7-4离散系统的数学模型

1、7-4 离散系统的数学模型1. 离散系统的数学定义2. 线性常系数差分方程及其解法3. 脉冲传递函数4. 组合环节的等效脉冲传递函数5. 闭环系统的脉冲传递函数计算6. Z变换的局限性及修正Z变换1. 离散系统的数学定义 与连续系统类似，单输入单输出线性时不变；，)()()()(icirkrFkc；, 2, 1, 2, 1, 0kkik式中 k、i是整数；对于自变量为时间t的采样系点讨论差分方程及其解法、脉冲传递函数的基本概念、开环和闭环脉冲传递函数的建立方法。离散系统的数学模型离散系统数学模型有三大类：差分方程 ( 时域 ) 、脉冲传递函数 ( 复数域 ) 和状态空间模型。本节重间变量的单位

2、；统，k、i分别表示kT、i T，即采用周期 T 作为时(1) 线性离散系统r(k)是系统输入； c(k)是系统输出。 表明：讨论离散系统时，仅关注采样时刻上的各信号间的关系。；，)()()()(icirkrFkc)()()()()()(2121icirbirakrbkraFkc，)()(21kbckca)()()(111icairakraF，)()()(222ibcirbkrbF，(2) 线性时不变离散系统 系统输入输出关系不随时间改变的线性离散系统，称为线性时不变离散系统。 (3)离散系统差分方程的建立例 T形电阻网络如下，建立节点电压差分方程。根据有无对应的连续系统，离散系统可分为这里，

3、通过3个简单示例，介绍本质离散系采样系统 通过对连续系统进行采样而获本质离散系统 客观存在的无对应连续系RRR2R2R2R2R2R2REV0V1Vk-1VkVk +1Vn统差分方程的建立方法。统的离散系统，可称为本质离散系统。得的系统离散数学模型，简称为采样系统；两类：设 c(k)为第k个月存款前的存款余额，r(k)为例 建立教育储蓄余额(每月存款一次)差分方程。解： 根据T形电阻网络，得到简化的局部电路图解 差分方程为 c(k+1) =(1+b)c(k)+r(k)， c(0)=0；得到 Vk = 0.5Vk-1，V0 = E；( k为节点的序号。)RR2R2R2RVk-1VkVk +1I2I

4、II/2I/2易知该差分方程解为 Vk = 0.5 kE。差分方程解为10)()1 ()(kiiirbkc。新加入的存款额，0 b 1%是存款月利率。采样系统差分方程的系数例 建立产量与库存量(每月统计一次)差分方程。设 c(k)为第k个月统计前的产品库存量， r(k)解 差分方程为 c(k+1) = c(k)+r(k)-b(k)， c(0)=c0；差分方程解为100)()()(kiibirckc。参数有关，而且与采样周期 T 的大小及采样开关后是否有零阶保持器有关。如何建立采样系统的差分方程，将在“脉冲传递函数”小节中讨论。不仅与原连续系统为当月生产量， b(k)为当月销售量。2. 线性常系

5、数差分方程及其解法)()2() 1()(21nkcakcakcakcn；)()2() 1(21mkrbkrbkrbm后向差分方程：时间概念清楚，便于编制程序。)()2() 1()(21kcankcankcankcn；)()2() 1(21mnkrbnkrbnkrbm前向差分方程：便于讨论系统阶次、使用Z变换；mjjniijkrbikcakc11)()()(；mjjniijnkrbinkcankc11)()()(法计算初始条件不为零的解。时间移动算子q： 上述几个差分方程在书写上都很烦琐，为书；) 1()() 1()(1kxkxqkxkxq)()()()(krqBkcqA前向差分：)()()()

6、(krqBqkcqAqnn后向差分：nnnnnaqaqaqaqqA12211)(mmnnbqbqbqbqB12211)( 下面讨论求解差分方程两种方法：递推法和写简便可采用时间移动算子。Z变换法。(1) 递推法 recursive method前向差分方程或后向差分方程都可以使用递)()()() 1()(1krqBqnkcakcakcnn)()()() 1()(1krqBkcankcankcn例7-16 已知系统差分方程、初始状态和r(k)如下；)()2(6) 1(5)(krkckckc。；1) 1 (, 0)0()( 1)(cckkr推法求解。在已知输出 c(k) 的初始值和输入序列 r(k

7、) 时， 利用递推关系 (差分方程)，逐步计算出输出序列 c(k) 。iterative迭代试用递推法计算输出序列c(k)，k = 0,1,2,10。已知系统差分方程、初始状态和r(k)如下例7-16-1；)()2(5 . 0) 1(5 . 0)(krkckckc；0, 0)()( 1)(kkckkr；0)0(c解 采用递推关系 c(k+2) = 1+5c(k+1) - 6c(k)；256651)3(c；1) 1 (c；651)2(c得；90662551)4(c；3012569051)5(c；86526933062850151)10(c试用递推法计算输出序列c(k)，k = 0,1,2,。例7

8、-16-1续这两个示例表明，用递推法求解差分方程，；0 . 1)(limkck；25. 15 . 05 . 15 . 01)2(c；875. 05 . 15 . 025. 15 . 01) 3(c；8125. 025. 15 . 0875. 05 . 01)4(c；96875. 0875. 05 . 08125. 05 . 01)5(c；078125. 18125. 05 . 096875. 05 . 01)6(c；1)0(c；5 . 15 . 01) 1 (c解 采用递推关系 c(k) = 1+0.5c(k-1) 0.5c(k-2)；计算过于烦琐，不易得到c(k)的通项表达式。(2) Z变换

9、法(例7-17 )使用 Z 变换法时，应采用前向差分方程。在例7-17 用 Z 变换法解下列(齐次)差分方程。；1) 1 (, 0)0(0)(2) 1(3)2(cckckckc解：0)(2)(3)(12zCzzCzzCz；zzCzz)()23(2；23)(2zzzzC已知输出 c(k)的初始值和输入序列 r(k)，应用Z变变换计算出C(z)，再经Z反变换，求出序列 c(k)。；211112)(zkzkzzzzzzkTc；)65)(1() 1()(2zzzzzzzC已知系统差分方程、初始状态和r(k)如下例7-16-2试用Z 变换法计算输出序列c(k)，k 0。得到；，0)2() 1()(kkc

10、kk)(12 zzCz；1)(zzzR；)()2(6) 1(5)(krkckckc。；1) 1 (, 0)0()( 1)(cckkr解 超前差分方程 c(k+2) -5c(k+1) + 6c(k) = r(k) ；)(5zCz)(6zC；)(zR11)3)(2()(zkzzzkTc例7-16-2续与例7-16的计算方法比较，Z变换法得到通项式。；，035 . 025 . 011kkk；)3)(2)(1()(2zzzzzC21)3)(1(zkzzz31)2)(1(zkzzz；25)3(c；6)2(c；86526)10(c已知系统差分方程、初始状态如下习题7-7计算输出序列c(k)，k = 0,1

11、,2,3,4。；0)2() 1(4)(kckckc。1) 1 (, 0)0(cc解一： 递推法计算 c(k+2) =4c(k+1) - c(k)；4014)2(c；15144) 3(c；564154)4(c；0)0(c；1) 1 (c；0)(zC习题7-7续解二： Z变换法计算 c(k+2) - 4c(k+1) + c(k) = 0；14)(2zzzzC；323263)(zzzzzC。，0323263)(kkTckk；4)2(c；15) 3(c；56)4(c；0)0(c；1) 1 (c；209)5(c；321；322)(12 zzCz)(4zCz试用Z变换法解下列差分方程：习题7-8(1) c

12、*(t+2T )-6 c*(t+T )+8 c*(t) = r*(t),r*(t) =1(t), c*(t) = 0 (t0)；解：)(8zC)(2zCz)(6zCz；)(zR；)1)(86()(2zzzzzC；1)(zzzR；11；22；43；)4(6)2(2)1(3)(zzzzzzzC；，0423261)(nnTcnnc*(t+2T )+2 c*(t+T )+ c*(t) = r*(t),习题7-8 (2)c(0) = c(T ) = 0 ， r(nT ) = nT；解：)(zC)(2zCz)(2zCz；)(zR；22)1()1()(zzzTzC；2)1()(zzTzR，11，12；22r

13、；121121)1()1()(znznzzTzzddzzTzzddnTc；4)1)(1(4)1()(nnTnTnTc；21r。, 5, 3, 12/)1(, 4, 2, 00)(nnTnnTc习题7-8 (3)解：131)(zzCz1)(11zCz；)3)(2)(1(177)(23zzzzzzzC；，0)3(5 .2)2(7)1(5 .5)(nnTcnnn121)(6zzCz；0)(6zC；35 .22715 .5)(zzzzzzzCc(k+3)+6 c(k+2)+11c(k+1)+6 c(k ) = 0,c(0) = c(1) = 1, c(2) =0；习题7-8 (4)解：；)1)(3)(

14、2()(22zzzzzC)(2zCz)(6zC，)2/cos(k；)(zR)(5zCz；12cos22zzkTTZ；12sin2zzkTTZc(k+2)+5 c(k+1)+6 c(k ) =c(0) = c(1) =0；习题7-8 (4)续)2sin(1 .0)2cos(1 .0)(nnnTc；33 .024 .011 .011 .0)(222zzzzzzzzzC；34811 .8162 .31 .024817 .2166 .11 .014819 .0168 .01 .04813 .0164 .01 .0)(knknknknnTckkkkkkkk；, 4, 3, 2, 1, 0k；nn)3(3

15、 .0)2(4 .03. 脉冲传递函数(定义、意义)使用 脉冲传递函数，便于分析和校正线性离R(z)r*(t)c(t)r(t)c*(t)C(z)G(s)G(z)(1) 脉冲传递函数定义在零初始条件下，c(t) 的 Z 变换C(z)与 r(t) 的 Z变换R(z)之比。(在输入端必须有采样开关在输入端必须有采样开关)。散系统。；)()()(zRzCzG图7-23 开环采样系统(2) 脉冲传递函数的物理意义)()()(zRzGzC采样系统的实际输出是连续的，为便于分析；1)(zR脉冲传递函数G(z)是脉冲响应函数g(t)的Z变换。；)()(ttr在时域分析时，常采用r(t)R(z)c*(t) ；Z

16、 1C(z)Zr(t)G(z)R(z)C(z)系统，在输出端虚设采样开关，如图7-23所示。因c(t)和c*(t)的Z变换是相同的，分析结果正确。；1)(sR；)()(sGsC；)()(tgtc；)()(zGzC；)(/ )()(zRzCzG；)(/ )()(sRsCsG(3) 脉冲传递函数计算方法输入端有采样开关的连续系统或元件的脉冲传递函数G(z)是其传递函数G(s)的Z变换，或脉冲响应函数g(t)的Z变换。对于一般的输入信号，0)()()(nnTtnTrtr；)0()0()(0TkgrkTc可以看作是一串顺序出现的脉冲信号。冲输入信号 r(nT )对 k 时刻输出c(kT )的作用为：；

17、) 1()()(1TkgTrkTc；)()()(TnkgnTrkTcn 每一个脉例7-19 已知函数 g(k T )的卷积函数，应用Z变换卷积定理得到显然，输出c(k T ) 是输入 r(k T ) 和脉冲响应函。)()()(zRzGzC；)()()()(00nknnTnkgnTrkckTc据线性离散系统的迭加性质得到，asasesGTs1)(计算 G(z)。(例7-19 )采用留数计算法计算zzzGzG1)()()1 ()()(1zassaZzG解：；)1)(1zzG0)()(sTsezzasazG；asTsezsza)(aTzzzzzGe1)(；)e)(1()e1 (aTaTzzz。aTa

18、Tzee1根据差分方程计算系统的脉冲传递函数；)()()()(krqBkcqA；)()()()(krqBqkcqAqnn；)()()(zAzBzG例7-18-1 已知系统差分方程如下，计算G(z)。；) 1()2(5 . 0) 1(5 . 0)(krkckckc解：原差分方程等价为；)()()5 . 05 . 0(2krqkcqq。5 . 05 . 0)(2zzzzG系统脉冲传递函数为特征多项式 A(z)，特征方程 A(z)=0。4. 组合环节的等效脉冲传递函数计算组合环节等效脉冲传递函数时，要特别(1) 串联环节的等效脉冲传递函数图7-24 (a) 串联环节之间有有采样开关R(z)c(t)r

19、(t)G1(s)C(z)G2(s)G(z) = G1(z)G2(z)G2(z)G1(z)注意：环节之间有无采样开关及开关位置。图7-24 (b) 串联环节之间无无采样开关G(z) = G1G2(z)G1(z)R(z)c(t)r(t)C(z)x(t)X(z)G1(s)G2(s)R(z)C(z)G1G2(z)X(z)G1(z)R(z)G1(z)C(z)G2(z)图7-24 (a) 等效离散系统方框图图7-24 (b)等效离散系统方框图例7-20 在图7-24中，已知：解： (a)；)e)(1()()()(221aTzzzazGzGzGR(z)G1(z)C(z)G2(z)；11)(1zzsZzG；a

20、TzzaasaZzGe)(2ssG1)(1asasG)(2分别计算图7-24中(a)和(b)的脉冲传递函数G(z)。例7-20续2)()()()(21assaZsGsGZzG解： (b)aTzzzzzGe1)(R(z)C(z)G1G2(z)；assZ11；)e)(1()e1(aTaTzzz(2) 并联环节的等效脉冲传递函数ssG1)(1asasG)(2设图中G(z) = G1(z) + + G2(z)R(z)c(t)r(t)C(z)G1(s)G2(s)+C(z)R(z)G1(z)G2(z)+计算等效的脉冲传递函数G(z)。并联环节例的解；)e)(1()e()1(aTaTzzazaz解：sZzG

21、1)(1asaZzG)(2则有)()()(21zGzGzG；aTzzae；1zzaTzzazze15. 闭环系统的脉冲传递函数计算注意采样开关位置，列写出方框图中信号间；)(1)()(zGHzGzY(s)-R(s)C(s)E(s) E*(s)G(s)H(s)Y(z)=GH(z)E(z)；C(z)=G(z)E(z)；E(z)=R(z)-Y(z)；Y(z)-R(z)C(z)E(z)G(z)GH(z)图7-26的关系式，绘制出离散系统方框图或信号流图。闭环脉冲传递1Y(z)=H(z)C(z)；C(z)=G(z)E(z)；E(z)=R(z)-Y(z)；Y(s)-R(s)C(s)E(s) E*(s)G(

22、s)H(s)C*(s)表7-3(7)；)()(1)()(zHzGzGzY(z)-R(z)C(z)E(z)G(z)H(z)G3(z)闭环脉冲传函2Y(s)-R(s)C(s)N*(s)X*(s)G1(s)G2(s)C*(s)-G3(s)。)()()(1/)()(31211zGzGzGGzGzN(z)=G1G2(z)X(z)；C(z)=G1(z)X(z)；X(z)=R(z)-Y(z) -N(z)；Y(z)=G3(z)C(z) Y(z)-R(z)C(z)X(z)G1(z)G1G2(z)-题7-10(a)=G1(z)G3(z)X(z) ；G1(z)G3(z)输入端无采样开关系统的C(z)计算(表7-3：

23、2)表7-3中，第2、5 和 6 项给出输入端无采样开Y(s)R(s)C(s)X*(s)-G1(s)G2(s)H(s)XR(z)=RG1(z)；C(z)=G2(z)X(z)；X(z)=XR(z)-XY(z)；XY(z)=G2 HG1(z)X(z)；关系统的方框图。列写出信号间的关系式，消去中间变量，计算出C(z)。表7-3中，第2项：表7-3：第5项XR(z)=RG1(z)；C(z)=G3(z)X2(z)；X2(z)=G2(z)X1(z)；XY(z)=G3HG1(z)X2(z)；H(s)G1(s)G2(s)G3(s)Y(s)R(s)C(s)X1(s)-X2(s)X1(z)=XR(z)-XY(z

24、)；)(1)()(121zHGGzRGzX；)(1)()()(1212zHGGzRGzGzC；)(1)()(zHGzRGzC；)()(1)()()()(132123zHGGzGzRGzGzGzC表7-3：第6项CR(z)=RG(z)；C(z)=RG(z)-GH(z)C(z) ；CY(z)=GH(z)C(z)；H(s)G(s)Y(s)R(s)C(s)-C(z)=CR(z)-CY(z)；)()(1)()()(132122zHGGzGzRGzGzX1e)(zzzG例如：采样(T = 1s )惯性环节的输入为r(t) = 1(t)，6. Z变换的局限性及修正Z变换R(s)C(s)1/(s+1)(1)

25、Z变换的局限性根据输出Z变换C(z)，只能确定c(t)在采样时；1)(zzzR刻上的值，不能反映c(t)在采样间隔上的信息。；368. 0zz其输出c(t) 是连续的。 c(nT )和c(t)依次计算如下1e)(1zzzzzC；1221e1e11zzzz1T 2T 3T 4T 5T 6T 7T0t1局限性例续1.5820.5820.368c(t)；000e)(tttgt；0)()(nnTtgtc；)368. 01 (582. 1)(1nnTc；)1(1e1e11)(nnTc)()(nTtgtcnc(nT)；，nTtnTt)(e为研究采样间隔上的c(t)，可以(2) 修正Z变换可能存在突变。在系

26、统输出端增加采样次数，一个采样周期T 划分为 n个等份。采样次数，不会改变 c(t)与 r*(t) 的关系，在采样刻 k T上，仍然有C(z) = G(z)R(z)。1T 2T 3T 4T 5T 6T 7T0t11.5820.5820.368c(t)c(nT)c(nT/3)通常系统输出c(t)是连续信号，在采样时刻为讨论方便，将增加输出端的控制系统 ，吕淑萍等，哈尔滨工程大学出版社，P 96，2002.11.推导修正Z变换0)()()(mmTtgmTrtc；0)()()(mTmnkgmTrnkTc；修正Z变换有多种处理方法，可参阅数字0)()()(knnkTtnkTctc；以下是修正Z变换推导

27、过程：采样系统的输出信号为推导修正Z变换10)()()(knnkTtnkTctc；0/)()(knknznkTczC；式中 c*(t) n中的下标 n 表示输出端的采样频率是 0)/(0)()(kmnkmmzTmnkgzmTr 00/)()()(kmnknzTmnkgmTrzC输入端采样频率的 n 倍，即T n =T / n。推导修正Z变换2；00/)()(mminizmTrzTnig)/,()(/1nTzGzGnn；0)/(0)()()(kmnkmmnzTmnkgzmTrzC。，nTTzznnn/1，)()()(zRzGzCnn交换求和次序，得到记离散系统如下图所示，计算c*(t)。例7-2

28、5R(s)C(s)1/(s+1)解:；TzzzGe)(；13333zz1)(zzzR；) 1)(717. 0()(333433zzzzC已知系统输入端采样周期为T =1s, r(t)=1(t), n =3。；717. 033zz3/1333e)(zzzG；) 1)(e()(12zzzzC例7-25续作Z反变换(长除法)得4333231398. 0368. 1513. 0717. 01)(zzzzzCn21504. 1368. 11)(zzzC对于只有一个采样开关的系统，可以得到下，)/()/ ()(TTttgTTtctc式中 t/T 是小于等于t/T 的最大整数。例7-25中，t =T/3, 2T/3, 4T/3, 1.8T；7165. 0e)3 / 1()0()3 /1 (3/1gcc；5134. 0e)3 / 2()0()3 / 2(3/2gcc；9802. 0e368. 1)3 / 1 () 1 ()3 / 4(3/1gcc；6147. 0e368. 1)8 . 0() 1 ()8 . 1 (8 . 0gcc述结论：1. the act or process of returning orCOLLINS (DICTIONARY)递