数字电路第2章

1、第第2章章 逻辑代数基础逻辑代数基础重点：重点：1 熟练掌握逻辑代数的基本定律和规则；熟练掌握逻辑代数的基本定律和规则； 2 熟练掌握逻辑函数的最小项之和表达式熟练掌握逻辑函数的最小项之和表达式 3 掌握逻辑函数的变换和卡诺图化简法。掌握逻辑函数的变换和卡诺图化简法。第二章第二章 逻辑代数逻辑代数课程导入课程导入l 逻辑代数又称布尔代数逻辑代数又称布尔代数。它是分析和设计现代数字逻辑电路它是分析和设计现代数字逻辑电路不可缺少的数学工具。逻辑代数有一系列的定律、定理和规则，不可缺少的数学工具。逻辑代数有一系列的定律、定理和规则，用于对数学表达式进行处理，用于对数学表达式进行处理，以完成对逻辑电路

2、的化简、变换、以完成对逻辑电路的化简、变换、分析和设计。分析和设计。l 在数字电路中往往是将事情的条件作为输入信号，而结果用在数字电路中往往是将事情的条件作为输入信号，而结果用输出信号表示。条件和结果的两种对立状态分别用逻辑输出信号表示。条件和结果的两种对立状态分别用逻辑“1” 1” 和和“0”0”表示。表示。第二章第二章 逻辑代数逻辑代数2.1 2.1 逻辑代数的运算定律和规则逻辑代数的运算定律和规则 公理、定律与常用公式公理、定律与常用公式公公 理理交换律交换律结合律结合律分配律分配律0-1律律重叠律重叠律互补律互补律还原律还原律反演律反演律0 0 = 00 1 =1 0 =0 1 1 =

3、 10 + 0 = 00 + 1 =1 + 0 =1 1 + 1 = 1A B = B A A + B = B + A (A B ) C = A (B C) (A+ B )+ C = A+ (B+ C) 自等律自等律A ( B + C ) = A B+ A C A + B C =( A + B) (A+ C )A 0=0 A+ 1=1A 1=A A+ 0=AA A=0 A+A=1A A=A A+ A=AA B= A+B A+ B=AB A= A吸收律吸收律消因律消因律包含律包含律合并律合并律A B+ A B =A (A+ B) (A+ B) =A A+A B=A+B A (A+B)=AA+ A

4、 B =A+B A (A+ B) =A B AB+ A C +BC= AB+ A C(A+B)( A+ C )(B+C)= (A+B)(A +C)第二章第二章 逻辑代数逻辑代数证明方法证明方法1-利用真值表利用真值表例：用真值表证明反演律例：用真值表证明反演律A BA BAB A+ BA BA+B000110111110111010001000 A B= A+B A+ B=AB第二章第二章 逻辑代数逻辑代数BCCAABB)C(1AC)AB(1CAAB等式右边等式右边由此可以看出：与或表达式中，两个乘积项分别包由此可以看出：与或表达式中，两个乘积项分别包含含同一因子同一因子的的原原变量和变量和反

5、反变量，而两项的剩余因子变量，而两项的剩余因子包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的包含在第三个乘积项中，则第三项是多余的CAABBCDECAAB公式可推广：公式可推广：例：证明包含律例：证明包含律CAABBCCAAB成立成立BC)AA(CAAB2-利用基本定律利用基本定律BCAABCCAAB第二章第二章 逻辑代数逻辑代数举例说明举例说明试用逻辑代数定律证明下列等式：试用逻辑代数定律证明下列等式：1. BBABA)(2. ACABCABCBAABC试用真值表证明下列等式：试用真值表证明下列等式：1. BAAAB2.1.1(1) 2.1.2 (3) (5)第二章第二章 逻辑代数逻辑代数 三个基本

6、运算规则三个基本运算规则 代入规则代入规则：任何一个含有某变量的等式，如果任何一个含有某变量的等式，如果等等式式中所有出现此中所有出现此变量变量的位置均代之以的位置均代之以一个一个逻辑函数式逻辑函数式，则此等式依然成立，则此等式依然成立例：例： A B= A+BBCBC替代替代B B得得ABCBCACBA由此反演律能推广到由此反演律能推广到n n个变量：个变量：n 21n 21n 21n 21AAAAAAAAAA A A利用反演律第二章第二章 逻辑代数逻辑代数 反演规则反演规则：对于任意一个逻辑函数式对于任意一个逻辑函数式F F，做如下处理：，做如下处理： 若把式中的运算符若把式中的运算符“.

7、 .”换成换成“+ +”, , “+ +” 换成换成“. .”; ; 常量常量“0 0”换成换成“1 1”，“1 1”换成换成“0 0”； 原原变量换成变量换成反反变量，变量，反反变量换成变量换成原原变量变量那么得到的那么得到的新函数式新函数式称为原函数式称为原函数式F F的的反函数式反函数式。注：注： 保持原函数的运算次序保持原函数的运算次序-先与后或先与后或，必要时适当地加入括号，必要时适当地加入括号 不属于单个变量上的非号有两种处理方法不属于单个变量上的非号有两种处理方法 非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换 将非号去掉，而非号下的函数式保

8、留不变将非号去掉，而非号下的函数式保留不变例：例：F(AF(A、B B、C)C)CBAB )C A(BA 其反函数为其反函数为)CBA(BCA)BA(F或或)CBA(B)CA()BA(F第二章第二章 逻辑代数逻辑代数举例说明：举例说明：1. CDBAY12. )(2EDCBAY 试求下列函数的反函数试求下列函数的反函数第二章第二章 逻辑代数逻辑代数 对偶式对偶式： 对于任意一个逻辑函数，做如下处理：对于任意一个逻辑函数，做如下处理：1 1）若把式中的运算符）若把式中的运算符“. .”换成换成“+ +”，“+ +”换成换成“. .”；2 2）常量）常量“0 0”换成换成“1 1”，“1 1”换成

9、换成“0 0”得到新函数式为原函数式得到新函数式为原函数式F F的对偶式的对偶式FF，也称对偶函数，也称对偶函数 对偶规则：对偶规则：如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。即等。即 若若 F F1 1 = F = F2 2 则则F F1 1= F= F2 2。使公式的。使公式的数目增加一倍。数目增加一倍。 求对偶式时求对偶式时运算顺序不变运算顺序不变，且它只，且它只变变换换运运算符和常量算符和常量，其，其变量变量是是不变不变的。的。注：注： 函数式中有函数式中有“ ”和和“”运算符，求反运算符，求反函数及对偶函数时，要将运算符函数及对偶函数时，

10、要将运算符“ ”换成换成“”， “”换成换成“ ”。 例：例：B1CAABF 其对偶式其对偶式)B 0() CA ()BA(F第二章第二章 逻辑代数逻辑代数举例说明：举例说明：)(1CBAY)(2EDCBAY 试求下列函数的对偶函数试求下列函数的对偶函数2.1.3第二章第二章 逻辑代数逻辑代数2.2 逻辑函数表达式的形式逻辑函数表达式的形式l 逻辑函数表达式的基本形式逻辑函数表达式的基本形式l 最小项与最小项表达式最小项与最小项表达式l 最大项与最大项表达式最大项与最大项表达式第二章第二章 逻辑代数逻辑代数 五种常用表达式形式五种常用表达式形式F(AF(A、B B、C)C)CAAB“与与或或”

11、式式)BA)(CA(“或或与与”式式CAAB“与非与非与非与非”式式 BACA“或非或非或非或非”式式BACA“与与或或非非”式式基本形式基本形式 表达式形式转换表达式形式转换CA AB F CAABCAAB利用还原律利用还原律利用反演律利用反演律一、函数表达式的常用形式一、函数表达式的常用形式第二章第二章 逻辑代数逻辑代数二、逻辑函数的标准形式二、逻辑函数的标准形式最小项：最小项：n n个变量有个变量有2 2n n个最小项，记作个最小项，记作m mi i3 3个变量有个变量有2 23 3（8 8）个最小项个最小项CBACBAm m0 0m m1 100000101CBABCACBACBACA

12、BABC m m2 2m m3 3m m4 4m m5 5m m6 6m m7 7010011100101110111234567n n个变量的逻辑函数中，包括个变量的逻辑函数中，包括全部全部n n个变量个变量的的乘积项乘积项（每个变量必须而且只能以原变（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）量或反变量的形式出现一次）1、 最小项最小项和和最小项表达式最小项表达式乘积项乘积项最小项最小项二进制数二进制数十进制数十进制数编号编号最小项编号最小项编号i-i-各输入变各输入变量量取值取值看成看成二进制数二进制数，对应的对应的十进制数十进制数第二章第二章 逻辑代数逻辑代数0 0 1A B

13、 CA B C0 0 0m m0 0CBAm m1 1m m2 2m m3 3m m4 4m m5 5m m6 6m m7 7CBACBABCACBACBACABABC 1 -n20iimF1000000001000000110 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1000000000000100000010000001000000100000010000001111111三变量的最小项真值表三变量的最小项真值表 最小项的性质：最小项的性质： 同一组变量取值任意同一组变量取值任意两个不同两个不同最小项最小项的的乘积乘积为为0。即。即mi mj=0 (ij) 全部全部最小项之最

14、小项之和和为为1，即，即120ii1mn 任意一组变量取值，任意一组变量取值，只有一个只有一个最小最小 项项的值为的值为1，其它最小项的值均为，其它最小项的值均为0第二章第二章 逻辑代数逻辑代数 由若干最小项或构成的逻辑表达式成为最小项表达式由若干最小项或构成的逻辑表达式成为最小项表达式式中的每一个乘式中的每一个乘积项均为最小项积项均为最小项F(AF(A、B B、C C、D)D)D C BADCBADC B AD C B A8510mmmm)8 5 1 0(m、例：例：求函数求函数F(AF(A、B B、C C、D)D)CB ABA的标准积之的标准积之和表达式和表达式解：解：F(AF(A、B B

15、、C C、D)D)CB ABACB ABACB A)CC(BACB ACBABCA123mmm)3 2 1 (m、利用反演律利用反演律利用互补律，补利用互补律，补上所缺变量上所缺变量CA B CA B C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1mi01234567FMi0123456700010111例：例：已知函数的真值表，写出该函数的标准积之和表达式已知函数的真值表，写出该函数的标准积之和表达式 从真值表找出从真值表找出F为为1的对应最小项的对应最小项解解:0 1 1 3 3 1 1 0 1 5 5 1 1 1 0 6 6 1 1 1 1 7 7 1

16、 然后将这些项逻辑加然后将这些项逻辑加F(AF(A、B B、C)C)ABCCABCBABCA7653mmmm)7 6 5 3(m、2、 逻辑函数的逻辑函数的最小项最小项表达式表达式第二章第二章 逻辑代数逻辑代数举例说明举例说明例例2.2.1 将逻辑函数将逻辑函数 变换成最变换成最小项之和表达式。小项之和表达式。CAABCBAL),(标准与或表标准与或表达式达式解解：利用公式利用公式 ,将逻辑函数中的每一个乘积项都化将逻辑函数中的每一个乘积项都化成包含所有变量成包含所有变量A、B、C的项。的项。AA )()(),(BBCACCABCAABCBALCBABCACABABC1367mmmm)7 ,

17、6 , 3 , 1 (m第二章第二章 逻辑代数逻辑代数举例说明举例说明例例2.2.2 将逻辑函数将逻辑函数 变换成最小项表达式。变换成最小项表达式。ABCBAABCBAL)(),(解解: (1) 多次利用摩根定理去掉非号，直至最后得到一个只多次利用摩根定理去掉非号，直至最后得到一个只在单个变量上有非号的表达式。在单个变量上有非号的表达式。ABCBAABCBAL)(),(ABCBAAB)(ABCBABAABCBAAB)(第二章第二章 逻辑代数逻辑代数(2) 利用分配率去掉括号，直至得到一个与利用分配率去掉括号，直至得到一个与-或表达式或表达式ABCBABACBAL)(),(ABBCABCA(3)

18、 式中式中AB不是最小项，用不是最小项，用 进行配项，可得进行配项，可得CC )(),(CCABBCABCACBALCABABCBCABCA)7 , 6 , 5 , 3(m第二章第二章 逻辑代数逻辑代数二、逻辑函数的标准形式二、逻辑函数的标准形式最大项：最大项：n n个变量有个变量有2 2n n个最小项，记作个最小项，记作M Mi i3 3个变量有个变量有2 23 3（8 8）个最大项个最大项n n个变量的逻辑函数中，包括个变量的逻辑函数中，包括全部全部n n个变量个变量的的或项或项（每个变量必须而且只能以原变量（每个变量必须而且只能以原变量或反变量的形式出现一次）或反变量的形式出现一次）2、

19、 最大项最大项和和最大项表达式最大项表达式乘积项乘积项最大项编号最大项编号i-i-各输入变各输入变量量取值取值看成看成二进制数二进制数，对应的对应的十进制数十进制数最大项的性质：最大项的性质： 同一组变量取值任意同一组变量取值任意两个不同两个不同最大项最大项的和为的和为1。 全部全部最大项之积为最大项之积为0. 任意一组变量取值，任意一组变量取值，只有一个只有一个最大最大 项项的值为的值为0，其它最大项的值均为，其它最大项的值均为1第二章第二章 逻辑代数逻辑代数3、 最小项最小项和和最大项的关系最大项的关系l 相同变量构成的最小项与最大项之间存在互补相同变量构成的最小项与最大项之间存在互补关系

20、关系iiMm或或iimM第二章第二章 逻辑代数逻辑代数举例说明举例说明例例2.2.3 将逻辑函数将逻辑函数 变换成最大项表达式。变换成最大项表达式。CAABCBAL),(解解: 多次利用摩根定理，将函数变换成或多次利用摩根定理，将函数变换成或-与表达式，即与表达式，即)(),(CABACAABCBAL)()(CBCABA)()()(CBACBACBACBA)5 , 4 , 2 , 0(2054MMMMM第二章第二章 逻辑代数逻辑代数课堂练习课堂练习例例 2.2.42.2.1 （1） 2.2.3 （1） 作业：作业：2.2.1 （3） 2.2.3 2.2.6 第二章第二章 逻辑代数逻辑代数2.3

21、 逻辑函数代数化简逻辑函数代数化简逻辑函数的最简形式逻辑函数的最简形式逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法 第二章第二章 逻辑代数逻辑代数函数的简化依据函数的简化依据 逻辑电路所用门的数量少逻辑电路所用门的数量少 每个门的输入端个数少每个门的输入端个数少 逻辑电路构成级数少逻辑电路构成级数少 逻辑电路保证能可靠地工作逻辑电路保证能可靠地工作降低成本降低成本提高电路的工作提高电路的工作速度和可靠性速度和可靠性逻辑函数的简化逻辑函数的简化第二章第二章 逻辑代数逻辑代数 五种常用表达式形式五种常用表达式形式F(AF(A、B B、C)C)CAAB“与与或或”式式)BA)(CA(“或或与与”式式CA

22、AB“与非与非与非与非”式式 BACA“或非或非或非或非”式式BACA“与与或或非非”式式基本形式基本形式1、函数表达式最简形式、函数表达式最简形式l 以与以与-或表达式为例，将其中包含的乘机项最少，且每个或表达式为例，将其中包含的乘机项最少，且每个乘积项变量数量最少的表达式称为最简与乘积项变量数量最少的表达式称为最简与-或表达式。或表达式。第二章第二章 逻辑代数逻辑代数最简式的特点：最简式的特点： 与项（乘积项）的个数与项（乘积项）的个数最少最少 每个乘积项中变量个数最少每个乘积项中变量个数最少 与或表达式的简化与或表达式的简化2、公式法化简函数、公式法化简函数方法：方法： 并项：并项： 利

23、用利用ABAAB将两项并为一项，将两项并为一项，且消去一个变量且消去一个变量B B 消项：消项： 利用利用A + AB = AA + AB = A消去多余的项消去多余的项ABAB 消元：利用消元：利用BABAA消去多余变量消去多余变量A A 配项：利用配项：利用1AA重叠律先增添项，再消去多余项重叠律先增添项，再消去多余项BCBCCAABBCCAAB第二章第二章 逻辑代数逻辑代数CBDBDAACF例：化简例：化简函数函数解：解：CBDBDAACF利用反演律利用反演律)BA(DCBACABDCBAC配项加配项加ABABABDABCBAC消因律消因律DABCBAC消项消项ABABDCBAC 简化简

24、化)( )(DECBAEDCBAYEFBEFBABDCAABDAADL第二章第二章 逻辑代数逻辑代数BA BABAFBA ABBABAF第二章第二章 逻辑代数逻辑代数CBACBAL例：试对逻辑函数表达式进行变换，仅用或非门画出该例：试对逻辑函数表达式进行变换，仅用或非门画出该表达式的逻辑图。表达式的逻辑图。解：解：CBACBALCBACBACBACBA第二章第二章 逻辑代数逻辑代数ABCCBACBAL第二章第二章 逻辑代数逻辑代数课堂练习课堂练习用代数化简法对下列各式化简成最简的与用代数化简法对下列各式化简成最简的与-或表达式：或表达式：)(ABCAB)(BABA )(CBBCA)(BABAA

25、BCBA2.3.1 (1) (3) (6)2.3.3第二章第二章 逻辑代数逻辑代数2.4 图形法化简函数图形法化简函数 卡诺图（卡诺图（K图）图）图中的图中的一小格一小格对应真值表中的对应真值表中的一行一行，即，即对应一个对应一个最小项最小项，又称真值图，又称真值图A B0 00 11 01 1 m0 m1 m2 m3AABBABBAAB ABAB1010 m0 m1 m2 m3 miABC01000111100001111000011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m1

26、1ABCD二二变变量量K图图三三变变量量K图图四四变变量量K图图第二章第二章 逻辑代数逻辑代数K K图图的的特特点点 k k图为方形图。图为方形图。n n个变量的函数个变量的函数-k-k图有图有2 2n n个小方个小方格，分别对应格，分别对应2 2n n个最小项个最小项； k k图中行、列两组变量取值按循环码规律排列，图中行、列两组变量取值按循环码规律排列，使变量各最小项之间具有使变量各最小项之间具有逻辑相邻性逻辑相邻性。上下左右几何相邻的方格上下左右几何相邻的方格内，只有一个因子不同内，只有一个因子不同 有三种几何相邻：有三种几何相邻：相接（紧挨着）、相对（行、相接（紧挨着）、相对（行、列两

27、端）和相重列两端）和相重（对折起来重合）方格均属相邻（对折起来重合）方格均属相邻0001111000011110 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m12 m13 m14 m15 m8 m9 m10 m11ABCD四四变变量量K图图两个相邻格圈在一起，两个相邻格圈在一起，结果消去一个变量结果消去一个变量ABD ADA1四个相邻格圈在一起，四个相邻格圈在一起，结果消去两个变量结果消去两个变量八个相邻格圈在一起，八个相邻格圈在一起，结果消去三个变量结果消去三个变量十六个相邻格圈在十六个相邻格圈在一起，结果一起，结果 mi=1 化简依据化简依据卡诺图化简函数规则：卡诺图化简函数规则：

28、几何相邻的几何相邻的2i（i = 1、2、3n）个小格）个小格可合并可合并在一起构成正方形或矩形圈，消去在一起构成正方形或矩形圈，消去i个变量，而用个变量，而用含含（n - i）个变量的积项标注该圈个变量的积项标注该圈。第二章第二章 逻辑代数逻辑代数 化简步骤化简步骤步步骤骤 先将函数填入相应的卡诺图中，存在的最小先将函数填入相应的卡诺图中，存在的最小项对应的方格填项对应的方格填1，其它填，其它填0。 合并：按作圈原则将图上填合并：按作圈原则将图上填1的方格圈起来，的方格圈起来，要求圈的要求圈的数量少数量少、范围大范围大，圈，圈可重复包围可重复包围但每但每个圈内必须有个圈内必须有新新的最小项。

29、的最小项。 每个圈写出一个乘积项。每个圈写出一个乘积项。 将全部乘积项逻辑加即得最简的函数表达式将全部乘积项逻辑加即得最简的函数表达式第二章第二章 逻辑代数逻辑代数 根据函数填写卡诺图根据函数填写卡诺图1、已知函数为最小项表达式，存在的最小项对应的格、已知函数为最小项表达式，存在的最小项对应的格填填1，其余格均填，其余格均填0。2、若已知函数的真值表，将真值表中使函数值为若已知函数的真值表，将真值表中使函数值为1的的那些最小项对应的方格填那些最小项对应的方格填1，其余格均填，其余格均填0。 例子例子3、函数为一个复杂的运算式，则先将其变成函数为一个复杂的运算式，则先将其变成与或式与或式，再用直

30、接法填写。再用直接法填写。例子例子 作圈的步骤作圈的步骤2、相邻方格包括上下相邻，左右相邻和四个角两两相邻。、相邻方格包括上下相邻，左右相邻和四个角两两相邻。3、圈的圈的数量少数量少、范围大范围大，圈，圈可重复包围可重复包围但每个圈内必但每个圈内必须有须有新新的最小项，否则为多余。的最小项，否则为多余。4、含、含1的格都应被圈入，以防止遗漏积项，孤立单独围圈的格都应被圈入，以防止遗漏积项，孤立单独围圈1、包围圈内的方格数必须是包围圈内的方格数必须是2 2的的n n次幂。次幂。例子例子第二章第二章 逻辑代数逻辑代数课堂练习课堂练习P60 2.4.3P35 2.4.1 第二章第二章 逻辑代数逻辑代

31、数3 3、含有无关项函数的化含有无关项函数的化简简 填函数的卡诺图时只在无关项对应的格内填填函数的卡诺图时只在无关项对应的格内填任意符号任意符号 “”。处理方法：处理方法：无关项无关项对于变量的对于变量的某些取值组合某些取值组合，所对应的函数，所对应的函数值可以是值可以是任意的任意的，或者这些变量的取值根，或者这些变量的取值根本不会出现。通常将这些最小项称为本不会出现。通常将这些最小项称为约束约束项和任意项。项和任意项。在逻辑函数中统称为在逻辑函数中统称为无关项无关项 化简时可根据需要视为化简时可根据需要视为“1”也可视为也可视为“0”，使函数化到最简。使函数化到最简。 例子例子2.4.3第二

32、章第二章 逻辑代数逻辑代数小小 结结1、基本逻辑概念：基本逻辑概念： 逻辑问题的描述可用真值表、函数式、逻辑图、卡诺逻辑问题的描述可用真值表、函数式、逻辑图、卡诺图和时序图；图和时序图； 最基本的逻辑关系：与、或、非；最基本的逻辑关系：与、或、非； 复合逻辑关系：与非、或非、与或非、异或、同或。复合逻辑关系：与非、或非、与或非、异或、同或。第二章第二章 逻辑代数逻辑代数2、分析和设计逻辑电路的重要数学工具分析和设计逻辑电路的重要数学工具-布尔代数布尔代数重要公式：重要公式：3、逻辑函数的化简逻辑函数的化简 公式法公式法 图形法图形法)(CABABCACBACBACBACBACAABBCCAAB第二章第二章 逻辑代数逻辑代数作业作业2.1.1(1) 2.1.