和函数在区域内任一点的值可以通过积分表达式用这个函数在区域边界上的值和边界上的法向导数来表示。狄氏问题的解唯一确定，牛曼问题的解除了相差(xin ch)一常数外也是唯一