第九章动量矩定理

1、12 第九章 动量矩定理9.1 9.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩9.2 9.2 动量矩定理动量矩定理9.3 9.3 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程9.4 9.4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量9.5 9.5 质点系对于质心的动量矩定理质点系对于质心的动量矩定理9.6 9.6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程3 一、质点的动量矩一、质点的动量矩质点对于点质点对于点O的动量矩的动量矩质质点点Q的动量对于点的动量对于点O的矩。即的矩。即质点对于质点对于z轴的动量矩轴的动量矩质质点动量点动量mv在在Oxy平面内的投影平面内的投影 (mv)xy 对于点

2、对于点O的矩。即的矩。即()ZMmv质点质点Q的动量矩矢在过点的动量矩矢在过点O的的z轴上投影，等于对轴上投影，等于对z轴的轴的动量矩动量矩。即。即()OZmMv在国际单位制中动量矩的单位为在国际单位制中动量矩的单位为 kg m2/s ()mOMvmrv()OxyMmv()ZMmv9.1 9.1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩4 二、质点系的动量矩二、质点系的动量矩1. 质点系对点质点系对点O的动量矩的动量矩2. 质点系对质点系对z轴的动量矩轴的动量矩()ZZiiLMmv 质点系对点质点系对点O的动量矩矢在通过该点的的动量矩矢在通过该点的z轴上轴上的投影等于质点系对于该轴的动量矩的投

3、影等于质点系对于该轴的动量矩。 OZZLL1()nOOiiimLMv各质点对点各质点对点O的动量矩的矢量和。的动量矩的矢量和。即即各质点对各质点对z轴的动量矩的代数和。轴的动量矩的代数和。即即5 刚体平移刚体平移时，可将全部质量集中于质心，作为一个时，可将全部质量集中于质心，作为一个质点计算其动量矩。质点计算其动量矩。11()nnZZiiii iiiLMmm v rvniniiiiiirmrrm112 称为刚体对于称为刚体对于 z 轴的轴的转动惯量转动惯量，于是，于是,12niZiiJrm令令ZZJL 刚体转动刚体转动时，刚体对转轴的动量时，刚体对转轴的动量矩为矩为6一、质点的动量矩定理一、质

4、点的动量矩定理()OmMv()OMF 质点对定点质点对定点O的动量矩的动量矩 作用力作用力F 对同一点对同一点O的矩的矩 ()dmdtOMvmrv将动量矩对时间取一阶导数，将动量矩对时间取一阶导数，rF()dmdtrvdmdtrv()dmdt rv9.2 9.2 动量矩定理动量矩定理得得7ddtrv()dmdtvF()dmmdtOMvvvrF则上式为则上式为 0mvv()OrFMF因为因为 所以所以()()OdmdtOMvMF上式为质点动量矩定理：上式为质点动量矩定理：质点对某定点的动量矩对时间质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。()

5、()()ddddmmmmdtdtdtdtOrMvrvvrv8 上式在直角坐标轴上的投影式上式在直角坐标轴上的投影式()()xdMmMdtxvF()()ydMmMdtyvF()()zdMmMdtzvF()()OdmdtOMvMF9二、质点系的动量矩定理二、质点系的动量矩定理 设质点系内有设质点系内有n 个质点。第个质点。第i个质点上的内力为个质点上的内力为Fi(i) ，第第i个质点上的外力为个质点上的外力为Fi (e) 。由质点的动量矩定理有：由质点的动量矩定理有： ( )( )()()()ieOiiOiOidmdtMvMFMF这样的方程共有这样的方程共有n个，相加后得个，相加后得( )( )1

6、11()()()nnnieOiOiOiiiidmdtiMvMFMF而而 1()nOOiddmdtdtiiMvL所以所以 ( )1()neOOiiddtLMF010上式称为质点系动量矩定理：上式称为质点系动量矩定理：质点系对于某定点质点系对于某定点O的动量的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和（外力对点的矩的矢量和（外力对点O的主矩）。的主矩）。应用时，取投影式应用时，取投影式 ( )1()nexxiidLMdtF( )1()neyyiidLMdtF( )1()nezziidLMdtF11 三、动量矩守恒定律三、动量矩守

7、恒定律质点：质点：如果如果()0OMF()OmMv则则常矢量。常矢量。如果如果 ()0 xMF则则()xMmv常量。常量。 上述两种情况就是上述两种情况就是质点的动量矩守恒定律质点的动量矩守恒定律。质点系：质点系：如果如果 ( )()0eOiMF则则 则则 如果如果 OL常矢量。常矢量。 ( )()0exiMFxL常量。常量。 上述两种情况就是上述两种情况就是质点系的动量矩守恒定律质点系的动量矩守恒定律。 12 【例例1 1】高炉运送矿石用的卷扬机如图所示。已知鼓高炉运送矿石用的卷扬机如图所示。已知鼓轮的半径为轮的半径为R，转动惯量为，转动惯量为J，作用在鼓轮上的力偶矩，作用在鼓轮上的力偶矩M

8、，小车和矿石总质量为小车和矿石总质量为m，轨道的倾角为，轨道的倾角为。设绳的质量。设绳的质量和各处摩擦均忽略不计，求小车的加速度和各处摩擦均忽略不计，求小车的加速度a。13解：解：取整体为研究对象取整体为研究对象 mvRJLORmgMMeiOsin)()(F由质点系对由质点系对O轴的动量矩定理，有：轴的动量矩定理，有：RmgMmvRJdtdsin 即即因因 Rv adtdv 得得 22sinmRJmgRMRa)()(eiOOFMdtdL14【例例2 2】已知已知: : 22121 mrJrmmmO、, ,求角加速度。求角加速度。解：解：取整体为研究对象取整体为研究对象222212121mrrm

9、rmJvrmvrmLOO221)21(rmmmgrmmFMeO)()(21)(grmmdtdrmmm)()21(21221rmmmgmmdtd)22()(2 2121由质点系对由质点系对O轴的动量矩定理轴的动量矩定理 )(dd)(eOOFMtL有：有：15【例例3 】水轮机转轮，进口水速度水轮机转轮，进口水速度 ，出口水速度，出口水速度 ，它们与切线夹角分别为，它们与切线夹角分别为 ， ，总体积流量，总体积流量 。求水流对转轮的转动力矩。求水流对转轮的转动力矩。1v12Vq2v16 现取一片分析，设经现取一片分析，设经dt 时间，水由时间，水由ABCD流到流到abcd。222cosd1rvtq

10、nLVCDcd111cosd1rvtqnLVABab)coscos(dd)(111222rvrvqtLnFMVOO)coscos(d1d111222rvrvtqnLVO设叶片数为设叶片数为 ，水密度为，水密度为 ，nABabCDcdABCDabcdOLLLLLd解：解：动量矩改变为动量矩改变为17【例例4 】已知已知 ， ， ， ， ， ，不计摩擦。，不计摩擦。mOJ1m2m1r2r求（求（1）NF （2）O处约束力处约束力 （3）绳索张力）绳索张力 ，1TF2TF18)(222211rmrmJOgrmrmFMeO)()(2211)(2222112211)(ddrmrmJgrmrmtO 由由

11、，得，得)(dd)(eOOFMtL解：解：222111rvmrvmJLOO（1）gmmmFammmNCy)()(2121212211212211)(mmmrmrmmmmamammymyaiiiCCy )()(221121rmrmgmmmFN （2）由质心运动定理）由质心运动定理19111111rmamFgmT)(111rgmFT （3） 研究研究1m222222rmamgmFT)(222rgmFT2m（4）研究）研究20 【例例5 5】水平杆水平杆ABAB长为长为2 2a，可绕铅垂轴，可绕铅垂轴z转动，其两转动，其两端各用铰与长为端各用铰与长为l的杆的杆AC及及BD相连，杆端各连结质量为相连，

12、杆端各连结质量为m的小球的小球C和和D。起初两小球用细线相连，使杆。起初两小球用细线相连，使杆AC与与BD均为铅垂时，系统绕均为铅垂时，系统绕z轴的角速度为轴的角速度为0 。如果此时细线。如果此时细线拉断后，杆拉断后，杆AC和和BD各与垂线成各与垂线成角，不计各杆的质量，角，不计各杆的质量，求这时系统的角速度求这时系统的角速度 。21解：解：取整体为研究对象取整体为研究对象 因为因为 0)()(eZMF所以所以 常数常数 ZL当当= 0= 0时，时， 020122maamaLZ当当00时，时， 22)sin(2lamLZ 由由LZ1= =LZ2，得，得 022)sin(laa22主动力：主动力

13、：F1 1 ，F2 2 ，Fn 轴承约束力：轴承约束力：FN1 ，FN2由质点系对由质点系对z轴的动量矩定理，有轴的动量矩定理，有 1()()nZZiidJMdtF或或 ()ZZidJMdtni 1F上式也可写成上式也可写成 或或 以上各式均称为以上各式均称为刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动微分方程。转动惯量是刚体转动惯性的度量。转动惯量是刚体转动惯性的度量。221()nZZiidJMFdt1()nZZiiJMF 9. 3 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程23【例例6】已知：已知： ，求，求 。21,FFJRRFFJ)(21JRFF)(21解：解：F1F2OR24 【例例7

14、 7】飞轮对轴飞轮对轴O的转动惯量为的转动惯量为Jo，以角速度，以角速度0 绕绕轴轴O转动。制动时，闸块给轮以正压力转动。制动时，闸块给轮以正压力FN，已知闸块，已知闸块与轮之间的滑动摩擦因数为与轮之间的滑动摩擦因数为f，轮的半径为，轮的半径为R，轴承的，轴承的摩擦忽略不计。求制动所需的时间摩擦忽略不计。求制动所需的时间t。解：解：以轮为研究对象以轮为研究对象取逆时针方向为正，刚体取逆时针方向为正，刚体的转动微分方程为：的转动微分方程为：RfFFRdtdJNO积分积分000tNORdtfFdJ解得解得 RfFJtNO025 【例例8 8】 提升装置中，均质圆轮提升装置中，均质圆轮A、B的质量分

15、别为的质量分别为m1 1、m2 2 , , 半径分别为半径分别为 r1 1、r2 2 , ,物体物体C 的质量为的质量为m3 3 ，轮，轮A上作上作用常力矩用常力矩M1 1 。求物体。求物体C上升的加速度。上升的加速度。26解解: : 取轮取轮A为研究对象为研究对象11121121FrMrm再取轮再取轮B和物体和物体C为研究对象为研究对象232232222)21(grmrFvrmrmdtd23232222)(21rgmFarmrm因为因为 2211rraFF 得得 )2()(23211311mmmrgmrMa27【例例9】两根质量各为两根质量各为8 kg的均质细杆固连成的均质细杆固连成T 字形

16、，可字形，可绕通过绕通过O点的水平轴转动，当点的水平轴转动，当OA处于水平位置时处于水平位置时, , T 形形杆具有角速度杆具有角速度 =4rad/s 。求该瞬时轴承。求该瞬时轴承O的反力。的反力。解：选解：选T 字形杆为研究对象。字形杆为研究对象。受力分析如图示。受力分析如图示。 rad/s 20.755 . 0178 . 918 1718171223 22lgmlmglmgllmglmgJO232 2222121712131mlmlmlmlJO由定轴转动微分方程由定轴转动微分方程28xy根据质心运动微分方程，得根据质心运动微分方程，得xCxFma2yCyFmgma 22N 964 5 .

17、043 8243 2 22lmFxN 3 .32 75.20 0.543828 . 9824322lmmgFy以以O为坐标原点建立如图坐标系，确定质心位置及加速度为坐标原点建立如图坐标系，确定质心位置及加速度lmmlmlmxC4320Cy 43 ,43 2laalaatCCynCCx29 刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的度量，刚体刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的度量，刚体对任意轴对任意轴z的转动惯量定义为的转动惯量定义为niiizrmJ12 由上式可见，转动惯量的大小不仅与质量大小有由上式可见，转动惯量的大小不仅与质量大小有关，而且与质量的分布情况有关。关，而且与质量的分布情况有关。在国际单位

18、制中其单位为在国际单位制中其单位为kgmkgm2 2。转动惯量恒为正值。转动惯量恒为正值。9. 4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量30一、简单形状物体的转动惯量计算一、简单形状物体的转动惯量计算（1 1）均质细直杆对于）均质细直杆对于z轴的转动惯量轴的转动惯量 设杆长为设杆长为l，单位长度的质量为，单位长度的质量为, ,取杆上一微段取杆上一微段dx，其，其质量质量mi=dx，则，则 3)(302lxdxJlz杆的质量杆的质量lm于是于是 231mlJz31（2 2）均质薄圆环对于中心轴的转动惯量）均质薄圆环对于中心轴的转动惯量 设圆环质量为设圆环质量为m，质量，质量mi到中心轴的距离都等

19、于半径到中心轴的距离都等于半径R，所以圆环对于所以圆环对于z轴的转动惯量为轴的转动惯量为 222mRmRRmJiiz2mRJz即即32 ，是均质圆板单位，是均质圆板单位面积的质量。因此圆板对于中心轴的面积的质量。因此圆板对于中心轴的转动惯量转动惯量（3 3）均质圆板对于中心轴的转动惯量）均质圆板对于中心轴的转动惯量 设圆板的半径为设圆板的半径为R，质量为，质量为m 。将圆板分为无数同。将圆板分为无数同心的薄圆环，任一圆环半径为心的薄圆环，任一圆环半径为ri，宽度为，宽度为dri，则薄圆环，则薄圆环的质量为的质量为Aiiidrrm 2式中式中 2RmARAAORrdrrJ042422或或 221

20、mRJO33二、回转半径（或惯性半径）二、回转半径（或惯性半径）回转半径（或惯性半径）定义为回转半径（或惯性半径）定义为 mJzz如已知如已知z ，则，则 2zzmJ即即: : 物体的转动惯量等于该物体的质量与回转半径平物体的转动惯量等于该物体的质量与回转半径平 方的乘积。方的乘积。34三、平行轴定理三、平行轴定理 定理定理 刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即与两轴间距离平方的乘积，即2mdJJzCz 证明：证明：设点设点C

21、为刚体的质心，为刚体的质心，刚体对于通过质心的刚体对于通过质心的 z1 轴的转轴的转动惯量为动惯量为JZc，对于平行于该轴，对于平行于该轴的另一轴的另一轴z z的转动惯量为的转动惯量为JZ，两，两轴间距离为轴间距离为d。分别以。分别以C、O两点两点为原点，作直角坐标系为原点，作直角坐标系Cx1y1z1和和Oxyz，不失一般性，可令轴，不失一般性，可令轴y与轴与轴y1重合。重合。35)(212121yxmrmJiizC)(222yxmrmJiiz因为因为x=x1，y=y1+d ，于是，于是2121)(dyxmJiZiiimdymdyxm2121212)(由质心坐标公式由质心坐标公式 iiCmym

22、y1当坐标原点取在质心当坐标原点取在质心C时，时，yC=0， 又有又有 mmi于是得于是得 2mdJJzCz 01ymi36 例：例：质量为质量为m，长为，长为l的均质细直杆如图，求此杆对于垂的均质细直杆如图，求此杆对于垂直于杆轴且通过质心直于杆轴且通过质心C的轴的轴zc的转动惯量。的转动惯量。解：解：因为因为 231mlJz应用平行轴定理，得应用平行轴定理，得 22121)2(mllmJJzzC2121mlJzC37四四、计算转动惯量的组合法计算转动惯量的组合法 当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分算每一部分( (物体物体) )的

23、转动惯量的转动惯量, , 然后再加起来就是整个然后再加起来就是整个物体的转动惯量。若物体有空心部分物体的转动惯量。若物体有空心部分, , 要把此部分的转要把此部分的转动惯量视为负值来处理。动惯量视为负值来处理。例例: :钟摆：均质直杆钟摆：均质直杆m1, , l ；均质圆盘：；均质圆盘：m2 , , R 。求。求 JO 。解：解：盘杆OOOJJJ2131lm)423(213122221lRlRmlm)(212222RlmRm3821JJJz2222112121RmRm)(21 4241RRlJz 解：解：lRm222,211lRm其中其中由由 ，得，得mRRl)(2221)(212221RRm

24、Jz)(2122212221RRRRl又如又如：空心圆柱体，已知：空心圆柱体，已知： ，求，求 。21,RRmzJ39五五、确定、确定转动惯量的实验法转动惯量的实验法例如，欲求物体对于轴例如，欲求物体对于轴O的转动惯量，的转动惯量，可将该物体在轴可将该物体在轴O悬挂起来，并使其悬挂起来，并使其作微幅摆动。作微幅摆动。 设设角以逆时针方向为正。物体角以逆时针方向为正。物体的转动微分方程为的转动微分方程为sin22mgadtdJO物体作微幅摆动，有物体作微幅摆动，有 sin ，得，得 mgadtdJO22或或 022OJmgadtd此方程的通解为此方程的通解为)sin(0tJmgaO0称为角振幅，

25、称为角振幅，是初相位，它们都由运动初始条件确是初相位，它们都由运动初始条件确定。定。40摆动周期为摆动周期为mgaJTO2测定测定mg，a和摆动周期和摆动周期T，则物体对于轴，则物体对于轴O的转动惯量的转动惯量可按照下式计算：可按照下式计算：224mgaTJO419.5 质点系对于质心的动量矩定理质点系对于质心的动量矩定理一、质点系对质心的动量矩一、质点系对质心的动量矩 iCirrr则质点系对于质心的动量矩为则质点系对于质心的动量矩为或：或：CiiimLrviiiCiimmrvrv即，即，质点系对质心质点系对质心C的动量矩等于质的动量矩等于质点系对任一定点点系对任一定点O的动量矩减去集中的动量

26、矩减去集中于质心的系统动量对点于质心的系统动量对点O的动量矩。的动量矩。()iCiimrrv 点点O为定点，点为定点，点C为质点系的质心，为质点系的质心， 为固连于质心的平移参考系为固连于质心的平移参考系Cx y z OCiimLrvOCCmLrvOCCCmLLrv即，即，质点系对任一定点质点系对任一定点O的动量矩等于质点系对质的动量矩等于质点系对质心心C的动量矩加上集中于的动量矩加上集中于质心的系统动量对点质心的系统动量对点O的的动量矩。动量矩。42另外另外 iCir vvvi iCmmrr而而 0所以有：所以有：CiiirmLrv CiiimLrvi iCiiirmmrvrv可见，可见，计

27、算质点系对质心的动量矩时，用质点的绝对速计算质点系对质心的动量矩时，用质点的绝对速度度vi，或用相对速度，或用相对速度 vir，计算结果是一样的。，计算结果是一样的。()iiCirmrvv43二、质点系对于质心的动量矩定理二、质点系对于质心的动量矩定理( )1(+)eOCCCiiiddmdtdtnLLrvrF( )( )11+nneeCCCCCCiiiiidddmmdtdtdtLrvrvrFrF而而 ( )( )11nneeCiCiiirFrF则有则有( )eCiiddtni 1LrF( )1()neCCiiddtLMF即即: 质点系相对于质心的动量矩对时间的导数等于作用质点系相对于质心的动量

28、矩对时间的导数等于作用于质点系的外力对质心的主矩。于质点系的外力对质心的主矩。这个结论称为这个结论称为质点系对质点系对于质心的动量矩定理于质心的动量矩定理。根据质点系对于定点根据质点系对于定点O的动量矩定理的动量矩定理0即即44 平面运动刚体的位置，可由基平面运动刚体的位置，可由基点的位置与刚体绕基点的转角确定。点的位置与刚体绕基点的转角确定。 取质心取质心C为基点，它的坐标为为基点，它的坐标为xc，yc。设。设D为刚体上的任一点，为刚体上的任一点，CD与与x轴的夹角为轴的夹角为，则刚体的位置可由，则刚体的位置可由xc，yc和和确定。确定。 刚体的运动分解为随质心的平移刚体的运动分解为随质心的

29、平移和绕质心的转动。和绕质心的转动。 Cxy为固连于质心为固连于质心C 的平动参考系，平面运动刚体的平动参考系，平面运动刚体相对于此动系的运动就是绕质心相对于此动系的运动就是绕质心C 的转动，则刚体对质的转动，则刚体对质心的动量矩为心的动量矩为CCJL9. 6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程45 设在刚体上作用的外力可向质心所在的运动平面简化设在刚体上作用的外力可向质心所在的运动平面简化为一平面力系为一平面力系F1、F2、Fn，则应用质心运动定理和相，则应用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，得对于质心的动量矩定理，得( )eCmaF( )()()eCCCdJJMdtF上式也可

30、写成上式也可写成 2( )2eCdmdtrF2( )2()eCCdJMdtF 以上两式称为刚体的以上两式称为刚体的平面运动微分方程平面运动微分方程。应用时，前一式取其投影式。应用时，前一式取其投影式。 【例例9 9】半径为半径为r、质量为、质量为m的均质圆轮沿水平直线轨的均质圆轮沿水平直线轨道纯滚动。设轮的惯性半径为道纯滚动。设轮的惯性半径为C，作用于圆轮的力偶矩，作用于圆轮的力偶矩为为M。求轮心的加速度。如果圆轮对地面的静滑动摩擦。求轮心的加速度。如果圆轮对地面的静滑动摩擦因数为因数为f，问力偶矩，问力偶矩M必须符合什么条件方不致使圆轮滑必须符合什么条件方不致使圆轮滑动？动？ 平面运动平面运

31、动微分方程为微分方程为 (1) FmaC(2) 2FrMmC因圆轮只滚不滑，有因圆轮只滚不滑，有 (3) raC解得解得 )(22rmMraCCrrFMC)(22欲使轮只滚不滑，必须有欲使轮只滚不滑，必须有 NSFfF 故故 mgfFS所以圆轮只滚不滑的条件为所以圆轮只滚不滑的条件为rrmgfMCS220 mgFN而而又由（又由（2 2）式得）式得 mgFN即即FNFmg 解：解：取圆轮为研究对象，取圆轮为研究对象，48 【例例1010】 均质圆柱体均质圆柱体A和和B的质量均为的质量均为m，半径均为，半径均为r，一绳缠在绕固定轴一绳缠在绕固定轴O转动的圆柱转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆上，绳

32、的另一端绕在圆柱柱B上，绳重不计且不可伸长，不计轴上，绳重不计且不可伸长，不计轴O处处摩擦。求摩擦。求 (1)(1) 圆柱圆柱B下落时质心的加速度。下落时质心的加速度。(2)(2)若在圆柱体若在圆柱体A上作用一上作用一逆时针转向的转矩逆时针转向的转矩M，试问在什么条件下圆柱，试问在什么条件下圆柱B的质心的质心将上升。将上升。49解：解：(1)(1)取圆柱取圆柱A为研究对象为研究对象FrmrA221(a) 再取圆柱再取圆柱B为研究对象为研究对象 FmgmaCrFmrB221(b)(c)由运动学知：由运动学知：BACrra由由（a）、（、（c）知）知 BA得得 gaC5450(2)(2)取圆柱取圆柱A为研究对象为研究对象FrMmrA221再取圆柱再取圆柱B为研究对象为研究对象 mgFmaCrFmrB221由运动学知：由运动学知： BACrra联立上面四式，得联立上面四式，得mrmgrMaC5)2(2当当M 22mgr 时，时， 0Ca即圆柱即圆柱B B的质心将上升。的质心将上升。 51 【例例1111】均质实心圆柱体均质实心圆柱体A和均质薄铁环和均质薄铁环B的质量均为的质量均为m，半径都等于，半径都等于r ，两者用