娃娃1.3.1空间几何体的表面积和体积

1、1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积和体积 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？几何体表面积几何体表面积展开图展开图平面图形面积平面图形面积空间问题空间问题平面问题平面问题 正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和们的表面积就是各个面的面积的和 因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积图形求面积的方法，求

2、立体图形的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？ 棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？h正棱柱的侧面展开图正棱柱的侧面展开图 棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？/h/h正棱锥的侧面展开图正棱锥的侧面展开图 棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？侧面展开正棱锥的侧面展开图正棱锥的侧面展开图 棱台

3、的侧面展开图是什么？如何计算它的表棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？面积？侧面展开hh正棱台的侧面展开图正棱台的侧面展开图 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和h 例例1 已知棱长为已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面，各面均为等边三角形的四面体体S-ABC，求它的表面积，求它的表面积 DBCAS 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形分析：四面体的展开

4、图是由四个全等的正三角形组成组成因为因为BC=a，aSBSD2360sin所以：所以： 243232121aaaSDBCSABC因此，四面体因此，四面体S-ABC 的表面积的表面积交交BC于点于点D解：先求解：先求 的面积，过点作的面积，过点作 ，ABCBCSD 22343.4SaaOOr)(2222lrrrlrS圆柱表面积lr2圆柱的侧面展开图是矩形圆柱的侧面展开图是矩形圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的侧面展开图是扇形)(2lrrrlrS圆锥表面积r2lOr 参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么面展开图是什么 )(22rllrrrS圆

5、台表面积r2lOrO r2 r圆台的侧面展开图是扇环圆台的侧面展开图是扇环lOrO rlOrlOOr)(2lrrS柱)(lrrS锥)(22rllrrrS台 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？关系？rr上底扩大上底扩大r0上底缩小上底缩小 例例2 2 如图，一个圆台形花盆盆口直径如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm20 cm，盆，盆底直径为底直径为15cm15cm，底部渗水圆孔直径为，底部渗水圆孔直径为1.5 cm1.5 cm，盆壁长，盆壁长15cm15cm那么花盆的表面积约是多少平方厘米（那么花盆的表面积约是多少平方厘米（ 取取3.14

6、3.14，结果精确到，结果精确到1 1 ）？）？2cmcm15cm20cm15 解：由圆台的表面积公式得解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：花盆的表面积：2225 . 11522015215215S)(9992cm答：花盆的表面积约是答：花盆的表面积约是999 999 2cm 以前学过特殊的棱柱以前学过特殊的棱柱正方体、长方体以及圆柱正方体、长方体以及圆柱的体积公式的体积公式, ,它们的体积公式可以统一为：它们的体积公式可以统一为：ShV （S为底面面积，为底面面积，h为高）为高）一般棱柱体积也是：一般棱柱体积也是：ShV 其中其中S为底面面积，为底面面积，h为棱柱的高为棱柱的高圆锥的体积

7、公式：圆锥的体积公式：ShV31（其中（其中S为底面面积，为底面面积，h为高）为高）圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 31探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系三棱锥与同底等高的三棱柱的关系三棱锥与同底等高的三棱柱的关系ShV31（其中（其中S为底面面积，为底面面积，h为高）为高） 由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于底面面积乘高的底面面积乘高的 31 经过探究得知，棱锥也是同底等高

8、的棱柱体积经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积的的 即棱锥的体积：即棱锥的体积：31 由于圆台由于圆台( (棱台棱台) )是由圆锥是由圆锥( (棱棱锥锥) )截成的，因此可以利用两个锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差得到圆台体的体积差得到圆台( (棱台棱台) )的的体积公式体积公式( (过程略过程略) )根据台体的特征，如何求台体的体积？根据台体的特征，如何求台体的体积？ABABCDCDPSShDCBAPABCDPVVVhSSSS)(31棱台（圆台）的体积公式棱台（圆台）的体积公式hSSSSV)(31 其中其中 ， 分别为上、下底面面积，分别为上、下底面面积，h为圆台为圆台（棱台）的高

9、（棱台）的高SS柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？hSSSSV)(31S为底面面积，为底面面积，h为柱体高为柱体高ShV 0S S分别为上、下分别为上、下底面底面面积，面积，h 为台体高为台体高ShV31SS S为底面面积，为底面面积，h为锥体高为锥体高上底扩大上底扩大上底缩小上底缩小 例例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 ）六角螺帽共重）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边，已知底面是正六边形，边长为形，边长为12mm，内孔直径为，内孔直径为10mm，高为，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（问这堆螺

10、帽大约有多少个（ 取取3.14）？）？3/8 . 7cmg 解：六角螺帽的体积是六棱解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即柱的体积与圆柱体积之差，即: :10)210(14. 3106124322V)(29563mm)(956. 23cm所以螺帽的个数为所以螺帽的个数为252)956. 28 . 7(10008 . 5（个）（个）答：这堆螺帽大约有答：这堆螺帽大约有252252个个柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和各面面积之和rr0 r展开图展开图)(22rllrrrS 圆台圆台圆柱圆柱)(2lrrS)(lrrS圆锥圆锥柱体、锥体、台体的体积柱体、锥体、台

11、体的体积ShV31锥体锥体hSSSSV)(31台体台体柱体柱体ShV SS 0S生活中常见的球体：生活中常见的球体：思考：思考： 一一 球的概念是什么？球的概念是什么？ 二二 球有哪些性质？球有哪些性质？ 三三 如何求球的体积如何求球的体积 和表面积？和表面积？1 1 球的球的概念和概念和性质性质2 2球的球的体积体积3 3 球的球的表面积表面积4 4 例题例题讲解讲解5 5 课堂课堂练习练习6 6 课堂课堂小结小结7 7 课堂课堂作业作业球球球的概球的概念和性念和性质质 球的概念球的概念ABORC一一 如图所示，半圆以它的直如图所示，半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面径为旋转轴，旋转所成

12、的曲面叫做叫做球面球面. . 球面所围成的几何球面所围成的几何体叫做体叫做球体球体，简称，简称球球. . 半圆的半圆的圆心叫圆心叫球心球心, ,图中点图中点O O. . 连结球连结球心和球面上任意一点的线段叫心和球面上任意一点的线段叫做做球的半径，球的半径，图中线段图中线段R R. . 连结连结球面上两点并且经过球心的线球面上两点并且经过球心的线段叫做段叫做球的直径，球的直径，图中线段图中线段ABAB. .球的概球的概念和性念和性质质 球的概念球的概念一一QPO 球面被经过球心的平面截得的圆叫做球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆大圆（如（如图中红色部分），被不经过球心的截面截得的圆叫图中红色

13、部分），被不经过球心的截面截得的圆叫做做小圆小圆（如图中绿色部分）（如图中绿色部分）. . 球面上两点之间最短连线球面上两点之间最短连线的长度，就是经过这两点的的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点的长度，这个弧长叫做两点的的球面距离球面距离（如图中（如图中 的长的长度就是度就是P P、Q Q两点之间的球面两点之间的球面距离距离 ）. .PQ球的概球的概念和性念和性质质 球的性质球的性质二二do1o2Rr 用一个平面（如图中平面用一个平面（如图中平面 ）去截一个球，）去截一个球，截面是圆面，球的截面有下面的性质：截面是圆面，球的截面有下

14、面的性质：、球心和截面圆心的连线、球心和截面圆心的连线 垂直于截面（如图直线垂直于截面（如图直线o o1 1o o2 2垂直于平面垂直于平面 ）；）；、球心到截面的距离、球心到截面的距离d d与球的半径与球的半径R R及截面的半及截面的半径径r r有下面的关系：有下面的关系：22drR球的球的体积体积我们先来回忆圆面积计算公式我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法：的导出方法：联想 把一个半径为把一个半径为R R的圆分成若干等分后重新拼接起的圆分成若干等分后重新拼接起来，就可以近似的看成是边长分别为来，就可以近似的看成是边长分别为 R R和和R R的矩形，的矩形，所以圆的面积近似等于所以圆的面积

15、近似等于 . .2RAO球的球的体积体积 类似的，我们也可以用这种方类似的，我们也可以用这种方法导出球的体积公式法导出球的体积公式. .如图所示，如图所示，把半球的垂直于底面的半径把半球的垂直于底面的半径OAOA作作n n等分，过这些等分点用一组平行于等分，过这些等分点用一组平行于底面的平面把半球切割成底面的平面把半球切割成n n层层. .每一每一层都近似于圆柱形的层都近似于圆柱形的“小圆片小圆片”，这些这些“小圆片小圆片”的体积之和就是半的体积之和就是半球的体积球的体积. .上面求圆的面积所用的方法为：上面求圆的面积所用的方法为：分割分割近似求和近似求和化成准确值化成准确值球的球的体积体积A

16、OO1O2RriB“小圆片小圆片”的厚度为的厚度为 ，Rn22ir(1) ,1,2,., .RRiinn32211 () ,1,2,iiRRiVrinnnn第第i i层层“小圆片小圆片”的下底面半的下底面半径径12nVVVV半球3222212(1)Rnnnn321(1)(21)6Rnnnnnn 6)12)(1(11 23 nnnR 球的球的体积体积6)12)(11(13nnRV 半半球球.01, nn时时当当.343233RVRV 从从而而半半球球343VRR半径是 的球的体积为：定理： 球的球的表面积表面积 我们再次运用推导球的体积公式时的方我们再次运用推导球的体积公式时的方法，推导球的表面

17、积公式法，推导球的表面积公式. .（1 1）、）、分割分割. .如下图如下图. .把球把球O O的表面分成的表面分成n n个小网个小网格，设它们的表面积分别是格，设它们的表面积分别是S1S1，S2 S2 ， ，SnSn，显然，球的表面积是，显然，球的表面积是S= S= S S1 1+ + S S2 2 + + + SnSn. . 把球心把球心O O和每个小网格的顶点连接起来，整个和每个小网格的顶点连接起来，整个球体就被分割成球体就被分割成n n个个“小锥体小锥体”. .oSi 球的球的表面积表面积以第以第i i个网格为底面的个网格为底面的“小锥体小锥体”，其底，其底面为球面的一部分，面为球面的

18、一部分，所以是曲的，但如果每个所以是曲的，但如果每个小网格都非常小，就近似小网格都非常小，就近似于于“平平”的，每个的，每个“小棱小棱体体”就近似于棱锥，它们就近似于棱锥，它们的高近似于球半径的高近似于球半径R.R.o 球的球的表面积表面积(2)(2)、近似求和近似求和. .O OiSiV由第一步得：由第一步得：nVVVVV 321nnhShShShSV 31313131332211 iiihSV 31 球的球的表面积表面积RSVii31 如果网格分的越细如果网格分的越细, ,则则: “: “小小锥体锥体”就越接近小棱锥就越接近小棱锥. .RSRSRSRSVni 3131313132 RSSS

19、SSRni31).(3132 334RV 又又球球的的体体积积为为：23441,33RR SSR从 而Rhi的的值值就就趋趋向向于于球球的的半半径径 iS iVihRSiVi（3 3）、）、化为准确值化为准确值例题例题讲解讲解例例1 1. .一种空心钢球的质量是一种空心钢球的质量是142g,142g,外径是外径是5cm,5cm,求它的内径求它的内径.(.(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm2)7.9g/cm2)ORx答答: :空心钢球的内径约为空心钢球的内径约为4.5cm.4.5cm.14234)25(349.733 x 3351423()11.327.94x由计算器算得由计算器算得: :24. 2 x24.5x 解解: :设空心钢球的内径为设空心钢球的内径为2xcm,2xcm,则钢球的质量是则钢球的质量是例题例题讲解讲解例例2 2、如图，圆柱的底面直径与高都等于球的如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径直径. .求证：求证：（1 1） 球的表面积等于球的表面积等于 圆柱的侧面积；圆柱的侧面积；（2 2） 球的表面积等于球的表面积等于 圆柱全面积的圆柱全面积的2/3.2/3.OR证明证明：（：（1 1）设球的半径为）设球的半径为 R R，则圆柱的底面半