研究生入学考试大数定律与中心极限定理PPT学习教案

1、会计学1研究生入学考试大数定律与中心极限定研究生入学考试大数定律与中心极限定理理2 123,0,1,05.1nnnnnY Y Yalim P Yalim P YaYaPYan 。设随机变量序列若存在某常数 ， 使得均有： （或） 则称随机变量序列依概率收敛于常数 ， 记为：定义：aaa第1页/共41页31211,101limlim1.5.3nnnkknnknnkXXXnYXnP YPXn 设随机变量序列相互独立，服从同一分布，且存在数学期望 ，作前 个随机变量的算术平均： 则，有：定理辛钦定理 ： 定理5.2表明，当n很大时，的算术平均 接近于数学期望 。这种接近是在概率意义下的接近。11nk

2、kXn12,nXXX此外，定理中要求随机变量的方差存在，但当随机变量服从相同分布时，就不需要这一要求。第2页/共41页4112111,( 1,1).111123nnnnkkkkkkXXXUXXXnnn设随机变量相互独立同分布，则（），（ ），（ ）分别依概率收敛吗？如果依概率收敛，分别收敛于什么？1111222112111,(),(),()111nnnnnnkkkkkkXXE XXXE XXXE XXXXnnn解：由辛钦大数定律，相互独立同分布，存在,相互独立同分布，存在,相互独立同分布，存在,故，均依概率收敛。1()0,E X因为，11nkkXn P故，0，111(),E Xxdx11同理，

3、2212211(),E Xxdx112311nkkXn P1，2211nkkXn P1。3第3页/共41页5,0,5 4 1.AAnApnnnAlim Ppn 设事件 在每次试验中发生的概率为 ，记为 次独立重复试验 中 发生的次数 则有定理伯努里大：数定律,Anb n p证明：利用契比雪夫不等式，因故：11,AAnEE nnppnnn20,1AnpqPpnn 于是，有2211AAnpqDD nnpqnnnn1Annlim Ppn即得：第4页/共41页65.5 定理独立同分布的中心极限定理210,1 .(,),nniinYNXN nn此定理表明，当 充分大时，近似服从即：（近似）11niiXX

4、n思考题：的近似分布是什么？2( ,)Nn答案：2122112,1,2,1,2niiniinnitxinnnXXE XD XiXnnYnXnxRlim P Yxlim Pxedtn 设随机变量X相互独立同分布，则前 个变量的和的标准化变量为：有： 1()()().niibnanP aXbnn 从而，第5页/共41页75.6 定理德莫佛-拉普拉斯定理 2201 ,1,lim,(1)2AtbAnannAP Appnnpa bP abedtnpp设为 重贝努里试验中 发生的次数，则对任何区间(，有：() (,(1).AnN np npp即:近似()(1)()(1)AP anbbnpnppanpnpp

5、 第6页/共41页8121616,XXX解：记只电器元件的寿命分别为16116iiXX则只电器元件的寿命总和为,2100,1001,2,16.iiE XD Xi由题设,知，16116 10016000,14 100400iiXXYN根据独立同分布的中心极限定理: 近似服从 192011920P XP X 1920 16001400 10.80.2119 第7页/共41页9200P X,10000,0.017b n pnp解：设X为一年中投保老人的死亡数，则X由德莫佛-拉普拉斯中心极限定理，保险公司亏本的概率为：1000010000 200PX 20011npnpp 12.3210.01 10思

6、考题：求保险公司至少盈利万元的概率。答案： 0.937第8页/共41页10400 0.02 0.982.8121(1)17 0.99382.8npqnpP XP Xnpq ,400,0.02 b解：设机器出故障的台数为X 则X，分别用三种方法计算：1. 用二项分布计算40039921011 0.98400 0.02 0.980.9972P XP XP X 2. 用泊松分布近似计算400 0.028 ,21011 0.0003350.0026840.9969.npP XP XP X 3. 用正态分布近似计算第9页/共41页1112012020202111,( 1,1)111123202020kk

7、kkkkXXXUXXX设随机变量相互独立同分布，。分别求（），（ ），（ ）的近似分布。2020202111111202020kkkkkkXXX解：由中心极限定理，均近似服从正态分布。1()0,E X因为，1(),E X1221(),E X1314(),12D X132011(0,),20kkXN近似16022111()() (),D XE XE X1122011( ,)20kkXN近似11，2 2402422111()() (),D XE XE X1145945211( ,)nkkXNn近似11。3 225第10页/共41页12nA解：设在 重贝努里试验中，事件 出现的次数为X，,0.75b

8、 n则X,0.75 ,0.1875 ,E Xnpn D Xnpqn0.760.750.740.750.740.76()()0.18750.1875nnnnXPnnn (2)18750n 契比雪夫不等式估计。(1)7500,0.740.76XnPn0.760.750.740.75()()0.18750.1875nnnnnn 0.042 () 12 (2) 10.95443n 0.042 () 10.9,3n 0.04()0.95,3n 20.041.645,(25 1.645)350743nn 第11页/共41页13nA解：设在 重贝努里试验中，事件 出现的次数为X，,0.75b n则X,0.7

9、5 ,0.1875 ,E Xnpn D Xnpqn nXfAn又 0.740.760.750.01XPP Xnnn(2)20.187510.01nn 187510.90n 18750n(1)7500,0.740.760.750.01XnPP Xnnn20.187510.01nn 187510.757500 第12页/共41页14nX20iiEXDX且，11lim1niinXnPniiXnP111121(n)niiiXnnnPXPnn 当 充分大211nn 5.2定理契比雪夫不等式的特殊情形第13页/共41页15第14页/共41页16关键词： 总 体 个 体 样 本 统 计 量 2分布t 分布F

10、 分布第六章 数理统计的基本概念第15页/共41页17 例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者为次品，如何确定次品率？由于灯泡寿命试验是破坏性试验，不可能把整批灯泡逐一检测，只能抽取一部分灯泡作为样本进行检验，以样本的信息来推断总体的信息，这是数理统计学研究的问题之一。第16页/共41页18 一一个统计问题总有它明确的研究对象个统计问题总有它明确的研究对象.研究对象的全体称为研究对象的全体称为总体总体(母体母体)，总体中每个成员称为总体中每个成员称为个体个体.研究某批灯泡的质量研究某批灯泡的质量考察国产轿车的质量考察国产轿车的质量总体总体总体总体总体与个体第17页/共41页19 然而在统计研究

11、中，人们往往关心每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体.该批灯泡寿命的该批灯泡寿命的全体就是总体全体就是总体灯泡的寿灯泡的寿命命国产轿车每公里国产轿车每公里的耗油量的耗油量所有国产轿车每公里耗所有国产轿车每公里耗油量的全体就是总体油量的全体就是总体第18页/共41页20第19页/共41页211. 样本的定义样本的定义 为推断总体的分布及各种特征,按一定的规则从总体中抽取若干个体进行观察试验,以获得有关总体的信息.这一抽取过程称为“抽样”. 所抽取的部分个体称为样本.通常记为样本中所包含的个体数目n称为样本容量.12(,)nX

12、XXX第20页/共41页222. 简单随机样本简单随机样本 抽取样本的目的是为了利用样本对总体进行统计推断,这就要求样本能很好的反映总体的特性且便于处理.为此,需对抽样提出一些要求,通常有两条:12( ,),nx xx第21页/共41页23获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样.1. 代表性代表性： X1,X2, Xn中每一个与所考中每一个与所考察的总体察的总体X有相同的分布有相同的分布.2. 独立性独立性： X1,X2, Xn是相互独立的随是相互独立的随机变量机变量.第22页/共41页24 121,nnniifx xxf x第23页/共41页2511 1. niiXXn样本均值111 1

13、,2,1 () 2,3. nkkiinkkiikAXknkBXXkn样本矩阶矩：阶中心矩：2211 2. (1 ) ,niiSXXSn样本方差为样本标准差11221111,11()1111,2,() 2,nnnniiiinnkkkikiiiXXxxxxsxxnnaxkbxxknn当获得样本的观察值后，上述统计量的观察值记为， ，第24页/共41页26 221231232123323121, 1 2 2 3 max, 1 4 5 iiNXXXXXXXXXXXXX 思考题：设在总体中抽取样本其中 已知，未知 指出在中哪些是统计量，哪些不是统计量， 为什么？222,.,(),()()_,()_,()

14、_.nXXXXE XD XE XD XE S1例1 设是总体 的样本，若，则答：只有(4)不是统计量。2n22222(1),01,( )0,.,()_,()_,()_.nxxXf xXXXXE XE XE S1例2 设总体 的概率密度为其它是总体 的样本，则101()2 (1),3E Xxx dx解：12201()2(1),6E Xxx dx1(),18D X 1311189n118 第25页/共41页27 22212212,0,1 1,2, 11ninniiXXXXNinXnn定义：设随机变量相互独立， 则称 服从自由度为 的分布，记为 指式右端包含的独立变自由度量的个数. 22122101

15、 026.1 22 0 0 nynnxyeynfynyxe dx定理：分布的概率密度为： 其中2分布x( )f x010n 1n4n 2分布的概率密度函数第26页/共41页282分布的一些重要性质： 2222,1. 2nEn Dn设则有2221122121212,2. YnYnY YYYnn设且相互独立，则有22分布的可加性性质 称为，可推广到有限个的情形： 221211,mmiimiiiiYnY YYYn设且相互独立，则 22222,01,nnfy dynnn上 分对给定的概率称满足条件的点为分布的上 分位位数数的值可查分布表 2n02分布的上 分位数x( )f x第27页/共41页29 2

16、2122221222123451, , ,1() 5)(2) ( ), ,nniiXNXXXXXna XXbXXXka b k 例 ：设总体已知。是取自总体 的样本 求(1)统计量 的分布； （2）设,若 ( 则各为多少？ 1,2,iiXYin解：(1)作变换 12,0,1 1,2,niY YYYNin显然相互独立，且 22211()nniiiiXYn2于是 22212122()(2)(0,2),(1)2XXXXN2223453452(2)2(0,6),(1)6XXXXXXN123452223451222(2)()(2)26XXXXXXXXXX与2相互独立，故221,21,62.abk第28页

17、/共41页30 20,1 ,XNYnX YXTTt nY nnt定义：设并且相互独立， 则称随机变量服从自由度为 的 分布，记为 , 01,tnf t n dttnt ntt对给定的称满足条件的点为分布的。 分布的上 分位数可分位数查上分布表t分布 1212226.2 ,1, nnntt nf t ntnn 定理：分布的概率密度为： tn f xx0t分布的上 分位数10n 313x( )f x1n 4n 2021t分布的密度函数1( )( )tntn 第29页/共41页31 221211212212, ,/,/ ,XnYnX YX nFn nFFF n nY nnn定义：设且独立， 则称随机

18、变量服从自由度的 分布，记为 其中 称为第一自由度，称为第二自由度F分布 121212221212121221221211106.3 ,1 0, ;, 0 0,1 nnnnnnnbF n nn nxnn xxBf x n nxabB a bxxdx定理：分布的概率密度为： 其中ab 11221( ,),(,)FF n nFF n n性质：则第30页/共41页32121212,1212, 01,;,Fn nf x n ndxFn nF n nFn nF 对于给定的称满足条件的点为分布的上 分位数。的值可查 分布表0 x12 f x1220,nn 1220,25nn1220,10nnF分布的密度函

19、数0 x12,Fn n( )f xF分布的上 分位数111221( ,)(,)Fn nF n n第31页/共41页33z,0,1 ,01XNzP Xzz此外 设若满足条件 则称点为标准正态分布的上 分位数。1zz 第32页/共41页342122222226.4 , 1. ,1 2. 1 3. nXXXNX SXNnnSnXS 定理：设是总体的样本，分别是样本均值和样本方差，则有：和相互独立.22111/tn XnSXnt nSn且两者独立，由 分布定义得：2216.5 ,1nXXNXSn Xt nS 定理： 设是总体的样本， 和分别是样本 均值和样本方差，则有：22216.40,1 ,1 ,/

20、nSXNnn证明：由定理知，第33页/共41页351222111122221222222111122222221212221212216.6 , 1 1,12(0,1), 3 nnXXYYNNSSSSFF nnSSXYNnn 定理： 设样本和分别来自总体和 并且它们相互独立，其样本方差分别为则：当122221212221122221221111 ,2wwwwXYt nnSnnnSnSSSSnn时，其中第34页/共41页36F且两者独立，由 分布的定义，有： 22112222122212116.41 ,1nSnSnn证明： 1 由定理知，22121212(2)6.4,(,),(,),XNYNXYnn由定理且 与 相互独立，22121212(,)XYNnn所以，2111222121122222212222111,111nSnSF nnnSSn12221212()()(0,1)XYNnn即第35页/共41页12120,111XYUNnn 213 222当=时，由（2）得2,且它们相互独立 故有分布的可加性知：22112222122211 1 ,1nSnSnn又由给定条件知：,UV且 与 相互独立2211222122112nSnSVnn121212122112wtXYUt nnVnnSnn于是按 分布知： 第36页/共41页38 2141922122212142