数学北师大必修四平面向量的坐标实用教案

1、思考思考(sko)(sko)：1.1.平面内建立了直角坐标系平面内建立了直角坐标系, ,点点A A可可以用什么来表示以用什么来表示? ?2.2.平面向量平面向量(xingling)(xingling)是否也有是否也有类似的表示呢类似的表示呢? ?OxyA A(a,b)(a,b)a ab ba第1页/共28页第一页，共28页。1.1.掌握平面(pngmin)(pngmin)向量正交分解及其坐标表示. .（重点）2.2.会用坐标表示平面向量(xingling)(xingling)的加、减及数乘运算. .（重点）3.3.理解用坐标表示的平面向量共线的条件(tiojin).(tiojin).（难点）第

2、2页/共28页第二页，共28页。x xy yo oij式是向量式是向量 的坐标的坐标(zubio)(zubio)表示表示. .注意：每个向量都有唯一注意：每个向量都有唯一(wi y)(wi y)的的坐标坐标. .探究点探究点1 1 平面平面(pngmin)(pngmin)向量的坐标向量的坐标表示表示在直角坐标系内，我们分别在直角坐标系内，我们分别a第3页/共28页第三页，共28页。1 12 2-2-2-1-1x xy y4 45 53 3-4-4 -3 -2-3 -2 -1-1 1 1 2 2 3 3 4 4第4页/共28页第四页，共28页。例例2 2 在平面在平面(pngmin)(pngmi

3、n)内以点内以点O O的正东方向为的正东方向为x x轴正向，正轴正向，正北方向为北方向为y y轴的正向建立直角坐标系，质点在平面轴的正向建立直角坐标系，质点在平面(pngmin)(pngmin)内做直线运动，分别求下列位移向量的坐标内做直线运动，分别求下列位移向量的坐标( (如图如图).).解：设解：设 并设并设P P（x1x1，y1y1），），Q Q（x2x2，y2y2），），R R（x3x3，y3y3）. .（1 1）由图可知）由图可知(k zh)(k zh)，POP=45POP=45，| |=2.| |=2.所以所以OPa,OQb,ORc, aOPOPP P2i2j.a( 22). 所以

4、，OP byPPRxRc60ij45QQOa30第5页/共28页第五页，共28页。（2 2）因为）因为(yn wi)QOQ=60(yn wi)QOQ=60，|O | 3,bOQOQQ Q Q所以33 33 3 3ij.b(,).2222 所以（3 3）因为）因为(yn wi)ROR=30(yn wi)ROR=30， 所以，所以，|OR | 4,cOROR +R R=2 3i2j. 所以c=(2 32).，第6页/共28页第六页，共28页。思考1 1：什么时候(sh hou)(sh hou)向量的坐标能和点的坐标统一起来？向量向量(xingling)(xingling)的起点的起点为原点时为原点

5、时. .一一对应一一对应y yx x第7页/共28页第七页，共28页。在同一在同一(tngy)(tngy)直角坐标系内画出下列直角坐标系内画出下列向量向量. .解：解：练一练练一练：. . .-1-11 11 12 2第8页/共28页第八页，共28页。思考2 2：相等向量(xingling)(xingling)的坐标有什么关系？提示：相等提示：相等, ,与起点与起点(qdin)(qdin)的位置无关的位置无关. .1 1A AB B1 1x xy yA A1 1B B1 1(x(x1 1,y,y1 1) )(x(x2 2,y,y2 2) ). . .第9页/共28页第九页，共28页。(1)(1

6、)任一平面向量都有唯一任一平面向量都有唯一(wi y)(wi y)的坐标的坐标. .(2)(2)当向量的起点当向量的起点(qdin)(qdin)在原点时，向量终点的坐在原点时，向量终点的坐标即为向量的坐标标即为向量的坐标. .(3)(3)相等的向量相等的向量(xingling)(xingling)有相等的坐标有相等的坐标. .结论：结论：第10页/共28页第十页，共28页。思考思考3 3：全体有序实数对与坐标：全体有序实数对与坐标(zubio)(zubio)平面内的所平面内的所有向量是否一一对应？有向量是否一一对应？ 因此因此, ,在直角坐标系中在直角坐标系中, ,点或向量点或向量(xingl

7、ing)(xingling)都都可以看作有序实数对的直观形象可以看作有序实数对的直观形象. .第11页/共28页第十一页，共28页。第12页/共28页第十二页，共28页。探究点探究点2 2 平面平面(pngmin)(pngmin)向量线性运算的坐标表示向量线性运算的坐标表示解：解：第13页/共28页第十三页，共28页。结论1 1：向量和与差的坐标分别(fnbi)(fnbi)等于各向量相应坐标的和与差. .结论2 2：实数与向量积的坐标分别(fnbi)(fnbi)等于实数与向量的相应坐标的乘积. .第14页/共28页第十四页，共28页。A(xA(x1 1,y,y1 1) )O Ox xy yB(

8、xB(x2 2,y,y2 2) )结论3:3:一个向量(xingling)(xingling)的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标. .向量坐标与向量始点、终点向量坐标与向量始点、终点(zhngdin)(zhngdin)之间的关系之间的关系因为因为(yn wi)第15页/共28页第十五页，共28页。解：解：第16页/共28页第十六页，共28页。y yx xo oA AB BC CD D得（0,20,2）- -（1,01,0）= =（-1,-2-1,-2）- -（x,yx,y）即（-1-1，2 2）= =（-1-x-1-x，-2-y-2-y），即点D D的坐标(zubio)(zubio)

9、为（0 0，-4-4）. .解：解：第17页/共28页第十七页，共28页。解：由已知解：由已知 得得（3 3，4 4）+ +（2 2，-5-5）+ +（x,yx,y）= =（0 0，0 0）, ,123,FFF0, 32x0,45y0, 所以x5,y1. 所以3F( 5,1). 所以第18页/共28页第十八页，共28页。11221122221212221221121212a,bax ,y ,bx ,y.ababx iy j x iy jx iy jxx,yyyxx yx y0.y0y0bxx.yy设设是是非非零零向向量量，且且（）若若 ，则则存存在在实实数数 使使，由由平平面面向向量量基基本本

10、定定理理可可知知于于是是，得得若若且且（即即向向量量 不不与与坐坐标标轴轴平平行行），则则上上式式可可变变形形为为探究点3 3 向量平行（共线）的坐标(zubio)(zubio)表示第19页/共28页第十九页，共28页。我们可以得出：我们可以得出：定理：若两个定理：若两个(lin )(lin )向量（与坐标向量（与坐标轴不平行）平行，则它们相应的坐标成轴不平行）平行，则它们相应的坐标成比例比例. .定理：若两个定理：若两个(lin )(lin )向量相对应的向量相对应的坐标成比例，则它们平行坐标成比例，则它们平行. .第20页/共28页第二十页，共28页。解解: :依题意依题意(t (t y)

11、,y),得得第21页/共28页第二十一页，共28页。1.1.若向量若向量(xingling) (xingling) =( )=( )A.(4A.(4，6) B.(-4,-6)6) B.(-4,-6)C.(-2,-2) D.(2,2)C.(-2,-2) D.(2,2)AB1,2 BC3,4 ，AC 则 A A第22页/共28页第二十二页，共28页。B B2.2.已知点已知点A(A(1 1，5)5)和向量和向量(xingling)a=(2,3)(xingling)a=(2,3)，若，若 则点则点B B的坐标为的坐标为( )( )A(6,9) B(5,4) C(7,14) D(9,24)A(6,9)

12、 B(5,4) C(7,14) D(9,24)AB3 , a3.(20143.(2014北京(bi jn)(bi jn)高考) )已知平面向量a=(2,4)a=(2,4)，b=(-1,1)b=(-1,1)，则2a-b2a-b等于 ( ) ( )A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9)A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9)A A第23页/共28页第二十三页，共28页。4. 4. （20132013陕西高考陕西高考(o ko)(o ko)）已知向）已知向量量 , , 若若 , , 则实数则实数m m等于等于( )( )A A B. B. C. C. 或

13、或 D.0 D.022C第24页/共28页第二十四页，共28页。5.5.已知已知(1,1),( ,1),2 ,2,abxuab vab(1)(1)若若3 ,uv求求x.x.(2)(2)若若,uv求x.x.解：解：(1,1),( ,1),abx因为(1,1)2( ,1)(1,1)(2 ,2)(21,3)uxxx所以，2(1,1)( ,1)(2,1).vxx(1)3(21,3)3(2,1),uvxx，得(21,3)(63 ,3),xx所以2163 , xx所以解得：解得：1.x(2)(21)3(2)0,uvxx ，得1.x解得第25页/共28页第二十五页，共28页。1.1.向量的坐标(zubio)(zubio)的概念: :2.2.对向量坐标对向量坐标(zubio)(zubio)表示的表示的理解理解: :3.3.平面向量平面向量(xingling)(xingling)的坐标运算的坐标运算. .(1)(1)任一平面向量都有唯一的坐标任一平面向量都有唯一的坐标. .(2)(2)向量的坐标与其始点、终点坐标的关系向量的坐标与其始点