D121常数项级数39878学习教案

1、会计学1D121常数常数(chngsh)项级数项级数39878第一页，共24页。引例引例1. 用圆内接正多边形面积用圆内接正多边形面积(min j)逼近圆面积逼近圆面积(min j).依次(yc)作圆内接正边形, 这个和逼近于圆的面积 A .设 a0 表示即内接正三角形面积, ak 表示边数增加时增加的面积, 则圆内接正机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共24页第二页，共24页。小球从 1 米高处自由落下(lu xi), 每次跳起的高度减少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动? 说明(shumng)道理.由自由落体运动方程知则小球运动的时间为( s )设 tk 表示第 k 次小球落地

2、的时间, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共24页第三页，共24页。给定一个(y )数列将各项依即称上式为无穷(wqing)级数，其中第 n 项叫做级数的一般项,级数的前 n 项和称为级数的部分和.次相加, 简记为收敛收敛 ,则称无穷级数并称 S 为级数的和和,记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共24页第四页，共24页。当级数(j sh)收敛时, 称差值为级数(j sh)的余项.则称无穷(wqing)级数发散 .显然机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共24页第五页，共24页。 (又称几何级数(j h j sh)( q 称为(chn wi)公比 ) 的敛散性.

3、 解解: 1) 若从而因此级数收敛 ,从而则部分和因此级数发散 .其和为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共24页第六页，共24页。2). 若因此(ync)级数发散 ;因此(ync)n 为奇数(j sh)n 为偶数从而综合 1)、2)可知,时, 等比级数收敛 ;时, 等比级数发散 .则级数成为不存在 , 因此级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共24页第七页，共24页。解解: (1) 所以级数(j sh) (1) 发散 ;技巧技巧(jqio):利用 “拆项相消拆项相消” 求和机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共24页第八页，共24页。(2) 所以(suy)

4、级数 (2) 收敛, 其和为 1 .技巧技巧(jqio):利用(lyng) “拆项相消” 求和机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共24页第九页，共24页。判别(pnbi)级数的敛散性 .解解:故原级数(j sh)收敛 , 其和为机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第9页/共24页第十页，共24页。性质性质(xngzh)1. 若级数若级数1nnu收敛(shulin)于 S ,则各项乘以常数 c 所得级数也收敛 ,证证: 令则这说明1nnuc收敛 , 其和为 c S . 说明说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .即其和为 c S .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1

5、0页/共24页第十一页，共24页。则级数(j sh)也收敛(shulin), 其和为证证: 令,1nkknuS则这说明级数)(1nnnvu 也收敛, 其和为.S机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共24页第十二页，共24页。说明说明(shumng):(2) 若两级数中一个收敛(shulin)一个发散 , 则必发散(fsn) . 但若二级数都发散 ,)(1nnnvu 不一定发散.例如例如, (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .(用反证法可证)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共24页第十三页，共24页。在级数前面(qin mian)加上或去掉有限项, 不会影响级数

6、的敛散性.证证: 将级数将级数(j sh)的前 k 项去掉,的部分和为数敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况 .极限状况相同, 故新旧两级所得新级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共24页第十四页，共24页。收敛级数(j sh)加括弧后所成的级数(j sh)仍收敛于原级数(j sh)的和.证证: 设收敛设收敛(shulin)级数级数,1nnuS若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列 为原级数部分和序列 的一个子序列,推论推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.注意注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.因此必有例如，用反证

7、法可证用反证法可证例如机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共24页第十五页，共24页。解解: 考虑加括号考虑加括号(kuho)后的级数后的级数发散(fsn) ,从而原级数发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共24页第十六页，共24页。设收敛(shulin)级数则必有证证: 可见: 若级数(j sh)的一般项不趋于0 , 则级数(j sh)必发散 .例如例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共24页第十七页，共24页。并非级数(j sh)收敛的充分条件.例如例如(lr), 调和级数调和级数虽然但此级数发散 .事实上事

8、实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则但矛盾!所以假设不真 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共24页第十八页，共24页。解解: (1) 令则故从而(cng r)这说明级数(j sh)(1) 发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共24页第十九页，共24页。因进行进行(jnxng)拆项相消拆项相消这说明(shumng)原级数收敛 ,其和为(2) 机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第19页/共24页第二十页，共24页。211212nn1212nn这说明(shumng)原级数收敛, 其和为 3 .(3) 机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第20页/共24页第二十一页，共24页。的充要条件是:定理定理(dngl).有证证: 设所给级数(j sh)部分和数列为因为所以, 利用数列 的柯西审敛原理(第一章第六节) 即得本定理的结论 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共24页第二十二页，共24页。解解: ,Zp对任意有利用柯西审敛原理(yunl)判别级数 机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第22页/共24页第二十三页，共24页。当 nN 时,Zp对任意都有由