复变函数与积分变换第三章复变函数的积分

1、 本章介绍复变函数的积分概念，解析本章介绍复变函数的积分概念，解析函数积分的主要性质函数积分的主要性质. 重点是重点是Cauchy积分积分定理、定理、Cauchy积分公式、积分公式、Cauchy(高阶高阶)导数公式导数公式.3.1 复变函数的积分复变函数的积分1 积分的概念积分的概念2 积分存在条件及性质积分存在条件及性质3 积分的计算积分的计算3.1.1 积分的概念积分的概念1,knnzzzZ 定义定义3.1 设设 C是复平面上以是复平面上以z0为起点为起点, Z为终为终oxy0zZ1 nzkz1 kz2z1zC有向简单连续曲线，有向简单连续曲线， ( )f z是是C上的复变函数上的复变函数

2、. 在在C上依次取分点上依次取分点 把曲线把曲线C分割为分割为n个小段个小段. (如图如图) 011,kzzz oxy0zZ1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 在每个小弧段在每个小弧段 11,2,kkzzkn 上任取上任取一点一点 (1,2, ),nkn 和数：和数： 1(),nnkkkSfz 其中，其中， 1kkkzzz 1,2,.kn 令令 1max.kk nz 如果分点的个数无限增多，并且极限如果分点的个数无限增多，并且极限 存在存在, 则称该极限值为函数则称该极限值为函数 在曲线在曲线C上的积分上的积分, ( )f z001limlim()nnkkkSfz 并记作并记作 ( )d

3、 ,Cf zz 即即 01( )dlim().nkkCkf zzfz 如果如果C是闭曲线，经常记作是闭曲线，经常记作 ( )d .Cf zz 当当C是实轴上的区间是实轴上的区间 ,a b方向从方向从a到到b, 并且并且( )f z为实值函数，那么这个积分就是定积分为实值函数，那么这个积分就是定积分. 3.1.2 积分存在的条件及积分性质积分存在的条件及积分性质 nkkkkkkknkkkkkkknkkkyuxviyvxuzf111),(),(),(),()( Czzfd)( Cyvxudddd .Cv xu y i 定理定理3.1 设设C是分段光滑是分段光滑(或可求长或可求长)的有向的有向曲线，

4、曲线， ( )( , )( , )f zu x yiv x y 在在C上连续，则上连续，则 ( )dCf zz 存在，并且存在，并且 Czzfd)( Cyixivu)dd)( Cyvyiuxivxudddd.dddd CCyuxviyvxu从从形式上形式上可以看成可以看成 Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i 定理定理3.2 设光滑曲线设光滑曲线 :( )( )( ) (),Czz tx tiy tt ( )z 是起点是起点, ()z 是终点，则是终点，则 ( )d ( ) ( )dCf zzf z t z tt ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) du x ty

5、 t x tv x ty ty tt ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) d .iv x ty t x tu x ty ty tt ( ), ( ) ( ), ( )( )( ) du x ty tiv x ty tx tiy tt 复变函数的积分具有如下一些性质复变函数的积分具有如下一些性质.(1)( )d( )d ;CCf zzf zz ;d)(d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf(4) 设设C1的终点是的终点是C2的起点的起点, C=C1+C2, 则则(k是复常数是复常数);(2) ( )d( )dCCkf zzkf zz 12( )d( )d( )d ;

6、CCCf zzf zzf zz11()()nnkkkkkkfzfz1()nkkkfs 1,nkkMsML 其中其中,ks 是是kz与与1kz 两点之间弧段的长度两点之间弧段的长度.根据积分定义，令根据积分定义，令 0, 即得性质即得性质(5). 估值不等式估值不等式事实上事实上,(5) 设曲线设曲线C的长度为的长度为L, 函数函数f (z)在在C上满足上满足( )d( ) d.CCf zzf zsML( ),f zM 则则例例3.1 设设 C是复平面上以是复平面上以z0为起点为起点, z为终为终点的分段光滑点的分段光滑(或可求长或可求长)曲线，则曲线，则 01d.Czzz 解解 根据积分的定义

7、根据积分的定义100111dlimlim()nnkkkCkkzzzz 000lim().zzzz 3.1.3 积分的计算积分的计算解解zxyor0z 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),20(0 irezz Cnzzzd)(110 20)1(1d ninierire,d20 inneri例例3.2 计算积分计算积分 101d()nCzzz (n是整数是整数), 其中其中C是圆周是圆周:0 (0)zzr r 的正向的正向. zxyor0z , 0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d i;2 i , 0 时时当当 n Cnzzzd)(11020(cossin)d0.nininr

8、rzznzzz0d)(1 10所以所以 . 0, 0, 0,2nni重要结论：积分值与圆周的中心、半径无关重要结论：积分值与圆周的中心、半径无关.解解 (1) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为( ) (01),z ttitt Re, d(1)d ,ztzit CzzdRe 10d)1(tit);1(21i xyoi 11iy=x d)1(d102 ttizzC120(1)d .it ti 例例3.3 计算积分计算积分 Re dCz z 与与 d ,Cz z 其中其中C为为 (1) 从原点到从原点到 1+i 的直线段；的直线段； (2) 抛物线抛物线 y=x2 上从原点到上从原点到 1+

9、i 的弧段；的弧段； (3) 从原点沿从原点沿x轴到轴到1, 再从再从1到到 1+i 的折线的折线. (2) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为xyoi 11iy=x2xy ),10()(2 titttzRe,d(12 )d ,ztztit CzzdRe 10d)21(titt1230212;2323titi d Czz 102d)21)(tititt1320(2)3 d.ttitti xyoi 11iy=x2xy (3) 积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为( ) (01),z ttt1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方

10、程为),10(1)( tittzRe,dd ,ztztRe1,dd ,zzi t CzzdRe 10dtt 10d1ti.21i dd10 ttzzC d)1(10 tiit. i 都是从相同的起点到相同的终点都是从相同的起点到相同的终点, 沿着三条不沿着三条不注意注意1 从例从例3.3看到看到, 积分积分d ,Cz z Re( )dCzz 和和相同的路径进行相同的路径进行, 但是但是 积分值不同积分值不同, Re( )dCzz dCz z 积分值相同积分值相同. 是否可以讨论积分与积分是否可以讨论积分与积分路径的关系路径的关系?注意注意2 一般不能将函数一般不能将函数f (z)在以在以a为起

11、点为起点, 以以b为终点的曲线为终点的曲线C上的积分记成上的积分记成 因因为为( )d ,f zz 积分值可能与积分路径有关积分值可能与积分路径有关, 所以记所以记( )d .Cf zz 3.2 Cauchy积分定理积分定理1 Cauchy积分定理积分定理2 复合闭路定理复合闭路定理3 典型例题典型例题首先给出推广的首先给出推广的3.2.1 Cauchy积分定理积分定理在单连通区域在单连通区域D上连续上连续, 设设 ( , ), ( , )P x yQ x y在在D上存在上存在 , ,QPxy 并且并且 QPxy 在在D上连续上连续, 则对任何则对任何D内的可求长内的可求长Jordan曲线曲线

12、C, 都有都有 dd()d d ,CGQPP xQ yx yxy 其中其中G是是C围成的区域，围成的区域，C 取正向取正向. 定理定理3.3 (Cauchy积分定理积分定理) 设设f (z)是单连是单连DC说明说明: 该定理的主要部分是该定理的主要部分是Cauchy 于于1825 年建立的年建立的, 它是它是复变函数理论的基础复变函数理论的基础.通区域通区域 D上的解析函数，则对上的解析函数，则对D内的任何可求内的任何可求长长Jordan曲线曲线C, 都有都有 ( )d0.Cf zz 证明证明 根据根据( )ddddd .CCCf zzu xv yiv xu y Cyvxudd()d d Dv

13、ux yxy 0, Cyuxvddd d Duvx yxy 0. 0,uvyx0.uvxy由改进的由改进的Green公式公式因为因为f (z)解析解析, 所以所以u(x,y)和和v(x,y)在在D内可微内可微, 且且注意注意2 若曲线若曲线C是是区域区域 D 的边界的边界, 函函注意注意1 定理中的定理中的C 可以可以不是简单曲线不是简单曲线.DC函数函数 f (z)在在D内解析内解析, 在闭区域在闭区域 上连上连DDC ( )d0.Cf zz 续续, 则则 注意注意3 定理中定理中D是单连通区域的假设不可缺少是单连通区域的假设不可缺少. 例如函数例如函数1 ( ) f zz 在区域在区域13

14、:22Dz内内的曲线的曲线:1Cz 上积分上积分, 参看参看解解 因为函数因为函数11d0.23zzz 例例3.4 计算积分计算积分 z 11d .23zz 1( )23f zz 在在 上解析上解析, 所以根据所以根据Cauchy积分定理积分定理, 有有1z 解解211111.(1)2z zzzizi根据根据Cauchy积分定理得积分定理得 212d)1(1izzzz 21d1211211izzizizz例例3.5 计算积分计算积分 2121d .(1)z izz z 因为因为1z和和1zi 都在都在12zi上解析上解析, 所以所以 212121d121d121d1izizizzizzizzz

15、0 21d121izzizi 221. i 这里用到了这里用到了3.2.2 复合闭路定理复合闭路定理DC1C2C3C都在都在C 的内部的内部, 它们互不包含也互不相交它们互不包含也互不相交, 并且以并且以定理定理3.4 设设12,nC C CC是多连通区域是多连通区域D内内是是 D上的解析函数上的解析函数, 那么那么1( )d( )d ,knCCkf zzf zz 其中其中C和和Ck(1 k n)取正向取正向.若若 f (z)分段光滑分段光滑(或可求长或可求长) Jordan曲线曲线, 都都12,nC CC为边界的闭区域含于为边界的闭区域含于D内内. 12,nC C CCDCA1A2A3A4C

16、1C2EFGIH证明证明 不妨设不妨设n=2. 作两条辅助线作两条辅助线 (如图如图).1234,A AA A这样由这样由12344321EA A FA A GA A HA A IE作为边界作为边界G ,围成单连通区域围成单连通区域.( )d0.f zz 11 ,CEAA IIE1122334444332211 .EAA AA FFAA AA GGAA AA HHAA AA IIE 12332 ,CA FFAA HHA 244 .CA GGA f (z)在在G 所围的区域内解析所围的区域内解析, 由由 21. 0d)(CCCzzf, 0d)(d)(d)(21 CCCzzfzzfzzf.d)(d

17、)(d)(21 CCCzzfzzfzzf当当 n 为其它值时，可同样证明为其它值时，可同样证明. 在公共边界在公共边界(辅助线辅助线)上上, 积分两次积分两次, 方向方向相反相反, 积分值之和等于积分值之和等于0. 所以所以 3.2.3 典型例题典型例题解解 显然函数显然函数xyo 1 例例3.6 计算积分计算积分其中其中G为包含圆周为包含圆周221d ,zzzz 在内的任意分段光滑正向简单闭曲线在内的任意分段光滑正向简单闭曲线.1z 221( )zf zzz 在复平面有两个奇点在复平面有两个奇点0和和1,并且并且G 包含了这两个奇点包含了这两个奇点.xyo 1 1C2C zzzzd122 2

18、1d12d1222CCzzzzzzzz 2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220 ii.4 i 在在G内作两个互不包含也互不相交的正向内作两个互不包含也互不相交的正向圆周圆周C1和和C2, 使得使得C1只包含奇点只包含奇点0, C2 只包含只包含奇点奇点1.根据根据 , xyo121C2C解解 显然显然C1和和C2围成一围成一12ddd0.zzzCCeeezzzzzz 例例3.7 计算积分计算积分 d ,zezz 其中其中G 由正向圆周由正向圆周2z 和负向圆周和负向圆周1z 组成组成.个圆环域个圆环域. 函数函数( )zef zz 在此圆环域及其边界上解析在此圆环域及其边

19、界上解析, 并且圆环域的边界并且圆环域的边界构成复合闭路构成复合闭路, 所以根据所以根据 ,例例3.8 求积分求积分其中其中G 为含为含z0的的 101d ,nzzz 解解 因为因为z0在闭曲线在闭曲线G 的内部的内部, 0z 1 任意分段光滑的任意分段光滑的Jordan曲线曲线, n为整数为整数.故可取充分小的正数故可取充分小的正数r , 使得圆周使得圆周10: zzr含在含在G的内部的内部.可得可得再利用再利用根据根据 , 102,01 d()0,0.ninzzzn 故故这一结果很重要这一结果很重要. .1110011 dd()()nnzzzzzz 2, 0;0, 0.inn 与与 进行比

20、较进行比较. 0z 1 3.3 Cauchy积分公式积分公式 1 问题的提出问题的提出2 Cauchy积分公式积分公式3 高阶导数公式高阶导数公式4 典型例题典型例题3.3.1 问题的提出问题的提出定理知定理知, 当当r 充分小时充分小时, 这个积分值与这个积分值与r 的取值无关的取值无关, 设设f (z)在单连通区域在单连通区域D上解析上解析, z0是是D内的内的一个定点一个定点, 则则 在在z0 不解析不解析. 0( )f zzz Jordan曲线曲线, 当当r 0充分小时充分小时, 根据复合闭路根据复合闭路如果如果C是含是含z0在其内部区域的分段光滑的在其内部区域的分段光滑的000( )

21、( )dd .Cz zf zf zzzzzzz Czzzzfd)(00).(2d1)(000zifzzzzfC 所以这个积分值只与所以这个积分值只与 f (z) 在在 z0 附近的值有关附近的值有关. 因为因为f (z) 在在 z0 连续连续, 故故 上函数上函数 f (z)0zz 的值将随着的值将随着r 的减小而接近的减小而接近0().f z因此因此, 随着随着r 的减小的减小, 应该有应该有0( )dCf zzzz 接近于接近于00()d ,Cf zzzz 然而然而3.3.2 Cauchy积分公式积分公式Cauchy积分公式积分公式 Czzzzfizf.d)(21)( 00D 0zC定理定

22、理3.5 设设f (z)是单连通区域是单连通区域D上的解析函数上的解析函数, z0 是是D内的一个点内的一个点, C是任意一条含是任意一条含 z0 在内部区域在内部区域 的分段光滑的分段光滑(或可求长或可求长) Jordan曲线曲线, 则则 D 0zC取取R0充分小充分小, 使得使得R0, 存在存在 0, 使得使得0( )dCf zzzz 0( )df zzzz 0000()( )()ddf zf zf zzzzzzz 000( )()2()d .f zf zif zzzz 当当 时时,0zz 0( )().f zf z 0zzR在在C的内部的内部, 则则 R00( )()df zf zszz

23、 d2 .sR 的值与的值与 R 无关无关, 所以由所以由 的任意性的任意性, 可知可知00( )()df zf zzzz 根据根据实际上实际上, 积分积分00( )()df zf zzzz 00( )()d0.f zf zzzz 关于关于Cauchy积分公式的说明积分公式的说明:可见可见, 函数在函数在C内部任一点的值可用它在边界上内部任一点的值可用它在边界上（这是解析函数的一个重要特征）（这是解析函数的一个重要特征）(1) 从从Cauchy积分公式积分公式 001( )()d2Cf zf zzizz 的值通过积分来表示的值通过积分来表示. 这表明了这表明了Cauchy积分公式不但提供了计算

24、积分公式不但提供了计算(这是研究解析函数的有力工具这是研究解析函数的有力工具)(2) 如果曲线如果曲线C上的点用上的点用z 表示表示, C内部的内部的点用点用z 表示表示, 则则Cauchy积分公式表示为积分公式表示为 1( )( )d .2Cff ziz 某些复变函数沿闭路积分的某些复变函数沿闭路积分的一种方法一种方法, 而且给出而且给出了解析函数的一个积分了解析函数的一个积分表达式表达式.例例3.9 计算积分计算积分 31d ,(1)Czzz z 其中其中C是是 正向圆周正向圆周 2.z 解解 在在C内部作正向圆周内部作正向圆周 11:,2Cz 21:1.4Cz 12313131ddd .

25、(1)(1)(1)CCCzzzzzzz zz zz z 根据根据 , 因为因为 131( )1zf zz 在在C1围成的闭区域上解析围成的闭区域上解析, 231( )zfzz 在在C2 围成的闭区域上解析围成的闭区域上解析, 所以由所以由 Cauchy积分公式积分公式 121131( )( )ddd(1)1CCCzf zf zzzzz zzz 122(0)(1)i ff 2(12)6.ii 3.3.3 高阶导数公式高阶导数公式1( )( )d .2Cff ziz 如果各阶导数存在如果各阶导数存在, 并且导数运算可在积分号下并且导数运算可在积分号下进行进行, 则则21( )( )d ,2()Cf

26、fziz 由由 , 解析函数的积分表达式为解析函数的积分表达式为32 1( )( )d ,2()Cffziz ( )1!( )( )d .2()nnCnffziz (1) 解析函数是否存在各阶导数解析函数是否存在各阶导数? (2) 导数运算可否在积分号下进行导数运算可否在积分号下进行?我们有下面的我们有下面的Cauchy导数公式导数公式.( )010!( )()d2()nnCnf zfzzizz 高阶导数公式高阶导数公式D 0zC定理定理3.6 设函数设函数f (z)在单连通区域在单连通区域 D上的解析上的解析, C是是D内分段光滑内分段光滑(或可求长或可求长)的的Jordan曲线曲线, z0

27、 在在C的内部区域的内部区域, 则则f (z)在在z0处存在各阶导数处存在各阶导数, 并且并且 (1,2,3,),n 其中其中C取正向取正向. 001( )()d .2Cf zf zzzizzz zzfzzf )()(00证明证明 首先考虑首先考虑n=1的情形的情形. 因为因为z0在在C的内部的内部, 故当故当 | z| 适当小时适当小时, z0+ z也也在在C的内部的内部. 所以应用所以应用于是于是001( )( )dd2CCf zf zzzi zzzzzz 可知可知 Czzzzzzzfid)()(2100 CCzzzzzzzzfizzzzfid)()()(21d)()(2102020I C

28、zzzzzzzzfId)()()(21020 Cszzzzzzfzd)(21020因为因为f (z)在在C上解析上解析, 所以在所以在C上连续上连续, 故有界故有界.00,2Rzzzzzz 012. zzzR 存在存在M 0, 使得使得|f (z)| M . 又因为又因为z0 是是C内部区域内的点内部区域内的点, 所以存在所以存在R 0, 使使 0z zzR 在在C的内部区域的内部区域.DC 0z R因此当因此当z在在C上时上时,0.zzR, 2Rz取取则则3,MLIzR 所以所以其中其中L是曲线是曲线C的弧长的弧长. zzfzzfzfz )()(lim)(0000201( )d .2()Cf

29、 zzizz 利用类似的方法可求得利用类似的方法可求得因此因此, 当当 时时,0z 0.I 从而从而000300()()2!( )()limd ,2()Czfzzfzf zfzzzizz 证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数. .d)()(2!)(100)( Cnnzzzzfinzf 243d)1(1zzzz131! 32 zzi2. i 高阶导数公式的作用高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分而在于通过求导来求积分.例例3.10 求积分求积分3421d .(1)zzzz 解解 因为函数因为函数 在复平面

30、解析在复平面解析, 3( )1 f zz( )010!( )()d ,2()nnCnf zfzzizz 01z 在在 内内, n=3, 根据根据2z 12dcoszzzzze0)cos(! 12 zzzei0sincos2 zzzzezei.2 i 21cosd .zzezzz 例例3.11 求积分求积分解解 因为函数因为函数 在复平面解析在复平面解析, ( )coszf zez 00z 在在 内内, n=1, 根据根据1z 3.3.4 典型例题典型例题 )1(12zz)(1izizz izizz )(1)(zf ,0iz 212d)1(1izzzz12( )dz if zzzi izizzi

31、 )(12. i 例例3.12 计算积分计算积分 2121d .1z izz z 解解 由由 , 2( )2371zf zi 22371 .izz 例例3.13 设设C表示正向圆周表示正向圆周223,xy2371( )d ,Cf zz 求求(1).fi 于是于是 而而1+i 在在C内内, 所以所以( )2(67),fziz (1)2 ( 613 ).fii 解解 根据根据 , 当当z在在C内时内时,2112sin4d1zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi2.2i 例例3.14 计算积分计算积分 其中其中2sin4d ,1Czzz 1(1) : 1;2Cz 1(2)

32、:1;2C z (3) : 2.Cz 解解 (1) 根据根据 ,2112sin4d1zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi2.2i (2) 根据根据 , 22d14sinzzzz 2112d14sinzzzz 2112d14sinzzzzii 2222.2 i (3) 根据根据 以及前面的结果以及前面的结果,例例3.15 计算下列积分计算下列积分, 其中其中C是正向圆周是正向圆周 Czzzd) 1(cos51)4()(cos)!15(2 zzi5.12i 1:zr 522cos(1) d ; (2) d .11zCCzezzzz 解解 (1) 因为函数因为函数 在在C

33、内内z=1处不解析处不解析, 5cos1zz 但但 在在C内处处解析内处处解析, 所以根据所以根据cos z 1C2Cxyo iCi Czzzed)1(22122222dd .(1)(1)zzCCeezzzz(2) 函数函数 在在C内的内的 处不解析处不解析.22(1)zez zi 在在C内分别以内分别以i 和和 -i 为中心作正向圆周为中心作正向圆周 C1 和和 C2,则函数则函数 在由在由22(1)zez 12,C C C围成的区域内解析围成的区域内解析, 所以由所以由 1d)1(22Czzze 1d)()(22Czzizizeizzizei 2)()!12(2(1).2ii e 1C2C

34、xyo iCi Czzzed)1( 22 2)1(iei 2)1(iei于是于是)(1(2iiieei ).1cos1(sin i(1).2ii e 222d(1)zCezz 同理同理解解1d0.znzezz 1dznzzze0)(2 zzei2. i 例例3.16 求积分求积分1d ,znzezz 其中其中n为整数为整数.(1) n 0时时, 函数函数 在在 上解析上解析.znez1z (2) n=1时时, 由由 得得由由 得得( )010!( )()d ,2()nnCnf zfzzizz 1dznzzze0)1()()!1(2 znzeni.)!1(2 ni得得(3) n1时时, 根据根据

35、3.4 解析函数的原函数解析函数的原函数1 原函数的概念原函数的概念2 Newton-Leibniz公式公式3.4.1 原函数的概念原函数的概念原函数之间的关系原函数之间的关系:定义定义3.2 设设f (z)是定义在区域是定义在区域D上的复变函数上的复变函数,若存在若存在D上的解析函数上的解析函数F(z)使得使得 在在D ( )( )F zf z 内成立，则称内成立，则称F(z)是是f (z)在区域在区域D上的原函数上的原函数. 如果如果f (z)在区域在区域D上存在原函数上存在原函数F(z), 则则f (z)是是 解析函数，因为解析函数的导函数仍是解析函数解析函数，因为解析函数的导函数仍是解

36、析函数. 定理定理3.7 设设F(z)和和G(z)都是都是f (z)在区域在区域D上的原上的原函数函数, 则则 (常数常数). ( )( )F zG zC ( )( )( )( )F zG zF zG z ( )( )0.f zf z 那么它就有无穷多个原函数那么它就有无穷多个原函数, 一般表达式为一般表达式为 根据以上讨论可知根据以上讨论可知:证明证明 设设F(z)和和G(z)都是都是f (z)在区域在区域 D上的上的根据根据 可知可知, 为常数为常数.( )( )F zG z 原函数原函数, 于是于是 如果如果F(z) 是是f (z)在区域在区域 D上的一个原函数，上的一个原函数， ( )

37、F zC (其中其中C是任意复常数是任意复常数). 证明证明 可利用可利用定理定理3.8 设设f (z)是单连通区域是单连通区域D上的解析函数上的解析函数, z0是是D内的一个点内的一个点, C是是D内以内以z0为起点为起点, z为终点的为终点的 分段光滑分段光滑(或可求长或可求长)曲线曲线, 则积分则积分 ( )dCf 只依赖于只依赖于z0与与z, 而与路径而与路径 C 无关无关. Riemann方程以及曲线积分路径无关的充分必要方程以及曲线积分路径无关的充分必要条件来证明条件来证明. 下面利用下面利用Cauchy积分定理证明积分定理证明. 中的中的Cauchy-和和D 0zz 1C2C设设

38、C1与与C2都是以都是以D内以内以z0为起点为起点, z 为终点的为终点的分段光滑曲线分段光滑曲线, 又不妨设又不妨设C1与与C2都是简单曲线都是简单曲线. 如果如果 C1与与C2除起点和除起点和终点之外终点之外, 再没有其他重点再没有其他重点,则则 是是Jordan曲线曲线, 12CC 根据根据Cauchy定理有定理有 12( )d0,CCf 12( )d( )d .CCff D 0zz 1C2C 如果如果C1与与C2除起点和除起点和终点之外终点之外, 还有其他重点还有其他重点, 在在D内再做一条以内再做一条以z0为起点为起点, z 为终点为终点, 除起点和终点之外除起点和终点之外, 与与C

39、1与与C2没有其他没有其他重点的分段光滑曲线重点的分段光滑曲线,C C 则由已证明的情形则由已证明的情形, 12( )d( )d( )d .CCCfff 012( )d( )d( )d .zzCCfffD 0zz 1C2CD 0zz 1C2C如果如果 f (z)在单连通区域在单连通区域D内解析内解析, 则则f (z)在以在以z0为起点为起点, z为终点的为终点的D内的分段光滑曲线内的分段光滑曲线C上积分上积分,积分值与积分路径无关，即可记为积分值与积分路径无关，即可记为 0( )( )d .zzF zf 于是确定了于是确定了D内的一个单值函数内的一个单值函数证明证明 因为因为z是是D内的点内的

40、点,定理定理3.9 设设f (z)是单连通区域是单连通区域D上的解析函数上的解析函数, z0和和z是是D内的点内的点, 则则 0( )( )dzzF zf 是是 f (z)在在D上的原函数上的原函数. 以以z为中心作一个含于为中心作一个含于D内的内的以圆周以圆周G为边界的圆域为边界的圆域.D0z zD z zz )()(zFzzF00( )d( )d .zzzzzff 0z 取取| z|充分小充分小, 使得使得z+ z在在圆周圆周G内内. 注意注意因为积分与积分路径无关因为积分与积分路径无关, 所以积分所以积分0( )dzzzf 可以先从可以先从z0到到z, 然后从然后从z沿着直线再到沿着直线

41、再到z+ z, 即即0( )dzzzf 0( )d( )d .zzzzzffD z zz 0z ()( )1( )( )( ) d .zzzF zzF zf zff zzz ()( )( )d ,zzzF zzF zf 于是于是并且并且因为函数因为函数f (z)在在D内连续内连续, 所以所以 0, 存在存在 0, 使得当使得当| -z| 时时, 有有( )( ).ff z从而当从而当| z| 时时, 利用利用B zKzz 0z )()()( zfzzFzzF 1( )( ) dzzzff zz 1|( )( )|dzzzff zsz .1 zz于是于是0()( )lim( )0,zF zzF

42、zf zz 即即( )( ).F zf z 与微积分学中对变上限积分求导定理相同与微积分学中对变上限积分求导定理相同.3.4.2 Newton-Leibniz公式公式定理定理3.10 设设f (z)是单连通区域是单连通区域D上的解析函数上的解析函数, F(z)是是 f (z)在在D上的原函数上的原函数, z0和和z1是是D内的两点内的两点, 则则 1010( )d()().zzf zzF zF z 证明证明 因为因为 也是也是f (z)在在D上的原函数上的原函数, 10( )dzzf zz 根据根据0( )d ( ),zzf zzF zC 其中其中 C为常数为常数, 易见易见0().CF z

43、说明说明: 有了上述定理有了上述定理, 复变函数的积分就可以用复变函数的积分就可以用与微积分学中类似的方法去计算与微积分学中类似的方法去计算.如果没有如果没有D是单连通区域的假设，那么是单连通区域的假设，那么 0( )( )dzzF zf 一般是一个多值函数一般是一个多值函数. 3.5 调和函数调和函数 1 调和函数的概念调和函数的概念2 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系3.5.1 调和函数的概念调和函数的概念如果二元函数如果二元函数j (x,y)在区域在区域D内存在二阶连续内存在二阶连续 偏导数偏导数, 且满足二阶偏微分方程且满足二阶偏微分方程 (Laplace 方程方程)

44、22220,xy则称则称 (x,y)是区域是区域D内的内的调和函数调和函数. 工程中的许多问题工程中的许多问题, 如平面上的稳定温度场、如平面上的稳定温度场、静电场和稳定流场等都满足静电场和稳定流场等都满足Laplace方程方程. 3.5.2 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系. , xvyuyvxu 由于解析函数的导数仍是解析函数由于解析函数的导数仍是解析函数, 因此因此u(x,y)和和定理定理3.11设设 ( )( , )( , )f zu x yiv x y 是区域是区域 D内的解析函数，则内的解析函数，则u(x,y)和和v(x,y)都是区域都是区域D内的内的调和函数调和函

45、数. 证明证明 因为因为f (z)在在D内解析内解析, 所以满足所以满足Cauchy- Riemann条件条件 v(x,y)存在各阶连续偏导数存在各阶连续偏导数. 将将 , uvuvxyyx 分别对分别对x和和y求导，则求导，则 22,uvxxy 22.uvyyx 当混合偏导数连续时，求导次序可以交换当混合偏导数连续时，求导次序可以交换. 因此，因此， 22220,uuxy即即u(x,y)是调和函数是调和函数. 同理可证同理可证v(x,y)也是调和函数也是调和函数. 如果任给区域如果任给区域 D内两个调和函数内两个调和函数u(x,y)和和v(x,y),那么那么u(x,y)+iv(x,y)在在D

46、内是否为解析函数内是否为解析函数?考虑考虑 和和22( )2f zxyxyi22( )2.f zxyxyi如果如果u(x,y)和和v(x,y)都是区域都是区域D内的调和函数内的调和函数, 且且u(x,y)+iv(x,y)是是D内的解析函数内的解析函数, 则称则称v(x,y)是是u(x,y) 的共轭调和函数的共轭调和函数. 区域区域 D 内解析函数的虚部为实部的共轭调内解析函数的虚部为实部的共轭调和和函数函数.现在提出如下问题：现在提出如下问题： 或者已知调和函数或者已知调和函数 v(x,y) 时，是否存在调和函时，是否存在调和函数数 u(x,y) ，使得，使得 f (z)=uiv 是是D内的解

47、析函数内的解析函数? 已知已知 u(x,y)是区域是区域D内的调和函数，是否存在内的调和函数，是否存在u(x,y)的共轭调和函数的共轭调和函数 v(x,y)，使得函数，使得函数 f (z)=uiv是是D上的解析函数上的解析函数?回答是肯定的回答是肯定的，以下用，以下用举例举例的方法加以的方法加以说明说明.解解 因为在全平面内因为在全平面内6,uxyx ,6 22yxu ,33 22xyyu ,6 22yyu 例例3.17证明证明 32( , )3u x yyx y是全平面内是全平面内的调和函数，并求以它为实部的解析函数的调和函数，并求以它为实部的解析函数. 故故 为调和函数为调和函数.2222

48、0,uuxy( , ) u x y于是于是6,vuxyyx 由由则则26d3( ),vxy yxyg x 23( ).vyg xx 又因为又因为2233,vuyxxy 所以所以2223( )33,yg xyx 23( )3dg xxxxC (其中其中C为任意实常数为任意实常数).求求u为实部的解析函数为实部的解析函数.从而从而32( , )3.v x yxxyC于是得解析函数于是得解析函数32323(3).wyx yi xxyC令令, ,22zzzzxyi那么函数可以化为那么函数可以化为3( )(),wf zi zC其中其中C为任意实常数为任意实常数.求求u为实部的解析函数的为实部的解析函数的

49、另一方法另一方法.因为因为6,uxyx ,33 22xyyu 所以所以22( ) 63() .uufzixyyxixy 3( ) ()f xi xC实部实部u不包含常数不包含常数, 故故(C是实常数是实常数). 将将x替换成替换成z, 即得即得3( )().f zi zC注：此处用到注：此处用到 .0,y 2( )3.fxix 即即z在实轴上取值在实轴上取值, 则则 因为因为例例3.18已知调和函数已知调和函数 ( , )( cossin )xv x yeyyxyxy是解析函数是解析函数f (z)的虚部的虚部, 且且f (0)=1, 求求f (z)的表达式的表达式. , 1)cossin(co

50、s yxyyyeyvx解解因为因为 ,uvxy 以及以及所以所以(cossincos )1 dxueyyyxyx ( cossin )( ).xexyyyxg y又因为又因为,vuxy 以及以及, 1)sinsincos( yyxyyexvx所以所以1)sinsincos( yyxyyex( sincossin )( ).xexyyyyg y ( cossin ).xuexyyyxyC, 1)( yg故故从而从而( )g yy C (C是实常数是实常数),(1).zzei zCivuzf )(1)(1)xiyxiyxe eiye exiiyiC( cossin )xexyyyxyC( coss

51、in )xi eyyxyxy由由(0)1,f 得得1.C 因此因此. 1)1()( zizezfz另一方法另一方法 因为因为( )vvfziyx (cossincos )1xeyyyxy( cossinsin )1 ,xi eyyxyy令令 0,y 即即z在实轴取值，则在实轴取值，则 ( )1,xxfxxeei 所以所以( )(1)xf xxei xC (C是常数是常数). 将将x替换替换成成z, 即得即得( )(1),zf zzei zC 由由(0)1,f 可知可知1.C 因此因此. 1)1 ()( zizezfz例例3.19 已知已知22()(4)2(),uvxyxxyyxy求解析函数求解

52、析函数 ( ).f zu iv 解解 分别求导数可得分别求导数可得, 2)42)()4(22 yxyxyxyxvuxx22(4)()(42 )2.yyuvxxyyxyxy 因为因为 , , uvuvxyyx 所以所以, 23322 yxvy6.xvxy 因此因此22( )3326.yxfzvivxyxyi 令令 0,y 即即z在实轴取值，则在实轴取值，则 2( )32,fxx 于是于是3( )2f xxxC(C是常数是常数).将将x替换成替换成z, 即得即得3( )2.f zzzC复变函数的积分复变函数的积分积分存在的积分存在的条件及计算条件及计算积分的性质积分的性质Cauchy积分定理积分定理原函数原函数的概念的概念复合复合闭路闭路定理定理Cauchy积分公式积分公式高阶导数高阶导数公式公式Newton- -Le