D101对弧长和曲线积分27063学习教案

1、会计学1D101对弧长和曲线对弧长和曲线(qxin)积分积分27063第一页，共21页。AB弧段为AB , 其线密度(md)为“大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 可得为计算此构件的质量,ks1kMkM1.1.引例引例: 曲线形构件的质量采用机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共21页第二页，共21页。设 是空间中一条有限长的光滑(gung hu)曲线,义在 上的一个(y )有界函数, 都存在(cnzi),上对弧长的曲线积分,记作若通过对 的任意分割局部的任意取点, 下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.),(zyxf称为被积函数， 称为积分弧段 .曲线形构件

2、的质量nk 1ks1kMkM和对机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共21页第三页，共21页。如果(rgu) L 是闭曲线 , 则记为则定义(dngy)对弧长的曲线积分为机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, (2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中dx 可能为负.第3页/共21页第四页，共21页。（k 为常数(chngsh)( 由 组成) 21,( l 为曲线(qxin)弧 的长度)机动 目录 上页 下页 返回 结束 对称性？第4页/共21页第五页，共21页。基本思路基本思路

3、:计算(j sun)定积分转 化定理定理(dngl):且上的连续函数,证证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分根据定义 kknkksf),(lim10机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共21页第六页，共21页。点设各分点对应(duyng)参数为对应(duyng)参数为 则nk 10lim机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第6页/共21页第七页，共21页。xdydsdxyoLsyxfd),(说明说明(shumng):因此(ync)积分限必须满足(2) 注意(zh y)到 x因此上述计算公式相当于“换元法”. 因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共21页第八页，

4、共21页。则有如果方程(fngchng)为极坐标形式:则syxfLd),(推广推广: 设空间曲线设空间曲线(qxin)弧的参数方程为弧的参数方程为则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共21页第九页，共21页。其中(qzhng) L 是抛物线与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解解:上点 O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共21页第十页，共21页。的圆弧 L 对于(duy)它的对称轴的转动惯量I (设线密度(md) = 1). 解解: 建立坐标系如图,R xyoL则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10

5、页/共21页第十一页，共21页。其中(qzhng)L为双纽线解解: 在极坐标系下它在第一象限(xingxin)部分为利用对称性 , 得yox机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共21页第十二页，共21页。其中(qzhng)为螺旋的一段弧.解解: 线机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共21页第十三页，共21页。其中(qzhng)为球面 被平面 所截的圆周. 0zyx提示提示(tsh): 由对称性可知由对称性可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共21页第十四页，共21页。1. 定义定义(dngy)2. 性质性质(xngzh)( l 曲线弧 的长度)机

6、动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共21页第十五页，共21页。 对光滑(gung hu)曲线弧Lsyxfd),( 对光滑(gung hu)曲线弧Lsyxfd),( 对光滑曲线弧机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共21页第十六页，共21页。1. 已知椭圆(tuyun)周长(zhu chn)为a , 求提示提示:原式 =o22yx3利用对称性xyd1222分析分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共21页第十七页，共21页。(1) 求它关于(guny) z 轴的转动惯量(2) 求它的质心(zh xn) .解解: 设其密度为 (常数).(2) L的质量而(1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共21页第十八页，共21页。0故重心坐标为第二节 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第18页/共21页第十九页，共21页。xyo1. 设设 C 是由极坐标系下曲线是由极坐标系下曲线(qxin)及所围区域(qy)的边界, 求4提示提示: 分段积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共21页第二十页，共21页。面的交线 , 求其形心 . 在第一(