隐函数组PPT学习教案

1、会计学1设方程组0),(0),(zyxGzyxF确定函数, )(xzz 求,ddxy。xzdd,1CGF想一想，怎么做想一想，怎么做 ？, )(xyy 问题问题1 1一、隐函数组概念第1页/共31页xyyFddxyyGddxzzFddxFxzzGddxG运用克莱满法则解此二元一次方程组运用克莱满法则解此二元一次方程组移项，得第2页/共31页当0),(),(zyGF时，方程组有唯一解：xydd ),(),(zxGF),(),(zyGFxzdd ),(),(xyGF),(),(zyGF这样我们实际上已找到了求方程组确这样我们实际上已找到了求方程组确定的隐函数的偏导数的公式定的隐函数的偏导数的公式(

2、之一之一)。第3页/共31页zGxGzFxFzxGF),(),(xGyGxFyFxyGF),(),(zGyGzFyFzyGF),(),(第4页/共31页问题问题2 2设方程组0),(0),(vuyxGvuyxF确定函数, ),(yxuu , ),(yxvv ,1CGF求,xu,yu,xv。yv 利用问题 1 的结论，你可能已经知道应该怎么做了。 依葫芦画瓢哦 ！将将 x 或 y 看成常数看成常数自己动手做！自己动手做！第5页/共31页0),(),(vuGF当时，xu),(),(vxGF ),(),(vuGFxv ),(),(xuGF),(),(vuGF 将将 y 看成常数看成常数 公式公式0)

3、,(),(vuGF当时,yu),(),(vyGF ),(),(vuGFyv ),(),(yuGF),(),(vuGF 将将 x 看成常数看成常数 公式公式第6页/共31页 0),(0),(vuyxGvuyxF二、方程组的情形？何时唯一确定函数何时唯一确定函数 ),( ),( yxvvyxuu ? xu? yu? xv? yv第7页/共31页定理定理 18.418.4（隐函数隐函数组组定理定理） 设设),(vuyxF、),(vuyxG在点在点),(0000vuyxP的某的某 一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且,(00yxF 0),00 vu，0),(0000

4、 vuyxG，且偏导数所组成的，且偏导数所组成的 函数行列式（或称雅可比式）函数行列式（或称雅可比式） ),(),(vGuGvFuFvuGFJ 在点在点),(0000vuyxP不等于零，则方程组不等于零，则方程组 0),( vuyxF、 0),( vuyxG 在点在点),(0000vuyxP的某一邻域内恒能唯一确定一的某一邻域内恒能唯一确定一 组单值连续且具有连续偏导数的函数组单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxuu ， 第8页/共31页,),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu ),(yxvv ，它们满足条件它们满足条件),(000yxuu , ,vv 0),(00y

5、x 并有并有 vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu .),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv 第9页/共31页下面推导公式：下面推导公式： 0),(0),(vuyxGvuyxF).,( ),( yxvvyxuu 确定了确定了即即， 0),(),(,0),(),(,yxvyxuyxGyxvyxuyxF等式两边对等式两边对 x 求导，求导， 00 xvGxuGGxvFxuFFuuxvux xuuxvuGxvGxuGFxvFxuF现现第10页/共31页 xuuxvuGxvGxuGFxvFxu

6、F这是关于这是关于xvxu ,的的二元线性方程组。二元线性方程组。vuvuGGFFD , 0 J方程组有唯一解方程组有唯一解。vxvxGGFFD 1vxvxGGFF ),(),(vxGF xuxuGGFFD 2xuxuGGFF ),(),(xuGF DDxu1 .),(),(1vxGFJ DDxv2 .),(),(1xuGFJ 第11页/共31页类似，对类似，对 0),(),(,0),(),(,yxvyxuyxGyxvyxuyxF等式两边对等式两边对 y 求导，求导，得关于得关于yvyu ,的线性方程组的线性方程组。解方程组得解方程组得 yu.),(),(1vyGFJ yv.),(),(1yu

7、GFJ DDxu1 .),(),(1vxGFJ DDxv2 .),(),(1xuGFJ 第12页/共31页特别地，方程组特别地，方程组 0),(0),(zyxGzyxF且且可以确定函数可以确定函数 ),( ),( xzzxyy ,),(),(),(),(zyzyzxzxGGFFGGFFzyGFzxGFdxdy .),(),(),(),(zyzyxyxyGGFFGGFFzyGFxyGFdxdz 第13页/共31页例例1 设设 . 432,50222zyxzyx. , dxdzdxdy求求解解 1： 令令, 050),(222 zyxzyxF. 0432),( zyxzyxG则则zyzyGGFFz

8、yGF ),(),(,2xFx ,2yFy ,2zFz , 1 xG, 2 yG. 3 zG3222zy .46zy zxzxGGFFzxGF ),(),(3122zx .26zx 第14页/共31页xxxxGGFFxyGF ),(),(zxzxGGFFzxGF ),(),(3122zx .26zx .42xy 1222xy ),(),( ),(),( zyGFzxGFdxdy zyzx4626 ),(),( ),(),( zyGFxyGFdxdz ,233zyxz zyxy4642 ,232zyyx 时，时，当当 046 ),(),( zyzyGF第15页/共31页 . 432,50222z

9、yxzyx解解 2：方程两端对方程两端对 x 求导。求导。 . 0321, 0222dxdzdxdydxdzzdxdyyx注意：注意：),(xyy ).(xzz 即即得得 . 132,dxdzdxdyxdxdzzdxdyy32zyD .23zy 第16页/共31页即即 . 132,dxdzdxdyxdxdzzdxdyy32zyD .23zy 311 zxD,3xz 122 xyD.2yx DDdxdy1 DDdxdz2 ,233zyxz ,232zyyx 时，时，当当 0 D第17页/共31页例例 2 2 设设 1, 0 xvyuyvxu， 求求 xu ，yu ，xv 和和yv . . 解解1

10、 1直接代入公式；直接代入公式；解解2 2运用公式推导的方法。运用公式推导的方法。将所给方程的两边对将所给方程的两边对 x 求导并移项求导并移项: :, vxvxxuyuxvyxuxxyyxJD ,22yx 第18页/共31页当当 0 JD 时，时， DDxu1 ,22yxyvxu DDxv2 ,22yxxvyu 将所给方程的两边对将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得求导，用同样方法得,22yxyuxvyu .22yxyvxuyv xvyuD 1 ,yvux vyuxD 2.xvyu xyyxJD ,22yx 第19页/共31页设0022yvuxvu确定函数),(yxuu ),(yxvv

11、 求,xu,yu,xv。yv解令,),(2xvuvuyxF,),(2yvuvuyxG则),(),(vuGFvu211214 uv),(),(vxGFv2011v2 xu14uvv2例例3 3第20页/共31页同理可得),(),(xuGF0112u1 xv14uv1),(),(vyGFv21101 yu14uv1),(),(yuGF1102uu2 yv14uvu2第21页/共31页 问题 1 和问题 2 的方法可以推广到更一般的情形.第22页/共31页定理定理 (隐函数存在定理)设,),(U(),(001YXCYXFi；mi, 2, 1,0),(00YXFi1.2.；mi, 2, 13.0),(

12、),(),(002121YXyyyFFFmm其中，, ),(21nxxxX, ),(21myyyY方程组0),(,0),(1YXFYXFm则在)U(0X内唯一确定一组函数)(U()(01XCXyIi且,0)(,),(,(1XXXFmi, ), 2, 1(mi。)(,),(0010XXYm第23页/共31页雅可比行列式雅可比行列式 , )(),(121CxxxFunii), 2, 1( ni),(),(2121nnxxxuuuJ ),(),(2121nnxxxFFF11xF21xFnxF112xF22xFnxF21xFnnnxF2xFn第24页/共31页 当所出现的函数均有一阶连续偏导数时，雅可

13、比行列式有以下两个常用的性质：1. 1),(),(),(),(21212121nnnnuuuxxxxxxuuu2.),(),(),(),( ),(),(212121212121nnnnnntttxxxxxxuuutttuuu第25页/共31页1.三、反函数组和坐标变换反函数组和坐标变换 定理18.5（反函数组定理）设函数组 及其一阶偏导数在某区域 上连续，点 是D的内点，且 则在点 的某邻域 内存在唯一的一组反函数 使得 第26页/共31页且当 时，有2.坐标变换坐标变换: 两个重要的坐标变换两个重要的坐标变换.第27页/共31页 例2 直角坐标 与极坐标 之间的变换为 所以除原点外，在一切点上都