参数方程的概念和圆的参数方程

1、参数方程的概念及参数方程的概念及圆的参数方程圆的参数方程高二数学组高二数学组 敖香敖香 一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m500m高处以高处以100m/s100m/s的速的速度作水平直线飞行度作水平直线飞行. . 为使投放救援物资准确落于灾区为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面指定的地面( (不记空气阻力不记空气阻力),),飞行员应如何确定投放飞行员应如何确定投放时机呢？时机呢？问题探究（一）问题探究（一）xy500o分析：分析：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿）沿ox作初速为作初速为100m/s的匀速直线

2、运动；的匀速直线运动；（2）沿）沿oy反方向作自由落体运动。反方向作自由落体运动。解：解：从飞机投弹所在的位置向地面作垂线，垂足为从飞机投弹所在的位置向地面作垂线，垂足为O,以垂线为以垂线为y轴，以轴，以O为原点，建立平面直角坐标系为原点，建立平面直角坐标系。物资出舱后，设在时刻物资出舱后，设在时刻t，水平位，水平位移为移为x，垂直高度为，垂直高度为y0,y 救援物资落地时，有10.10 .ts得100 ,1010 .xtxm代入得.1010 所m以，飞行员在离救援点的水平距离约为时投放物资，可以使其准确落在 指定位置 )2（g=9.8m/s221gthyvtx221500100gtytx即x

3、y500o( ),( ).xf tyg t（1）并且对于并且对于t的每一个允许值的每一个允许值, 由方程组由方程组(1) 所确定的点所确定的点M(x,y)都在这条曲线上都在这条曲线上, 那么方程那么方程(1) 就叫做这条曲线的就叫做这条曲线的参数方程参数方程, 联系变数联系变数x,y的变数的变数t叫做叫做参变数参变数, 简称参数简称参数. 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做的方程叫做普通方程普通方程。关于参数几点说明：关于参数几点说明： 参数是联系变数参数是联系变数x,y的桥梁的桥梁,1. 参数方程中参数可以是有物理意义参数方程中参数

4、可以是有物理意义, 几何意义几何意义, 也可以没有明也可以没有明显意义。显意义。2.同一曲线选取参数不同同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样曲线参数方程形式也不一样3.在实际问题中要确定参数的取值范围在实际问题中要确定参数的取值范围 一般地一般地, 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,如果曲线上如果曲线上任意一点任意一点的的坐标坐标x, y都是某个变数都是某个变数t的函数的函数概念讲解例例1: 已知曲线已知曲线C的参数方程是的参数方程是 （1）判断点）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线与曲线C的位置关系；的位置关系；（2）已知点）已知点M3(6, a)在曲线在曲线C上

5、上, 求求a的值。的值。23 ,()21.xttyt为参数例题讲解在曲线C上。所以M0方程组，解得t的坐标(0,1)代入解：(1)把点M11不在曲线C上。所以点M这个方程组无解12t43t5得到(5,4)代入方程组把点M222,2635,tt即9所以，a9,a2,解得t12ta3t6a)在曲线C上，所以(6,(2)因为点M23技法归纳判断点判断点 在不在参数方程在不在参数方程 表示的曲线表示的曲线上，只需把点的坐标带入方程组，上，只需把点的坐标带入方程组，方程组有解，说明点在曲线上；否则点不在曲线上。方程组有解，说明点在曲线上；否则点不在曲线上。( ),( ).xf tyg t00, yx 曲

6、线曲线 ，与，与x轴的交点坐标是轴的交点坐标是( )A、（1，4） B、 C、 D、21,(43xttyt 为 参 数 ）25(,0)16(1, 3)25(,0)16B变式练习上海摩天轮上海摩天轮 2002 2002年年5 5月月1 1日，中国第一座身高日，中国第一座身高108108米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列，营。并以此高度跻身世界三大摩天轮之列，居亚洲第一。居亚洲第一。 已知该摩天轮半径为已知该摩天轮半径为51.551.5米，逆时针米，逆时针匀速旋转一周需时匀速旋转一周需时2020分钟。如图所示，某分钟。如图所

7、示，某游客现在点（其中点和转轴的连线与水平游客现在点（其中点和转轴的连线与水平面平行）。问：经过面平行）。问：经过t t秒，该游客的位置秒，该游客的位置在何处在何处? ?问题探究（二）问题探究（二）yxorM(x,y)0M如图，设圆如图，设圆O O的半径是的半径是r r，点，点M M从初始位置从初始位置M M0 0（t=0t=0时的位时的位置）出发，按逆时针方向在圆置）出发，按逆时针方向在圆O O上作匀速圆周运动上作匀速圆周运动. .点点M M绕绕点点O O转动的角速度为转动的角速度为w.w.显然，点显然，点M M的位置由时的位置由时刻刻 t t 惟一确定，因此惟一确定，因此可以取可以取 t

8、t 为参数。为参数。如果在时刻如果在时刻t t，点，点M M转转过的角度是过的角度是，坐标，坐标是是M(M(x x, ,y y) )，那么，那么=t=t，设设rOM 由三角函数定义，有由三角函数定义，有rytrxtsin,cos即即)(.sin,cos为参数ttrytrx这就是圆心在原点这就是圆心在原点O，半径为，半径为 r 的圆的参数方程。的圆的参数方程。其中参数其中参数 t 有明确的物理意义（质点作匀速圆周有明确的物理意义（质点作匀速圆周运动的时刻）运动的时刻）oM(x,y)0Myxr考虑到考虑到 ，也可以取，也可以取为参数，于是有为参数，于是有 t)(sincos为参数ryrx 这也是圆

9、心在原点这也是圆心在原点O，半径为，半径为r 的圆的参数方程。的圆的参数方程。(其中参数其中参数 的几何意义是的几何意义是OM0绕点绕点O逆时针旋转到逆时针旋转到OM的位置时，的位置时， OM0转过的角度。转过的角度。) 由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示的曲线可以是相同的，它们表示的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参数另外，在建立

10、曲线的参数参数时，要注明参数及参数的取值范围。参数时，要注明参数及参数的取值范围。2 , 0圆的参数方程的一般形式圆的参数方程的一般形式么样的呢？的圆的参数方程又是怎半径为那么，圆心在点普通方程是的参数方程，它对应的以上是圆心在原点的圆ryxOryx),(,00222)(sincos00为参数ryyrxx其对应的普通方程为其对应的普通方程为22020)()(ryyxx例例2 如图，圆如图，圆O的半径为的半径为2，P是圆上的动点，是圆上的动点，Q(6,0)是是x轴上的定点，轴上的定点，M是是PQ的中点，当点的中点，当点P绕绕O作匀速圆周作匀速圆周运动时，求点运动时，求点M的轨迹的参数方程。的轨迹

11、的参数方程。例题讲解yyxxyyxxyxPyxM262,226,000000则有由中点坐标公式设134262422222020yxyxyxP即所以在圆上，所以因为点例例2 如图，圆如图，圆O的半径为的半径为2，P是圆上的动点，是圆上的动点，Q(6,0)是是x轴上的定点，轴上的定点，M是是PQ的中点，当点的中点，当点P绕绕O作匀速圆周作匀速圆周运动时，求点运动时，求点M的轨迹的参数方程。的轨迹的参数方程。yoxPMQ例题讲解分析：分析：取取 为参数，则圆为参数，则圆O O的参数的参数方程是方程是xOPsin2cos2yx为参数）（)(sin3cossin2sin2, 3cos26cos2),sin2 ,cos2(,),(为参数的轨迹的参数方程是所以，点由中点坐标公式得：的坐标是则点，的坐标是解：设点yxMyxPxOPyxMyoxPMQ参数方程求法参数方程求法: （1）建立直角坐标系）建立直角坐标系, 设曲线上任一点设曲线上任一点P坐标坐标（2）选取适当的参数）选取适当的参数（3）根据已知条件和