常数项级数的概念和性质

1、1. 1. 计算圆的面积计算圆的面积R正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积1a21aa 正正 形的面积形的面积n23 naaa 21naaaA 21即即 n10310003100310331. 2一、问题的提出一、问题的提出设有数列un:u1, u2, , un, , 则称表达式nnnuuuu211为一个常数项级数，简称级数. 其中， un称为常数项级数的一般项或通项.例例1. 下列各式均为常数项级数； 214121211nnn; 211nnn; ) 1(1111) 1(111nnn. cos2cos1coscos1nnn常数项级数级数1nnu的前n项之和：,211nn

2、kknuuuuS称为常数项级数的部分和.若SSnnlim存在，则称级数1nnu收敛，S称为级数的和：.1Sunn观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面面积积为为周周长长为为依次类推依次类推;43, 311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形播放播放, 2 , 1)34(11 nPPnn)91(431121AAAnnnn 1121211)91(43)91(43913AAAAnn , 3 , 2 n周长为周长为面积为面积为)94(31)94(31)94(31311221 nA第第 次分叉次分叉：n于是有于是有 nnPlim)9413

3、11(lim1 AAnn.532)531(1 A结论：雪花的周长是无界的，而面积有界结论：雪花的周长是无界的，而面积有界雪花的面积存在极限（收敛）雪花的面积存在极限（收敛）例例2. 讨论等比级数的敛散性.11nnar解解：等比级数的部分和为：.1)1 (1111rrarraraarSnnnkkn当公比 | r |1时，.1)1 (limlimrraSnnnn当公比 r =1时，naSnnnlimlim当公比 r = 1时，Sn=a, n为奇数0, n为偶数, 故不存在.nnSlim 综上所述，当公比| r |1时, 等比级数收敛；当公比| r |1时，等比级数发散.例例3. 讨论级数的敛散性.

4、1) 12)(12(1nnn解：解：12112121) 12)(12(1nnnn1211212171512151312131121 nnSn121121n而21121121limlimnSnnn故，即该级数收敛.21) 12)(12(11nnn收敛级数称为收敛级数的余项，记为1nnu的和S与其部分和Sn的差SSn1nmmnnuSSr显然. 0limnnr：若级数1nnu收敛，则必有. 0limnnu 设SSSunnnnlim ,1则)(limlim1nnnnnSSu1limlimnnnnSS0SS三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件例例4. 判别的敛散性.111) 1(nnnn解解：由

5、于, 11) 1(lim|lim1nnunnnn故该级数发散., 0limnnu例例5. 证明调和级数是发散的.11nn证证 调和级数的部分和有：， 11S，211122 SS，221212114131211224 SS328SS 2312121211817161514131211由数学归纳法，得，212kSk k=0, 1, 2, 而21limlim2kSkkk故 nnSlim不存在，即调和级数发散. 若c0为常数，则1nnu与1nncu有相同的敛散性，且.11nnnnuccu四、无穷级数的性质四、无穷级数的性质证证1nnu的部分和为，nkknuS11nncu的部分和为,11nnkknkkn

6、cSuccuS故nnnnnnSccSSlimlimlim从而同时收敛或同时发散.11nnnnuccu若收敛，与11nnnnvu其和分别为S1和S2，则级数,)(1也收敛nnnvu且.)(21111SSvuvunnnnnnn证证1)(nnnvu的部分和为：)()()()(22111nnnkkknvuvuvuvuSnnnnSSvvvuuu212121)()(故212121limlim)(limlimSSSSSSSnnnnnnnnn即 级数1)(nnnvu收敛，且.)(21111SSvuvunnnnnnn例例6. 因为等比级数收敛，与113121nnnn所以级数.31211也收敛nnn例例7. 问题

7、(1) 一个收敛级数与一个发散级数的和是收敛的还是发散的？答：是发散的.问题(2) 两个发散的级数之和是收敛的还是发散的？答：不一定. 在一个级数的前面加上或者去掉有限项后，所得到的新的级数与原级数的敛散性相同. (但对收敛级数来说，它的和将改变.)证证 设级数1nnu的部分和为Sn,去掉级数的前面m项后得到的级数1mkku的部分和为S k:kmmmkuuuS21)( )(212121mkmmmmuuuuuuuuumkmSS由于Sm当m固定时为一常数，所以mkmkkkSSSlimlim故 级数1nnu与级数.1有相同的敛散性mkku 对收敛的级数加括号后所得到的新级数仍然收敛，且其和不变.例例

8、8. 考虑一下几个问题：(1) 收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗？答：不一定.(2) 发散的级数加括号后所成的级数是否仍发散？答：不一定发散.(3) 如果加括号后的级数仍发散，原级数是否也发散？答：原级数也发散.级级数数收收敛敛. 0lim nnu证明证明 1nnus,1 nnnssu则则1limlimlim nnnnnnssuss . 0 即即趋趋于于零零它它的的一一般般项项无无限限增增大大时时当当,nun 五、级数收敛的必要条件五、级数收敛的必要条件注意注意1.1.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零, ,则级数发散则级数发散; ; 1)1(4332211nnn例例如如

9、发散发散2.2.必要条件不充分必要条件不充分. .lim0,nnu虽然有但级数不收敛. n131211例例如如调调和和级级数数讨论讨论nnnssnn2121112 ,212 nn.,s其其和和为为假假设设调调和和级级数数收收敛敛)lim(2nnnss 于于是是ss , 0 .级数发散级数发散)(210 n便便有有.这这是是不不可可能能的的 )21221121()16110191()81716151()4131()211(1mmm8项4项2项2项 项m221每每项项均均大大于于21)1(1 mm项大于项大于即前即前.级级数数发发散散由性质由性质4 4推论推论, ,调和级数发散调和级数发散. .思考题思考题 设设 1nnb与与 1nnc都都收收敛敛，且且nnncab ), 2 , 1( n，能能否否推推出出 1nna收收敛敛？思考题解答思考题解答能能由极限的夹逼准则即知由极限的夹逼准则即知课堂