D32洛必达法则学习教案

1、会计学1D32洛必达法则洛必达法则(fz)第一页，共29页。)()(limxgxf微分(wi fn)中值定理函数(hnsh)的性态导数(do sh)的性态函数之商的极限导数之商的极限 转化00( 或 型)()(limxgxf本节研究本节研究:洛必达法则洛必达法则洛必达 第1页/共29页第二页，共29页。0)(lim)(lim) 1xFxfaxax)()(lim)3xFxfax存在 (或为 )()(lim)()(limxFxfxFxfaxax,)()()()2内可导在与aUxFxf0)( xF且定理定理(dngl) 1.型未定式型未定式00(洛必达法则(fz) 第2页/共29页第三页，共29页。

2、( 在 x , a 之间)无妨(w fn)假设, 0)()(aFaf在指出(zh ch)的邻域内任取,ax 则)(, )(xFxf在以 x, a 为端点(dun din)的区间上满足柯0)(lim)(lim) 1xFxfaxax故)()()()()()(aFxFafxfxFxf)()(Ff)()(limxFxfax)()(limFfax)()(limxFxfax)3定理条件定理条件: 西定理条件,)()(lim)3xFxfax存在 (或为 ),)()()()2内可导在与aUxFxf0)( xF且第3页/共29页第四页，共29页。定理(dngl) 1 中ax 换为下列(xili)过程之一:, a

3、x, ax,xx推论推论 2. 若)()(limxFxf满足定且型仍属)(, )(,00 xFxf理1条件, 则)()(lim)()(limxFxfxFxf)()(limxFxf 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.,x)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax洛必达法则定理1 第4页/共29页第五页，共29页。.123lim2331xxxxxx解解:原式型0023注意注意: 不是不是(b shi)未定式不能用洛必达法则未定式不能用洛必达法则 !266lim1xxx166lim1x332x1232 xx lim1x洛洛266lim1xxx洛洛第5页/共29页第六页，共2

4、9页。型未定式型未定式)(lim)(lim) 1xFxfaxax)()(lim)3xFxfax存在(cnzi) (或为)()(limxFxfax定理定理(dngl) 2.证证: 仅就极限仅就极限(jxin)()(limxFxfax存在的情形加以证明 .)()(limxFxfax(洛必达法则),)()()()2内可导在与aUxFxf0)( xF且第6页/共29页第七页，共29页。0)()(limxFxfax的情形(qng xing)()(limxFxfax limax)(1xF)(1xf limax)()(12xFxF)()(12xfxf)()()()(lim2xfxFxFxfax)()(lim

5、)()(lim2xfxFxFxfaxax)()(lim)()(lim1xfxFxFxfaxax)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax从而(cng r)型00第7页/共29页第八页，共29页。0)()(limxFxfax的情形(qng xing).取常数,0k,0 kkxFxfax)()(lim)()()(limxFxFkxfax)()()(limxFxFkxfax)()()(limxFxFkxfaxkxFxfax)()(lim)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax可用 1) 中结论(jiln)第8页/共29页第九页，共29页。)()(limxFxfax时, 结论仍然

6、(rngrn)成立. ( 证明略 )说明说明(shumng): 定理中定理中ax 换为之一,条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然(rngrn)成立., ax, ax,xx,x定理2 第9页/共29页第十页，共29页。.arctanlim12xxx解解: 原式 xlim型00221limxxx1211x21x11lim21xx思考思考(sko): 如如何求何求 nnn12arctanlim( n 为正整数) ?型洛洛第10页/共29页第十一页，共29页。. )0(lnlimnxxnx解解:原式11limnxxxnnxxn1lim0例例4. 求求解解: 原式0 xnxxnelim1xnxxnne

7、) 1(lim22lim(0).enxxxnN ,型型洛洛xnxne!lim洛洛洛洛第11页/共29页第十二页，共29页。. )0(elim, 0nxxnx(2) n 不为正整数的情形(qng xing).nx从而(cng r)xnxexkxexkxe1由(1)0elimelim1xkxxkxxx0elimxnxx用夹逼准则(zhnz)kx1kx存在正整数 k , 使当 x 1 时,第12页/共29页第十三页，共29页。例4. )0(0elim, 0nxxnx. )0(0lnlimnxxnx例3. 1) 例3 , 例4 表明(biomng)x时,lnx后者比前者(qin zh)趋于更快 .例如

8、,xxx21lim21limxxxxxx21lim事实上xxx21lim11lim2xx1)0(ex, )0( nxn用洛必达法则2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 第13页/共29页第十四页，共29页。,)()()(lim时不存在xFxf.)()(lim)()(limxFxfxFxf例如例如(lr),xxxxsinlim1cos1limxx)sin1 (limxxx1极限(jxin)不存在不能用洛必达法则(fz) ! 即 第14页/共29页第十五页，共29页。,0 ,00,1型0解决解决(jiju)方法方法:通分转化转化000取倒数(do sh)转化转化0010

9、取对数转化转化例例5. 求).0(lnlim0nxxnx型0解解: 原式nxxxlnlim0110limnxxxn0)(lim0nxnx洛洛第15页/共29页第十六页，共29页。型. )tan(seclim2xxx解解: 原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim20通分转化转化000取倒数(do sh)转化转化0010取对数(du sh)转化转化洛洛第16页/共29页第十七页，共29页。.lim0 xxx型00解解: xxx0limxxxln0elim0e1利用利用(lyng) 例例5例5 通分转化转化000取倒数(do sh)转化转化0

10、010取对数(du sh)转化转化第17页/共29页第十八页，共29页。.sintanlim20 xxxxx解解: 注意注意(zh y)到到xx sin原式30tanlimxxxx22031seclimxxx2203tanlimxxxxx22tan1sec31型00洛洛第18页/共29页第十九页，共29页。例例3nn1nnln1e1. ) 1(limnnnn2111limxxxx原式法法1. 直接直接(zhji)用洛必用洛必达法则达法则.型0下一步(y b)计算很繁 ! 21 limnn法法2. 利用利用(lyng)例例3结结果果.) 1(lim121nnnn1eln1nn21limnnnnl

11、n121lnlimnnn0uu1e 原式例3 例例3第19页/共29页第二十页，共29页。洛必达法则洛必达法则(fz)型00,1 ,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111fggflne第20页/共29页第二十一页，共29页。1. 设)()(limxgxf是未定式极限(jxin) , 如果)()(xgxf是否(sh fu)()(xgxf的极限也不存在 ? 举例说明 .极限不存在 , )1ln()cos1 (cossin3lim. 2120 xxxxxx说明3) 原式xxxxx120cossin3lim21xxx)1ln(0时，)03(2123分析分析:说明3)2cos1x第21页/共29

12、页第二十二页，共29页。分析分析(fnx):203cos1limxxx30 limxxxxxx1sin1cotlim0原式xsinx1coslim0 xxxxsin222103limxxxxcos1221x6161xxxxxx20sin)sin(coslim洛洛第22页/共29页第二十三页，共29页。,1xt 则2011221limttttxxxxx122lim23解解: 令原式tt2lim0 21)21 ( t21)1 (t2)1 ()21 (lim2323210ttt41洛洛洛洛第23页/共29页第二十四页，共29页。求下列(xili)极限 :;)11ln(lim) 12xxxx解解:tt

13、tt1)1ln(1lim2020)1ln(limtttt.cossec)1ln()1ln(lim)3220 xxxxxxx;e1lim)2211000 xxx)11ln(lim) 12xxxx)1 (2lim0ttttttt21lim11021)1(xt 令洛洛第24页/共29页第二十五页，共29页。,12xt 则tttelim50原式 =50limettt0ttte50lim49211000e1lim)2xxx解解: 令tte!50lim(用洛必达法则(fz)(继续(jx)用洛必达法则)第25页/共29页第二十六页，共29页。xxxxxcossec)1ln(lim22201xxxxxcossec)1 (lnlim420 xxxxxcosseclim4200limx1sec42sinlim220 xxxxxxxxxxxxcossec)1ln()1ln(lim)3220解解:原式 =342xxxxtansec)sin(x第三节 洛洛uuu)1ln(0时第26页/共29页第二十七页，共29页。法国(f u)数学家,他著有无穷小分