圆的基本性质复习宝典学习教案

1、会计学1圆的基本性质圆的基本性质(xngzh)复习宝典复习宝典第一页，共39页。圆的定义(dngy)有关(yugun)概念圆的基本性质圆心、半径、直径弧、弦、弦心距等圆、同心圆圆心角、圆周角（补充圆内角、圆外角）三角形外接圆、圆的内接三角形、四边形的外接圆、圆的内接四边形点和圆的位置关系不在同一直线上的三点确定一个圆圆的中心对称性和旋转不变性圆的轴对称性垂径定理圆心角定理圆周角定理圆内接四边形的性质第1页/共39页第二页，共39页。1.1.本课时重点是垂径定理本课时重点是垂径定理(dngl)(dngl)及其推论，圆心角、及其推论，圆心角、圆周角、弦心距、弧之间的关系圆周角、弦心距、弧之间的关系

2、. .2.2.圆的定义圆的定义(dngy)(dngy)(1)(1)是通过旋转是通过旋转. .(2)(2)是到定点的距离等于定长的点的集合是到定点的距离等于定长的点的集合. .3.3.点和圆的位置点和圆的位置(wi zhi)(wi zhi)关系关系( (圆心到点的距离为圆心到点的距离为d)d)(1)(1)点在圆上点在圆上d=r.d=r.(2)(2)点在圆内点在圆内d dr.r.(3)(3)点在圆外点在圆外d dr.r.第2页/共39页第三页，共39页。4.4.与圆有关的概念与圆有关的概念(1)(1)弦：连结圆上任意两点的线段弦：连结圆上任意两点的线段. .(2)(2)直径：经过圆心的弦直径：经过

3、圆心的弦. .(3)(3)弧：圆上任意两点间的部分弧：圆上任意两点间的部分. .(4)(4)优弧：劣弧、半圆优弧：劣弧、半圆. .(5)(5)等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的孤等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的孤. .(6)(6)圆心角：顶点圆心角：顶点(dngdin)(dngdin)在圆心，角的两边与圆相交在圆心，角的两边与圆相交. .(7)(7)圆周角：顶点圆周角：顶点(dngdin)(dngdin)在圆上，角的两边与圆相交在圆上，角的两边与圆相交. .(8)(8)三角形外心及性质三角形外心及性质. .第3页/共39页第四页，共39页。垂径定理垂径定理(dngl)(dngl)：垂直于

4、弦的直径平分弦，并：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦且平分弦 所对的两条弧所对的两条弧. .推论推论1 1：平分：平分(pngfn)(pngfn)弦弦( (不是直径不是直径) )的直径垂直于弦，并的直径垂直于弦，并且且 平分平分(pngfn)(pngfn)弦所对的两条弧弦所对的两条弧. .推论推论2 2：弦的垂直平分：弦的垂直平分(pngfn)(pngfn)线经过圆心，并且平分线经过圆心，并且平分(pngfn)(pngfn)弦弦 所对的两条弧所对的两条弧. .推论推论3 3：平分：平分(pngfn)(pngfn)弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分(pngfn)(png

5、fn) 弦，并平分弦，并平分(pngfn)(pngfn)弦所对的另一条弧弦所对的另一条弧. .5.5.有关有关(yugun)(yugun)定理及推论定理及推论(1)(1)定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆. .(2)(2)垂径定理及其推论垂径定理及其推论. . 第4页/共39页第五页，共39页。(4)(4)圆周角圆周角定理定理(dngl)(dngl)：一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的：一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的一半一半. . 推论推论1 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆 中，相等的圆周角所

6、对的弧也相等中，相等的圆周角所对的弧也相等. .推论推论2 2：半圆：半圆( (或直径或直径) )所对的圆周角是直角；所对的圆周角是直角；9090的圆的圆 周角所对的弦是直径周角所对的弦是直径. .推论推论3 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半：如果三角形一边上的中线等于这边的一半(ybn)(ybn)， 那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形. .定理定理(dngl)(dngl)：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等. . (3)(3)圆心角、弧、圆心角、弧、

7、弦、弦心距弦、弦心距. 第5页/共39页第六页，共39页。(5)圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补，并且圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补，并且(bngqi)任何一个外角都等于它的内对角任何一个外角都等于它的内对角. 第6页/共39页第七页，共39页。【例【例1 1】在直径】在直径(zhjng)(zhjng)为为400mm400mm的圆柱形油槽内，装的圆柱形油槽内，装入一部分油，油面宽入一部分油，油面宽320mm320mm，求油的深度，求油的深度. .【解析】本题是以垂径定理【解析】本题是以垂径定理(dngl)(dngl)为考查点的几何应用题，没为考查点的几何应用题，没有给

8、出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为截面圆有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为截面圆的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性，弦的位置有的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性，弦的位置有两种不同的情况，如图两种不同的情况，如图(1)(1)和和(2)(2)图图(1)(1)中中OC=OC=120(mm)=120(mm)CD=80(mm)CD=80(mm)图图(2)(2)中中OC=120(mm)OC=120(mm)CD=OC+OD=320(mm)CD=OC+OD=320(mm)2222160200BCOB 第7页/共39页第八页，共39页。【例【例2 2】如图，】如图，O O是是CAECAE平分线

9、上的一点，以点平分线上的一点，以点O O为圆心的圆为圆心的圆和和CAECAE的两边分别交于点的两边分别交于点B B、C C和和D D、E E，连结，连结(lin ji)BD(lin ji)BD、CE.CE. 求证：求证：(1)BC=DE (2)AC=AE (3)DBCE.(1)BC=DE (2)AC=AE (3)DBCE.第8页/共39页第九页，共39页。【解析】【解析】(1)(1)要证弧相等，即要证弦相等或弦心距离相等，要证弧相等，即要证弦相等或弦心距离相等，又已知又已知OAOA是是CAECAE的平分线，联想到角平分线性质，的平分线，联想到角平分线性质，故过故过O O分别作分别作OGACOG

10、AC于于G G，OHAEOHAE于于H H，OG=OHOG=OHBC=DEBC=DE(2)(2)由垂径定理由垂径定理(dngl)(dngl)知：知：BC=DEBC=DE，G G、H H分别是分别是BCBC、DEDE的中点的中点. .再由再由AOGAOGAOHAOHAG=AHAG=AHAB=AD AC=AE.AB=AD AC=AE.(3)AC=AE(3)AC=AEC=EC=E，再根据圆的内接四边形的，再根据圆的内接四边形的性质定理性质定理(dngl)(dngl)知知C=ADBC=ADBE=ADBE=ADBBDCE.BDCE.第9页/共39页第十页，共39页。【例【例3】如图，】如图，ABC中，中

11、，A700， O截截ABC的三条的三条(sn tio)边所截得的边所截得的弦长都相等，则弦长都相等，则BOC 。OBAC第10页/共39页第十一页，共39页。2CRd2SR180n Rl1.圆周圆周(yunzhu)长计长计算公式算公式:2.圆面积计算公式圆面积计算公式:4.扇形扇形(shn xn)的面积的面积计算公式计算公式:3.扇形扇形(shn xn)的弧的弧长计算公式长计算公式:213602n RSlR5.补充圆锥展开图的圆心角补充圆锥展开图的圆心角:r3 6 0l圆的弧长圆的弧长、图图形的面积和圆锥的侧面积计算形的面积和圆锥的侧面积计算 第11页/共39页第十二页，共39页。6.当弓形所

12、含的弧是劣弧时，当弓形所含的弧是劣弧时， 弓形弓形=S扇扇-S当弓形所含的弧是优弧当弓形所含的弧是优弧(yu h)时，时， S弓形弓形=S+S7、记圆锥的底面半径为、记圆锥的底面半径为r，母线长为，母线长为l，高为，高为h，则有关计算公式如下则有关计算公式如下:222rhl2Srlr 全全Srl第12页/共39页第十三页，共39页。例例4填空：填空： (1)如图，如图，Rt ABC的斜边的斜边AB在直线在直线l上，上，AC=1,AB=2,将将 Rt ABC 绕点绕点B在平面内按在平面内按顺时针方向旋转，使边顺时针方向旋转，使边BC落在直线落在直线l上，得到上，得到(d do) A1BC1，再，

13、再 将将 A1BC1 绕点绕点C1在平面在平面内按顺时针方向旋转，使边内按顺时针方向旋转，使边A1C1落在直线落在直线l上，得上，得到到(d do) A2B1C1 ，则点，则点A经过的路线长等于经过的路线长等于_136B1C1A1CBA2lA21150o第13页/共39页第十四页，共39页。例例5如图，如图，AB是半圆是半圆O的直径，的直径，C，D为为半圆的三等分点，半圆的三等分点，E为为AB延长线上一点延长线上一点(y din)，AB=12,求阴影部分面积。求阴影部分面积。 O DCBA E用割补或分块法求阴影用割补或分块法求阴影(ynyng)部分部分面积面积.第14页/共39页第十五页，共

14、39页。例例6 李明和马强同学合作，将半径为李明和马强同学合作，将半径为1米、米、圆心角为圆心角为90o的扇形薄铁板的扇形薄铁板(ti bn)围成一个圆锥筒。围成一个圆锥筒。在计算圆锥的容积在计算圆锥的容积(接缝忽略不计接缝忽略不计)时，李明时，李明认为圆锥的高等于扇形的圆心认为圆锥的高等于扇形的圆心O到弦到弦AB的的距离距离OC(如图如图1)，马强说这样计算不正确。，马强说这样计算不正确。你同意谁的说法？把正确的计算过程写出来。你同意谁的说法？把正确的计算过程写出来。O CBAOAA1O1r1 1m m 1 1m m第15页/共39页第十六页，共39页。一、点和圆的位置一、点和圆的位置二、点

15、与弦的相对位置二、点与弦的相对位置三、弦所对的圆周角三、弦所对的圆周角四、平行四、平行(pngxng)弦与圆心的弦与圆心的位置位置五、圆心与角的位置五、圆心与角的位置六、点在弧上的位置六、点在弧上的位置第16页/共39页第十七页，共39页。例例1.过不在过不在 O上的一点上的一点A，作与，作与 O相交的相交的一条直线一条直线(zhxin)，交，交 O于于B、C，且，且ABAC64，OA10，则，则 O的半径的半径R为为_。点和圆的位置点和圆的位置(wi zhi)第17页/共39页第十八页，共39页。例例2. O是ABC的外接圆，ODBC于D，且BOD48，则BAC_。点与弦的相对点与弦的相对(

16、xingdu)位置位置第18页/共39页第十九页，共39页。例例3.半径为半径为1的圆中有一条的圆中有一条(y tio)弦，如果它的长为弦，如果它的长为3，那么这条弦所对的圆周角的度数(d shu)等于_。弦所对的圆周角弦所对的圆周角第19页/共39页第二十页，共39页。例例4.在半径在半径(bnjng)为为5cm的的 O中，弦中，弦AB6cm，弦弦CD8cm，且，且ABCD，求，求AB与与CD之之间的距离。间的距离。平行平行(pngxng)弦与圆心的位置弦与圆心的位置第20页/共39页第二十一页，共39页。例例5.在半径为在半径为1的的 O中，弦中，弦AB、AC的的长分别长分别(fnbi)为

17、为 ，则，则BAC的的度数是度数是_。32和圆心圆心(yunxn)与角的位置与角的位置第21页/共39页第二十二页，共39页。例例6.如图，在平面直角坐标如图，在平面直角坐标(zh jio zu bio)系中，系中，P是经过是经过O（0，0），），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（）的圆上的一个动点（P与与O、B不不重合），则重合），则OAB_度，度，OPB_度。度。点在弧上的位置点在弧上的位置(wi zhi)第22页/共39页第二十三页，共39页。1.设未知数建构方程，或者引入参数，构造直角三角形，相似三角形，利用勾股定理设未知数建构方程，或者引入参数，构造直角三角形，相似三角形，

18、利用勾股定理，三角函数，比例线段解决问题，三角函数，比例线段解决问题.2.转化的思想：转化的思想是数学中极其重要的思想方法，把未知量转化为已知量转化的思想：转化的思想是数学中极其重要的思想方法，把未知量转化为已知量，把新问题转化为已经解决的问题，把不规则图形转化为规则图形，把一般情况转化，把新问题转化为已经解决的问题，把不规则图形转化为规则图形，把一般情况转化为特殊情况，把线段相等转化为角相等。为特殊情况，把线段相等转化为角相等。3.分类讨论的思想。遇到需要自己画图解决的问题中常要考虑分类的方法，遇到动点分类讨论的思想。遇到需要自己画图解决的问题中常要考虑分类的方法，遇到动点，动弦的问题时也常

19、常要考虑分类解决。还有在两个三角形相似但对应关系不确定的，动弦的问题时也常常要考虑分类解决。还有在两个三角形相似但对应关系不确定的时候往往也要考虑多种情况。求弓形面积时候往往也要考虑多种情况。求弓形面积(min j)的时候要考虑优弧还是劣弧所对应的时候要考虑优弧还是劣弧所对应的弓形。的弓形。4.从特殊到一般的思想。在证明有些结论的时候，如果感觉无从下手，可以把特殊情从特殊到一般的思想。在证明有些结论的时候，如果感觉无从下手，可以把特殊情况下的图形画出来后证明此结论，然后再通过作辅助线把原图形转化为特殊情况下的况下的图形画出来后证明此结论，然后再通过作辅助线把原图形转化为特殊情况下的图形进行证明

20、。图形进行证明。 5.数形结合的思想，就是能把图形和对应的数量关系紧密地联系起来。这样可以非常数形结合的思想，就是能把图形和对应的数量关系紧密地联系起来。这样可以非常形象地记忆知识点，也可以全面把握图形的特征和性质。形象地记忆知识点，也可以全面把握图形的特征和性质。 第23页/共39页第二十四页，共39页。1.已知直径时已知直径时,常构造直径所对的圆周角常构造直径所对的圆周角. 2.连接半径或者作弦心距连接半径或者作弦心距, 构造直角三角形构造直角三角形,为为用垂径定理或者勾股定理创造条件用垂径定理或者勾股定理创造条件. 3.需要转化需要转化(zhunhu)角度的时候，常作弦角度的时候，常作弦

21、构造同弧所对的圆周角构造同弧所对的圆周角 第24页/共39页第二十五页，共39页。圆中两个重要圆中两个重要(zhngyo) (zhngyo) RtRt的再认识的再认识第25页/共39页第二十六页，共39页。一、垂径定理一、垂径定理(dngl)： 1、定理的回顾、定理的回顾 垂直于弦的直径垂直于弦的直径(zhjng)平分平分这条弦，并且平分弦所对的弧。这条弦，并且平分弦所对的弧。（1）CD过圆心过圆心(yunxn)（2）CDAB于于H（3）AH=BH（4）AC=BC（5）AD=BDABDCOH 五个条件，其中两个成立，可推出另三个也成立五个条件，其中两个成立，可推出另三个也成立（但有一个例外（但

22、有一个例外）（）（ 1）（）（3） （2）（）（4）（）（5）第26页/共39页第二十七页，共39页。CABOH半径半径(bnjng)半弦弦心距半弦弦心距构成构成Rt第27页/共39页第二十八页，共39页。2 2、图形、图形(txng)(txng)的变脸的变脸第28页/共39页第二十九页，共39页。ABCO3、直角三角形性质的运用、直角三角形性质的运用（1）勾股定理）勾股定理 （2） 斜边上的中线是斜边的一半斜边上的中线是斜边的一半(ybn) （3）30角所对的直角边等于斜边的一半角所对的直角边等于斜边的一半(ybn) （4）特殊三角形的三边之比）特殊三角形的三边之比 4、例与练：、例与练：

23、填空：填空： 如图，如图， O中中AB=OC= OA,求求 、 、 的度数的度数2ACBODD归纳归纳(gun)：在一般图形中，作弦心距：在一般图形中，作弦心距构成构成RtH运用运用(ynyng)第29页/共39页第三十页，共39页。C。 如图建立直角坐标系，如图建立直角坐标系，OA是半圆是半圆(bnyun)的直径，的直径， 圆心为圆心为N，A(10,0)，B（8，0），四边形），四边形OBDC平行四平行四边形，边形，C、D在半圆在半圆(bnyun)上，求上，求D点坐标。点坐标。ODBNyxAH解：连解：连N D、 作作NHCD于于H， 由垂径定理由垂径定理(dngl)得得 CH=DH= CD

24、=4 在在RtDNH中，中， ND=NO=5,DH=4 NH=3 D(9,3)12归纳归纳(gun)：在坐标系中，作半径弦心距：在坐标系中，作半径弦心距构成构成Rt第30页/共39页第三十一页，共39页。CDH 扇形扇形AOB中，中，半径半径OA=2，C为为AB的中点，的中点，CD/OA, 求求CD的长。的长。90AOB追问追问(zhuwn)：若：若D是弧是弧AB的中点，的中点，CD/OA,求求CD的长。的长。CD=3 - 1CD=22 - 2归纳：在扇形归纳：在扇形(shn xn)中，（补形）中，（补形）作弦、弦心距构成作弦、弦心距构成Rt第31页/共39页第三十二页，共39页。ABCDOX

25、12-x4已知已知ABCABC内接于内接于OO（如图所示），（如图所示），AB+AC=12,AB+AC=12,高高AD=4,AD=4,假设假设AB=x, OAB=x, O的直径为的直径为y,y,求（求（1 1）y y与与x x之间的函数关系式；之间的函数关系式； （2 2）当）当x x为何值时，为何值时，OO的面积的面积(min j)(min j)最最大，并求出这个最大值。大，并求出这个最大值。EF0.5y(1) y=0.25x +3x2（2）814归纳：（归纳：（1 1）半径半弦弦心距）半径半弦弦心距 构成构成RtRt在代数中的应用在代数中的应用(yngyng) (yngyng) （2 2）直）直径与两弦构成径与两弦构成RtRt （3 3）注意）注意寻找多种途径解决问题寻找多种途径解决问题第32页/共39页第三十三页，共39页。是直角是直径ACBABAOCBHBABHBCABAHACBHAHCH222如图如图第33页/共39页第三十四页，共39页。 1 1、善于联想：、善于联想： 直径直径(zhjng)(zhjng)、圆周角、垂径定理、射影、圆周角、垂径定理、射影定理、定理、 相似三角形相似三角形 直