全国版2017版高考数学一轮复习不等式推理与证明64合情推理与演绎推理理

1、第四节合情推理与演绎推理【知识梳理【知识梳理】1.1.合情推理合情推理类型类型定义定义特别特别归纳归纳推理推理由某类事物的由某类事物的_对象具对象具有某些特征有某些特征, ,推出该类事物推出该类事物的的_对象都具有这些特对象都具有这些特征的推理征的推理由由_到到_、由由_到到_部分部分全部全部部分部分整体整体个别个别一般一般类型类型定义定义特别特别类比类比推理推理由两类对象具有某些由两类对象具有某些_和其中一类对象的某和其中一类对象的某些已知些已知_,_,推出另一类对推出另一类对象也具有这些象也具有这些_的推理的推理由由_到到_合情合情推理推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实归纳推理和类比

2、推理都是根据已有的事实, ,经经过观察、分析、比较、联想过观察、分析、比较、联想, ,再进行归纳、再进行归纳、_,_,然后提出然后提出_的推理的推理类似类似特征特征特征特征特征特征特殊特殊特殊特殊类比类比猜想猜想2.2.演绎推理演绎推理(1)(1)定义定义: :从一般性的原理出发从一般性的原理出发, ,推出某个特殊情况下的推出某个特殊情况下的结论结论, ,我们把这种推理称为演绎推理我们把这种推理称为演绎推理. .简言之简言之, ,演绎推理演绎推理是由一般到是由一般到_的推理的推理. .特殊特殊(2)“(2)“三段论三段论”是演绎推理的一般模式是演绎推理的一般模式, ,包括包括: :大前提大前提

3、已知的已知的_;_;小前提小前提所研究的所研究的_;_;结论结论根据根据_,_,对特殊情况作出的判断对特殊情况作出的判断. .一般原理一般原理特殊情况特殊情况一般原理一般原理【特别提醒【特别提醒】合情推理与演绎推理的关系合情推理与演绎推理的关系(1)(1)合情推理的结论是猜想合情推理的结论是猜想, ,不一定正确不一定正确; ;演绎推理在大演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时前提、小前提和推理形式都正确时, ,得到的结论一定正得到的结论一定正确确. .(2)(2)合情推理是发现结论的推理合情推理是发现结论的推理; ;演绎推理是证明结论演绎推理是证明结论的推理的推理. .【小题快练【小题快练

4、】链接教材练一练链接教材练一练1.(1.(选修选修2-2P772-2P77练习练习T1T1改编改编) )已知数列已知数列aan n 中中,a,a1 1=1,=1,n2n2时时,a,an n=a=an-1n-1+2n-1,+2n-1,依次计算依次计算a a2 2,a,a3 3,a,a4 4后后, ,猜想猜想a an n的表的表达式是达式是( () )A.aA.an n=3n-1 B.a=3n-1 B.an n=4n-3 C.a=4n-3 C.an n=n=n2 2 D.a D.an n=3=3n-1n-1【解析【解析】选选C.aC.a1 1=1,a=1,a2 2=4,a=4,a3 3=9,a=9

5、,a4 4=16,=16,猜想猜想a an n=n=n2 2. .2.(2.(选修选修2-2P772-2P77练习练习T3T3改编改编) )在平面上在平面上, ,若两个正三角形若两个正三角形的边长的比为的边长的比为12,12,则它们的面积比为则它们的面积比为14.14.类似地类似地, ,在在空间中空间中, ,若两个正四面体的棱长的比为若两个正四面体的棱长的比为12,12,则它们的则它们的体积比为体积比为. .【解析【解析】由平面图形的面积类比立体图形的体积得出由平面图形的面积类比立体图形的体积得出: :在空间内在空间内, ,若两个正四面体的棱长的比为若两个正四面体的棱长的比为12,12,则它们

6、则它们的底面积之比为的底面积之比为14,14,对应高之比为对应高之比为12,12,所以体积比所以体积比为为18.18.答案答案: :1818感悟考题试一试感悟考题试一试3.(20143.(2014全国卷全国卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否甲、乙、丙三位同学被问到是否去过去过A,B,CA,B,C三个城市时三个城市时, ,甲说甲说: :我去过的城市比乙多我去过的城市比乙多, ,但没去过但没去过B B城市城市; ;乙说乙说: :我没去过我没去过C C城市城市; ;丙说丙说: :我们三人去过同一城市我们三人去过同一城市. .由此可判断乙去过的城市为由此可判断乙去过的城市为. .【解析【解析】由丙可知由

7、丙可知, ,乙至少去过一个城市乙至少去过一个城市, ,由甲说可知由甲说可知甲去过甲去过A,C,A,C,且比乙多且比乙多, ,故乙只去过一个城市故乙只去过一个城市, ,且没有去且没有去过过C C城市城市, ,故乙只去过故乙只去过A A城市城市. .答案答案: :A A 4.(20164.(2016邵阳模拟邵阳模拟) )在平面几何中在平面几何中: :ABCABC的的CC内角平内角平分线分线CECE分分ABAB所成线段的比为所成线段的比为 把这个结论类比把这个结论类比到空间到空间: :在三棱锥在三棱锥A-BCDA-BCD中中( (如图如图),DEC),DEC平分二面角平分二面角A-CD-BA-CD-

8、B且与且与ABAB相交于点相交于点E,E,则得到类比的结论是则得到类比的结论是. .ACAE.BCBE【解析【解析】由平面中线段的比转化为空间中面积的由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得比可得答案答案: : ACDBCDSAE.EBSACDBCDSAEEBS考向一考向一类比推理类比推理【典例【典例1 1】(1)(2016(1)(2016蚌埠模拟蚌埠模拟) )已知双曲正弦函数已知双曲正弦函数shxshx= = 和双曲余弦函数和双曲余弦函数chxchx= = 与我们学过的与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多类似的性质正弦函数和余弦函数有许多类似的性质, ,请类比正、余请类比正、余弦函数的和角或

9、差角公式弦函数的和角或差角公式, ,写出双曲正弦函数或双曲余写出双曲正弦函数或双曲余弦函数的一个类似的正确结论弦函数的一个类似的正确结论. .xxee2xxee2(2)(2)如图如图, ,在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90, ,设设a,b,ca,b,c分别表示三分别表示三条边的长度条边的长度, ,由勾股定理由勾股定理, ,得得c c2 2=a=a2 2+b+b2 2. .类比平面内直角三角形的勾股定理类比平面内直角三角形的勾股定理, ,试给出空间中四面体性质的猜想试给出空间中四面体性质的猜想. .【解题导引【解题导引】(1)(1)将双曲正弦函数将双曲正弦函数shxshx= = 和

10、双曲和双曲余弦函数余弦函数chxchx= ,= ,右端相乘右端相乘, ,化简整理化简整理, ,再对比正再对比正弦、余弦函数和角、差角公式格式可得结论弦、余弦函数和角、差角公式格式可得结论. .(2)(2)考虑到直角三角形的两条边互相垂直考虑到直角三角形的两条边互相垂直, ,我们可以选我们可以选取有取有3 3个面两两垂直的四面体个面两两垂直的四面体, ,作为直角三角形的类比作为直角三角形的类比对象对象. .xxee2xxee2【规范解答【规范解答】(1)chxchy-shxshy(1)chxchy-shxshy = (e= (ex+yx+y+e+ex-yx-y+e+e-x+y-x+y+e+e-x

11、-y-x-y-e-ex+yx+y+e+ex-yx-y+e+e-x+y-x+y-e-e-x-y-x-y) )= 2e= 2ex-yx-y+2e+2e-(x-y)-(x-y)= = =ch(x-y).=ch(x-y).答案答案: :ch(x-y)=chxchy-shxshych(x-y)=chxchy-shxshyxxyyxxyyeeeeeeee22221414x yx yee2 (2)(2)如题图所示如题图所示, ,在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90. .设设a,b,ca,b,c分别表示分别表示3 3条边的长度条边的长度, ,由勾股由勾股定理定理, ,得得c c2 2=a=a2 2

12、+b+b2 2. .类似地类似地, ,在四面体在四面体P-DEFP-DEF中中,PDF=PDE,PDF=PDE=EDF=90=EDF=90. .设设S S1 1,S,S2 2,S,S3 3和和S S分别表示分别表示PDF,PDF,PDE,PDE,EDFEDF和和PEFPEF的面积的面积, ,相应于直角三角形的相应于直角三角形的2 2条直角边条直角边a,ba,b和和1 1条斜边条斜边c,c,图中的四面体有图中的四面体有3 3个个“直角面直角面”S S1 1,S,S2 2, , S S3 3和和1 1个个“斜面斜面”S.S.于是于是, ,类比勾股定理的结构类比勾股定理的结构, ,我们猜我们猜想想S

13、 S2 2=S=S1 12 2+S+S2 22 2+S+S3 32 2成立成立. .【母题变式【母题变式】1.1.把本例把本例(2)(2)条件条件“由勾股定理由勾股定理, ,得得c c2 2=a=a2 2+b+b2 2”换成换成“coscos2 2A+cosA+cos2 2B=1”,B=1”,则在空间中则在空间中, ,给出四面体性质的猜给出四面体性质的猜想想. .【解析【解析】如图如图, ,在在RtRtABCABC中中, ,coscos2 2A+cosA+cos2 2B=B= 22222baab( )( )1.ccc于是把结论类比到四面体于是把结论类比到四面体P-ABCP-ABC中中, ,我们

14、猜想我们猜想, ,三三棱锥棱锥P-ABCP-ABC中中, ,若三个侧面若三个侧面PAB,PBC, PAB,PBC, PCAPCA两两互相垂直两两互相垂直, ,且分别与底面所成的角为且分别与底面所成的角为, ,则则coscos2 2+cos+cos2 2+cos+cos2 2=1.=1.2.2.本例本例(2)(2)条件改为条件改为“如图如图, ,作作CDABCDAB于点于点D,D,则有则有 ” ”. .类比该性质类比该性质, ,试给出空间中四面体性质试给出空间中四面体性质的猜想的猜想. .222111CDab【解析【解析】类比猜想类比猜想: :四面体四面体ABCDABCD中中,AB,AC,AD,

15、AB,AC,AD两两垂直两两垂直,AE,AE平面平面BCD,BCD,则则 如图如图, ,连接连接BEBE交交CDCD于点于点F,F,连接连接AF,AF,22221111.AEABACAD因为因为ABAC,ABAD,ACAD=A,ABAC,ABAD,ACAD=A,所以所以ABAB平面平面ACD,ACD,而而AFAF平面平面ACD,ACD,所以所以ABAF.ABAF.在在RtRtAEFAEF中中,AEBF,AEBF,所以所以 易知在易知在RtRtACDACD中中,AFCD,AFCD,所以所以 猜想正确猜想正确. .222111AEABAF，22222221111111AFACADAEABACAD，

16、所以，【规律方法【规律方法】1.1.类比推理的几个角度类比推理的几个角度类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理是由特殊到特殊的推理, ,可以从以下几个方面可以从以下几个方面考虑类比考虑类比: :类比定义类比定义; ;类比性质类比性质; ;类比方法类比方法; ;类比结构类比结构. .2.2.类比推理的一般步骤类比推理的一般步骤(1)(1)找出两类事物之间的相似性或一致性找出两类事物之间的相似性或一致性. .(2)(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质用一类事物的性质去推测另一类事物的性质, ,得出得出一个明确的命题一个明确的命题( (猜想猜想).).【变式训练【变式训练】(2016(2016

17、湖北八校联考湖北八校联考) )已知已知ABCABC的顶点的顶点A,BA,B分别是离心率为分别是离心率为e e的圆锥曲线的圆锥曲线 =1=1的焦点的焦点. .顶点顶点C C在该曲线上在该曲线上; ;一同学已正确地推得一同学已正确地推得: :当当mn0mn0时有时有e(sinA+sinB)=sinCe(sinA+sinB)=sinC. .类似地类似地, ,当当m0,n0,nn0mn0时时, , 为椭圆为椭圆, ,|AC|+|BC|= |AC|+|BC|= e(sinA+sinB)=sinCe(sinA+sinB)=sinC. .22xy1mn2 m ，ACBCABAB|AC| |BC|,sin B

18、sin Asin Csin B sin Asin C2 m2ccsin Cesin A sin Bsin Csin A sin Bm 由正弦定理知当当m0,n0,n0,)=- (a0,且且a1).a1).(1)(1)证明证明: :函数函数y=f(xy=f(x) )的图象关于点的图象关于点 对称对称. .(2)(2)求求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值的值. .xaaa11()22，【解析【解析】(1)(1)函数函数f(xf(x) )的定义域为全体实数的定义域为全体实数, ,任取一点任取一点(x,y(

19、x,y),),它关于点它关于点 对称的点的坐标为对称的点的坐标为(1-x,-1-y).(1-x,-1-y).11()22，xxxxxx1 xxxxaaay1 y1aaaaaaaaa aaf 1 xaaaaa aaaaa 由已知，则，所以所以-1-y=f(1-x)-1-y=f(1-x)，即函数，即函数y=f(xy=f(x) )的图象关于点的图象关于点 对称对称11()22，(2)(2)由由(1)(1)知知-1-f(x)=f(1-x),-1-f(x)=f(1-x),即即f(x)+f(1-x)=-1.f(x)+f(1-x)=-1.所以所以f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0

20、)+f(1)=-1.f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1.则则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.【加固训练【加固训练】1.“1.“因为对数函数因为对数函数y=logy=loga ax x是增函数是增函数( (大前提大前提),),而而y= y= 是对数函数是对数函数( (小前提小前提),),所以所以y= y= 是增函数是增函数( (结论结论)”,)”,以上推理错误的原因是以上推理错误的原因是( () )14log x14log xA.A.大前提错误导致结论错误大前提错误导致结论错误B.B.小前提错误导致结论错误小前提错误导致结论错误C.C.推理形式错误导致结论错误推理形式错误导致结论错误D.D.大前提和小前提错误导致结论错误大前提和小前提错误导致结论错误【解析【解析】选选A.A.当当a1a1时时, ,函数函数y=logy=loga ax x是增函数是增函数; ;当当0a10a1时时, ,函数函数y=logy=loga ax x是减函数是减函数. .故大前提错误导致结论错误故大前提错误导致结论错误. .2.(20162.(2016惠州模拟惠州模拟) )我们将