第 8 章 弯曲刚度

1、第 8 章 弯曲刚度 第8章弯曲刚度8-1 弯曲变形与位移的基本概念弯曲变形与位移的基本概念8-2 小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分8-3 工程中的叠加法工程中的叠加法8-4 简单的静不定梁简单的静不定梁8-5 弯曲刚度计算弯曲刚度计算一、梁弯曲后的挠度曲线一、梁弯曲后的挠度曲线在弹性范围内加载时，梁的轴线在弯曲后变成一连续在弹性范围内加载时，梁的轴线在弯曲后变成一连续光滑的曲线，这一连续光滑曲线称为挠度曲线。光滑的曲线，这一连续光滑曲线称为挠度曲线。x8-1 弯曲变形与位移的基本概念弯曲变形与位移的基本概念)x( zEI)x(M)x(1 zEIM1 qAB第第 8 8 章章 弯曲

2、强度弯曲强度弯曲变形与位移的基本概念弯曲变形与位移的基本概念二、梁的挠度与转角二、梁的挠度与转角1.1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。 用用“w” 表示。表示。)x(ww 挠度方程挠度方程挠度向下为正；向上为负。挠度向下为正；向上为负。wxwxqAB)x( 第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度弯曲变形与位移的基本概念弯曲变形与位移的基本概念2.2.转角：横截面绕中性轴转过的角度。转角：横截面绕中性轴转过的角度。用用“ ” ” 表示。表示。转角方程转角方程)x( 顺时针为正；逆时针为负。顺时针为正；逆时针为负。wx wxqAB)x( 第第 8 8

3、 章章 弯曲强度弯曲强度弯曲变形与位移的基本概念弯曲变形与位移的基本概念3.3.挠度和转角的关系挠度和转角的关系wxwdxdwtg)( 横截面上的转角等于挠曲线在该截面处的斜率横截面上的转角等于挠曲线在该截面处的斜率w 即：即：wx wxqAB)x( 第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度弯曲变形与位移的基本概念弯曲变形与位移的基本概念三、梁的位移与约束密切相关三、梁的位移与约束密切相关pFalpF BACABalapF pFCDlaFMp aFMp BA因为因为aFMp 所以所以zEIM1 第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度弯曲变形与位移的基本概念弯曲变形与位移的基本概念 对于主要承受弯曲的

4、梁和轴，挠度和转角过大会影响对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会增加轴承的磨损等等。如果过大会增加轴承的磨损等等。 四、梁的位移分析的工程意义四、梁的位移分析的工程意义第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度弯曲变形与位移的基本概念弯曲变形与位移的基本概念8-2 小挠度微分方程及其积

5、分小挠度微分方程及其积分一、一、 小挠度微分方程小挠度微分方程x)x( zEI)x(M)x(1 qAB曲率与弯矩的关系曲率与弯矩的关系23222xdwd1xdwd)x(1 曲率与挠度曲线的关系（数学表达式曲率与挠度曲线的关系（数学表达式) )第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分23222xdwd1xdwd)x(1 zEI)x(M)x(1 23222zxdwd1xdwdEI)x(M EIMdxwd22小挠度微分方程小挠度微分方程第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分EIMxdwd22 EIMxw22dd0M,0

6、 xdwd22 0M,0 xdwd22 wxMMwx使用条件：使用条件：弹性范围内工作的细长梁。弹性范围内工作的细长梁。MM本书所采本书所采用的情况用的情况第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分)x(M)x(wEI 1lCdx)x(M)x(wEI 21llCxCdx)dx)x(M()x(EIw 利用梁的位移条件确定式中的积分常数，就得转角方利用梁的位移条件确定式中的积分常数，就得转角方程程 = (x) = w(x)和挠度方和挠度方程程 w = w (x) ，从而也就可以从而也就可以求某个具体横截面处的转角和挠度了求某个具体横截面处的转角和挠度了。这种求

7、这种求转角和转角和挠度的方法称为挠度的方法称为积分法积分法。第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分二、积分常数的确定二、积分常数的确定1.1.边界条件边界条件BAF abCl梁截面的已知位移条件或位移约束条件梁截面的已知位移条件或位移约束条件0Aw0Bw0wD 0D DEF第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分2.2.连续条件连续条件BAF abCl分段处挠曲线所应满足的连续、光滑条分段处挠曲线所应满足的连续、光滑条件，简称为梁位移的连续条件。件，简称为梁位移的连续条件。右左CCww 右左CC 第第 8 8 章

8、章 弯曲强度弯曲强度小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分解：解：1. 1. 建立坐标系建立坐标系 求图示悬臂梁的转角方程求图示悬臂梁的转角方程 = (x)和挠度方和挠度方程程 w=w(x) ，并求最大转角并求最大转角 max及最及最大挠度大挠度 wmax。梁在竖直平面内弯曲时的抗弯刚度梁在竖直平面内弯曲时的抗弯刚度EI为已知。为已知。lABwxx2. 2. 求支反力求支反力AFAMFFA FlMA 3. 3. 列弯矩方程列弯矩方程)xl (F)x(M 例题例题 8-1 F第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分lABwxx4. 4. 建立挠曲线近

9、似微分方程并积分建立挠曲线近似微分方程并积分)xl (F)x(wEI C)2xlx(FEI)x(wEI2 DCx)6x2lx(F)x(EIw32 5. 5. 确定积分常数确定积分常数边界条件边界条件F第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度小挠度微分方程及其积分小挠度微分方程及其积分lABwxx6. 6. 建立转角与挠度方程建立转角与挠度方程)2xlx(FEI2 )6x2lx(F)x(EIw32 7. 7. 绘制挠曲线略图并计算最大转角与挠度绘制挠曲线略图并计算最大转角与挠度B BwEI2Fl2Bmax EI3Flww3Bmax （ ）（ ）F第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度小挠度微分方程及其

10、积分小挠度微分方程及其积分2xqFxMM2e 8-3 8-3 工程中的叠加法工程中的叠加法xqFeM EIMxdwd22 xw第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度工程中的叠加法工程中的叠加法2xqFxMM2e qFxeMMwEI iMM iiMwEI MwEI iM iwEI iww xw第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度工程中的叠加法工程中的叠加法 第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度工程中的叠加法工程中的叠加法A EIlMeA EI2lMw2eAFA EI2Fl2A EI3Flw3AqA EI6ql3A EI8qlw4AA AwA AwA Aw第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度工程中的

11、叠加法工程中的叠加法BAF C2l2l EI16Fl2A EI48Flw3CBAC2l2leM EI24ql3A EI384ql5w4CAC2l2lqB EI3lMEI6lMeBeA EIlMwC162eA CwA CwA Cw第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度工程中的叠加法工程中的叠加法ACaaqBF叠加法求叠加法求A截面的转角截面的转角和和C截面的挠度截面的挠度. .ACaaBF=ACaaqB+ EI6Faw3FC EI4Fa2FA EI24qa5w4qC EI3qa3qA FA FCwqA qCw例题例题 8-2 第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度工程中的叠加法工程中的叠加法ACaa

12、qBF叠加法求叠加法求A截面的转角截面的转角和和C截面的挠度截面的挠度. . EI24qa5EI6Fawww43qCFCC EI3qaEI4Fa32qAFAA A Cw第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度工程中的叠加法工程中的叠加法试求如图所示梁试求如图所示梁C C 点处挠度和转角。点处挠度和转角。qAlB已知悬臂梁在均布载荷 q 作用下B点的挠度和转角为：（其中l 为梁长）EI6ql3B EI8qlw4B1Cw1C ACBq2l2B 2Cw2BwEI3ql4EI6)l2(q331C EIql2EI8)l2(qw441C EI24ql7EI6lqlEI8qlw4342C EI6ql32B2C

13、EI6ql732C1CC EI24ql41www42C1CC 解：解：ACBql2lqAC2lB例题例题 8-3 第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度工程中的叠加法工程中的叠加法1.1.静定梁：梁的未知力个数等于独立静力方程的个数静定梁：梁的未知力个数等于独立静力方程的个数 利用静力平衡方程就可以求出所有的未知力。利用静力平衡方程就可以求出所有的未知力。7-6 7-6 简单静不定梁简单静不定梁qACaBa. 0aqa2a2F,0MByA AyFByF. 0qa2FF,0FByAyy 第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度简单静不定梁简单静不定梁ACaqBaAyFByFCyF. 0qa2FFF,0

14、FCyByAyy . 0aqa2aFa2F,0MCyByA 2.2.静不定梁：梁的未知力个数多于独立静力方程的个静不定梁：梁的未知力个数多于独立静力方程的个 数，只利用静力方程不能求出所有的未数，只利用静力方程不能求出所有的未 知力。知力。第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度简单静不定梁简单静不定梁ACaqBaAyFByFCyF4.4.多余约束：在静不定梁中，凡是多余维持平衡所必多余约束：在静不定梁中，凡是多余维持平衡所必 需的约束，称为多余约束。需的约束，称为多余约束。5.5.多余支反力：与多余约束相对应的支反力或支反力偶多余支反力：与多余约束相对应的支反力或支反力偶 矩，统称为多余支反力。

15、矩，统称为多余支反力。3.3.静不定次数：在静不定梁中，未知力与独立的平衡方静不定次数：在静不定梁中，未知力与独立的平衡方 程数之差，称为静不定次数。程数之差，称为静不定次数。第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度简单静不定梁简单静不定梁6.6.相当系统：多余约束解除后，所得之受力与原静不相当系统：多余约束解除后，所得之受力与原静不定梁相同的静定梁，称为原静不定梁的相当系统。定梁相同的静定梁，称为原静不定梁的相当系统。BACaqaACaqBaCyF0wC 0wC 0wwwCFqCCCy 即即0EI48lFEI384ql53Cy4 qL85FCy 变形协变形协调方程调方程,EI384ql5w4qC

16、 EI48lFw3CyCFCy 第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度简单静不定梁简单静不定梁7.7.求解静不定的梁的方法与步骤求解静不定的梁的方法与步骤（1 1）根据支反力与有效平衡方程的数目，判断梁的静）根据支反力与有效平衡方程的数目，判断梁的静不定次数；不定次数；（2 2）解除多余约束，并以相应多余支反力代替其作用，）解除多余约束，并以相应多余支反力代替其作用，得原静不定梁的相当系统；得原静不定梁的相当系统；（3 3）计算相当系统在多余约束处的位移，并根据相应）计算相当系统在多余约束处的位移，并根据相应的变形协调方程建立补充方程，从而求出多余支反力。的变形协调方程建立补充方程，从而求出多余

17、支反力。第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度简单静不定梁简单静不定梁EI8qlw4qB EI3lFw3BBFB 0EI3lFEI8ql3B4 qlFB83qAlBFM 8ql2128ql920wwwBFqBBB qABl例题例题 8-4 第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度简单静不定梁简单静不定梁8-5 8-5 弯曲刚度计算弯曲刚度计算dlapFABC 对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响对于主要承受弯曲的梁和轴，挠度和转角过大会影响构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿构件或零件的正常工作。例如齿轮轴的挠度过大会影响齿轮的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠轮

18、的啮合，或增加齿轮的磨损并产生噪声；机床主轴的挠度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角度过大会影响加工精度；由轴承支承的轴在支承处的转角如果过大会增加轴承的磨损等等。如果过大会增加轴承的磨损等等。 第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度弯曲刚度计算弯曲刚度计算 max一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件 maxww第第 8 8 章章 弯曲强度弯曲强度弯曲刚度计算弯曲刚度计算钢制圆轴，左端受力为钢制圆轴，左端受力为FP，FP20 kN，alm，l2 m，E=206 GPa，其他尺寸如图，其他尺寸如图所示。规定轴承所示。规定轴承B B 处的许用转角处的许用转角 =0.5。1 1. .校核刚度；校核刚度；