D方向导数与梯学习教案

1、会计学1D方向方向(fngxing)导数与梯导数与梯第一页，共17页。),(zyxPl则函数(hnsh)在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,证明证明(zhngmng): 由函数由函数且有在点 P 可微 ,得P故第1页/共17页第二页，共17页。对于(duy)二元函数为, ) 的方向(fngxing)导数为特别特别(tbi):(tbi): 当 l 与 x 轴同向 当 l 与 x 轴反向向角PlxyO第2页/共17页第三页，共17页。在点 P(1, 1, 1) 沿向量(xingling)3) 的方向(fngxing)导数 .解解: 向量 l 的方向余弦为第3页/共17页第四页，共17页。在点P

2、(2, 3)沿曲线(qxin)朝 x 增大(zn d)方向的方向导数.解解: 将已知曲线将已知曲线(qxin)用参数方程表示为用参数方程表示为它在点 P 的切向量为xOy2P第4页/共17页第五页，共17页。是曲面(qmin)在点 P(1, 1, 1 )处指向(zh xin)外侧的法向量,解解: 方向(fngxing)余弦为而同理得方向的方向导数.在点P 处沿求函数nn第5页/共17页第六页，共17页。方向(fngxing)导数公式令向量(xingling)这说明方向：f 变化率最大的方向模 : f 的最大变化率之值方向导数取最大值：zfyfxfG,)cos,cos,(cosl)1(llGlf

3、,方向一致时与当Gl:GGlfmax),cos(lGG第6页/共17页第七页，共17页。即同样(tngyng)可定义二元函数称为函数(hnsh) f (P) 在点 P 处的梯度记作(gradient),在点处的梯度 G说明说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:向量其中称为向量微分算子向量微分算子或 Nabla算子算子.leflfgradgrad( 为方向l 上的单位向量)lezfyfxfG,第7页/共17页第八页，共17页。OyxP称为(chn wi)函数 f 的等值线或等高线 . 则L*上点P 处的法向量(xingling)为 举例函数在一点的梯度垂直于该点等值线,指向函数增大的方向

4、.同样, 的等值面(等量面). 当其各偏导数不同其上点 P 处的法向量为称为时为零时, 第8页/共17页第九页，共17页。这是利用数学软件(run jin)Mathematica 绘制的曲面及其等高线图, 带阴影的等高线图中, 亮度越大对应曲面上点的位置越高等高线图带阴影(ynyng)的等高线图第9页/共17页第十页，共17页。解解: (1) 点点P处切平面处切平面(pngmin)的法向量为的法向量为在点 P(1,1,1) 处的切平面(pngmin)方程.故所求切平面方程为即(2) 求函数 f 在点 P (1,1,1) 沿增加最快方向的方向导数.(1)求等值面 (2) 函数 f 在点P处增加最

5、快的方向为沿此方向的方向导数为PzzyyyzxPfn)ln,2()(1)0, 1, 2()(Pfn思考思考: f 在点P处沿什么方向变化率为0 ?注意注意: 对三元函数, 与垂直的方向有无穷多)(Pf第10页/共17页第十一页，共17页。00) 1 (cc或grad第11页/共17页第十二页，共17页。1. 方向方向(fngxing)导数导数 三元(sn yun)函数 在点沿方向 l (方向角的方向导数为 二元函数 ),(yxf在点的方向导数为沿方向 l (方向角为第12页/共17页第十三页，共17页。2. 梯度梯度(t d) 三元(sn yun)函数 ),(zyxf在点),(zyxP处的梯度

6、(t d)为 二元函数 ),(yxf在点),(yxP处的梯度为3. 关系关系方向导数存在偏导数存在 可微leflfgradgrad梯度在方向 l 上的投影. 方向: f 变化率最大的方向模: f 的最大变化率之值 梯度的特点第13页/共17页第十四页，共17页。 P130 题 16提示提示(tsh):P107 2，3，6，7，8，9，10 作业作业(zuy)第八节 第14页/共17页第十五页，共17页。函数(hnsh)在点处的梯度(t d)解解:则注意 x , y , z 具有轮换对称性(1992 考研)第15页/共17页第十六页，共17页。指向 B( 3, 2 , 2) 方向(fngxing)的方向(