cho子群的陪集和拉格朗日定理实用学习教案

1、会计学1cho子群的陪集和拉格朗日定理子群的陪集和拉格朗日定理(dngl)实实用用第一页，共13页。第1页/共13页第二页，共13页。 第二章 二、子群二、子群(z qn)的指数和拉格朗日的指数和拉格朗日定理定理三、小结三、小结(xioji)与思考与思考 一、子群一、子群(z qn)的陪集的陪集机动 目录 上页 下页 返回 结束 子群的陪集和拉格朗日定理第2页/共13页第三页，共13页。机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 1、子群、子群(z qn)的陪集的陪集 1 1）定义）定义1 1 设设) ,(G是一个群，是一个群， ,GaGH则则 Ha称为称为H的一个左陪集（的一个左陪集（l

2、eft cosetleft coset），）， aH 称为称为H的一个右陪集（的一个右陪集（right cosetright coset）. . 例例1 1 HZkkmHZG,),(是是G的子群，的子群， 因为因为G是可交换群，故是可交换群，故 H的左陪集和右陪集的左陪集和右陪集相等，且每一个陪集正好与一个同余类对应相等，且每一个陪集正好与一个同余类对应. . 第3页/共13页第四页，共13页。机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 即即,ZkkmHH0,ZkkmH11.ZkkmmHm11 3S)(),(121H例例2 设设中子群中子群，则的左陪集有，则的左陪集有,)()(HHH 121)

3、,(),()()(1231312313HH).(),()()(1322313223HH第4页/共13页第五页，共13页。机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 2、陪集的性质、陪集的性质(xngzh) HaH一般而言，陪集一般而言，陪集称为以称为以为代表元的陪集，为代表元的陪集， 同一个陪集可以同一个陪集可以(ky)(ky)有不同的代表元有不同的代表元. .)(HaHaH1.)(bHaHaHb2即表明陪集中的任何即表明陪集中的任何 一个元素都可作为代表元一个元素都可作为代表元. .).()(HbaHbHaHbabHaH113 Gba,bHaH （4 4）对任何对任何有有或或. bHaH

4、 第5页/共13页第六页，共13页。机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 HGaaH即即构成的一个划分构成的一个划分. .的全体左陪集的全体左陪集 （5 5）由划分与等价关系的对应，子群）由划分与等价关系的对应，子群(z qn)(z qn)在中可确定在中可确定 两个两个(lin )等价关系：等价关系：,:HbabaLL1.:HabbaRR1相应的商集为相应的商集为,/GaaHGL./GaHaGR第6页/共13页第七页，共13页。机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 例如例如(lr)(lr)，设，设 ,)( ),(12bcadRdcbadbcaHRGLG则则H的全体左陪集为的全体

5、左陪集为,)(*RrHr100相应相应(xingyng)的商集的商集.)( )/(*RrHrHGL100第7页/共13页第八页，共13页。机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 1、子群、子群(z qn)的指数的指数 定理定理1 设设G是群，是群， ,GaHaSGaaHSGHRLLSRS则存在则存在到到的双射的双射. .LSRS建立建立到到的双射：的双射： ).(:RLSSHaaH1 第8页/共13页第九页，共13页。机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义2 设设G是群，是群， HGH,在在G中的左（右）陪集中的左（右）陪集 HG.:HG个数称为个数称为在在中的指数（

6、中的指数（index），记为），记为定理定理2 （Lagrange（拉格朗日）定理）（拉格朗日）定理） 设设G是有限群，是有限群， ,GH 则则.:HGHG LagrangeLagrange（拉格朗日）定理（拉格朗日）定理(dngl)(dngl)的推论：的推论： （1）设）设G是有限群，是有限群， ,GH 则则.GH第9页/共13页第十页，共13页。机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 （2）当）当G时，时， Ga,)(Gao对任何对任何有有因而有因而有. eaG（3）若）若pG ，则，则 PCGP(阶循环群），阶循环群）， 即素数即素数(s sh)(s sh)阶群必为循环群阶群必为循环群. . 定理定理3 设设G是有限群，是有限群， BA,G是是的两个有限子群，的两个有限子群， 则有则有.BABAAB第10页/共13页第十一页，共13页。机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 例例3 3 确定确定3S中的所有子群中的所有子群. . 3S中的所有子群为：中的所有子群为：.,)(,)(,)(),(,3654321123231312SHHHHHH 例4 确定(qudng)所有可能的4阶群.所有所有4 4阶群只有阶群只有(zhyu)(z