数学选修2-1第二章 第二章 241 抛物线及其标准方程

1、理解教材新知把握热点考向应用创新演练第二章考点一考点二2.42.4.1知识点一知识点二考点三 如图，我们在黑板上画一条直线如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链然后取一个三角板，将一条拉链AB固定固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在边一半的一端固定在C点，将三角板的点，将三角板的另一条直角边贴在直线另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线笔会画出一条曲线问题问题1：画出的曲线是什么形状？：画出的曲线是什么形状？提示：抛物线提示：

2、抛物线问题问题2：|DA|是点是点D到直线到直线EF的距离吗？为什么？的距离吗？为什么？提示：是提示：是AB是直角三角形的一条直角边是直角三角形的一条直角边问题问题3：点：点D在移动过程中，满足什么条件？在移动过程中，满足什么条件？提示：提示：|DA|DC|. 抛物线的定义抛物线的定义 平面内与一个定点平面内与一个定点F和一条定直线和一条定直线l(l不经过点不经过点F) 的点的轨迹叫做抛物线，点的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的叫做抛物线的 ，直线，直线l叫做抛物线的叫做抛物线的 .距离相等距离相等焦点焦点准线准线 平面直角坐标系中，有以下点和直线：平面直角坐标系中，有以下点和直线：A(1

3、,0)，B(1，0)，C(0,1)，D(0，1)；l1：x1，l2：x1，l3：y1，l4：y1. 问题问题1：到定点：到定点A和定直线和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是距离相等的点的轨迹方程是什么？什么？ 提示：提示：y24x. 问题问题2：到定点：到定点B和定直线和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是距离相等的点的轨迹方程是什么？什么？ 提示：提示：y24x. 问题问题3：到定点：到定点C和定直线和定直线l3，到定点，到定点D和定直线和定直线l4距离距离相等的点的轨迹方程分别是什么？相等的点的轨迹方程分别是什么？ 提示：提示：x24y，x24y.抛物线标准方程的几种形式抛物线标准方程的几种

4、形式图形图形标准方程标准方程焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程 y22px (p0)y22px (p0)图形图形标准方程标准方程焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程 x22py (p0)x22py (p0)例例1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)准线方程为准线方程为2y40；(2)过点过点(3，4)；(3)焦点在直线焦点在直线x3y150上上 (3)令令x0得得y5；令；令y0得得x15. 抛物线的焦点为抛物线的焦点为(0，5)或或(15,0) 所求抛物线的标准方程为所求抛物线的标准方程为x220y或或y260 x. 一点通一点通求抛物线方程的主要方法

5、是待定系数法，求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出求出p值即可；若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况值即可；若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论讨论.另外，焦点在另外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成轴上的抛物线方程可统一设成y2ax(a0)，焦点在，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成轴上的抛物线方程可统一设成x2ay(a0)答案：答案：A2已知抛物线的焦点在已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点轴上，抛物线上的点M(3，m)、 到焦点的距离是到焦点的距离是5. (1)求抛物线方程和求

6、抛物线方程和m的值；的值； (2)求抛物线的焦点和准线方程求抛物线的焦点和准线方程 例例2已知抛物线的方程为已知抛物线的方程为x28y，F是焦点，点是焦点，点A(2,4).在此抛物线上求一点在此抛物线上求一点P，使，使|PF|PA|的值最小的值最小 精解详析精解详析(2)284，点点A(2,4)在抛物线在抛物线x28y的内部的内部如图，设抛物线的准线为如图，设抛物线的准线为l，过点，过点P作作PQl于点于点Q，过点，过点A作作ABl于点于点B. 一点通一点通利用抛物线的定义可实现抛物线上的点到利用抛物线的定义可实现抛物线上的点到焦点和到准线距离的相互转化解此类最值、定值问题时，焦点和到准线距离

7、的相互转化解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用首先要注意抛物线定义的转化应用;其次是注意平面几何其次是注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线中垂线段最短等等关系，点与直线上点的连线中垂线段最短等3点点P为抛物线为抛物线y22px上任一点，上任一点，F为焦点，则以为焦点，则以PF为直为直 径的圆与径的圆与y轴轴 () A相交相交 B相切相切 C相离相离 D位置由位置由F确定确定答案：答案：B答案：答案：A 例例3某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已某大桥在涨水时有最大跨度的中央

8、桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面米，拱顶距水面6米，桥墩米，桥墩高出水面高出水面4米现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不米现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过超过18米，目前吃水线上部分中央船体高米，目前吃水线上部分中央船体高5米，宽米，宽16米，米，且该货船在现在状况下还可多装且该货船在现在状况下还可多装1 000吨货物，但每多装吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升吨货物，船体吃水线就要上升0.04米，若不考虑水下米，若不考虑水下深度，深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为

9、什么？桥孔？为什么？精解详析精解详析如图所示，如图所示， 一点通一点通涉及桥的高度、隧道的高低等抛物线型问涉及桥的高度、隧道的高低等抛物线型问题，通常用抛物线的标准方程解决题，通常用抛物线的标准方程解决.建立直角坐标系后，建立直角坐标系后，要结合点的位置分析坐标的符号，根据实际问题中的数据要结合点的位置分析坐标的符号，根据实际问题中的数据准确写出点的坐标，再结合实际问题求解准确写出点的坐标，再结合实际问题求解5探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛 物线的焦点处已知灯口直径是物线的焦点处已知灯口直径是60 cm，灯深，灯深40 cm， 则光

10、源到反光镜顶点的距离是则光源到反光镜顶点的距离是 () A11.25 cm B5.625 cm C20 cm D10 cm答案：答案：B6一辆卡车高一辆卡车高3 m，宽，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧，欲通过断面为抛物线形的隧 道，已知拱口宽恰好是拱高的道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为倍，若拱口宽为a m，求，求 使卡车通过的使卡车通过的a的最小整数值的最小整数值 1.求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式，易混淆，解题时一定要做到数形结合，按照种形式，易混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定型定型”(确定焦点位置确定焦点位置