第十三讲-三角函数初步

1、第十三讲.三角函数初步引言：本节开始将进入三角函数的学习，为了便于三角函数的研究，首先需要引入角的弧度制，并讲角的范围扩大到任意角，进而需要定义任意角的三角函数，并会求任意角的三角函数。本节的重点在同角三角函数的转化以及诱导公式的灵活运用，这也是高考的重点考察内容。教师在上本节课时，一要注重强化学生对概念的理解，二要引导学生锻炼自己的代数变形能力。一 教学目标知识目标：理解任意角的概念，弧度制的概念 理解任意角三角函数值的定义 掌握同角三角函数的关系 掌握诱导公式能力目标：掌握角度和弧度的转化熟练掌握同角三角函数之间的转化和恒等变形 熟练掌握诱导公式转化和变形情感目标：加深学生初中对三角函数的

2、理解，通过三角函数中简单的恒等变换问题提高学生对数学学习的兴趣二 知识主线考点1：任意角和弧度制 注意：要注意负角考点2：弧度面积的计算 公式的推导，1.参照圆的周围和面积，看所求扇形是圆的几分之几2.可以把扇形看作是一个三角形求面积 要求A：能运用公式求扇形的弧长和面积 要求B：能运用二次函数及对勾函数，求弧长及面积的最值 注意：要注意运用公式时，角度要换为弧度制考点3：象限角的表示 要求A：能利用集合表示终边在给定区域的角 要求B：能根据角的范围判断角的终边所在区域考点4：根据单位圆求任意角函数值 任意角的三角函数的定义 要求A：能根据任意角终边上一点的坐标，求三角函数值要求B：能根据角的

3、象限判断三角函数值的符号考点5：同角三角函数的关系 平方关系、商数关系 要求A：同角的三角函数sin，cos，tan 知一求2 要求B：切化弦思想 （遇到正切一般转化为正弦余弦） 要求C：弦化切思想 （遇到有关正弦余弦的齐次分式，弦化切）要求D：“1”的替换及运用要求E：sin+cos，sin-cos，sincos 知一求2考点6：诱导公式 诱导公式的推导 要求A：利用诱导公式化简 要求B：利用诱导公式求任意角的三角函数 要求C：诱导公式的灵活运用考点7：三角函数线 三角函数线概念的理解：有向线段，只有上下左右四个方向，为正，为负，数值为线段的长度 要求A：会利用三角函数线比较三角函数的大小关

4、系 要求B：会利用三角函数线解三角函数的方程和不等式三 教学重点任意角的三角函数，同角三角函数的转化，诱导公式四 教学难点同角三角函数关系中“1”的代换，诱导公式及应用五 教学过程【引入】自然界中许多运动、变化都有着循环反复、周而复始的现象。例如：潮汐变化，交变电流变化，之前学过对数函数指数函数幂函数，都不具有这种性质，是否存在一种函数能刻画这种周期变化规律呢？本章要学的三角函数就具有这种性质。 【模块一】考点的综合梳理，教师根据学生的基础情况选择附录中的题目，务必要求学生对任意角三角函数的定义要理解并掌握，并能快速判断三角函数的符号。（建议时间：不超过20分钟） 提问：任意角三角函数的定义：

5、（教研时作图演示）1. 当点在单位圆上时 cos=x，sin=y2. 当点不在单位圆上时 cos=x/r，sin=y/r三角函数的符号：1.根据角的象限，把（cos，sin）同象限中点的符号一一对应起来 （适用较好学生）2.口诀记忆：一ALL,二.SIN 三.TAN 四.COS（适用较差学生）例题讲解例1.（江西高考2011难度C）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若 是角终边上一点，且，则_答案：y= 8先求出，解出 坐标中含有参数的，要注意参数的符号练习1（武汉一中2013月考难度C）已知角的终边上有一点P（-4a,3a)（a0）,则2sin+cos的值是（ ） A B- C或 -

6、 D不确定答案：注意：要讨论a的符号例2.（武汉四中2009年难度B）sin2cos3tan4的值A大于0B小于0 C等于0 D不确定答案： B分析：判断2，3，4所在的象限思路1：1rad57思路2：把坐标轴换成弧度表示练习2（黄冈中学2007年期中难度C）函数y=+的值域是（ ） A. -1，1 B. -1，1，3 C. -1，3 D. 1，3答案：B分析：思路1：分情况讨论，4个象限 思路2：只有第一象限全正，其他象限都是两负一正练习3（难度C）若角满足条件，则在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案：B分析：【模块二】考点同角三角函数的转化（建议时间：35分钟）题型一: 知一

7、求二举例.（北京东城区统考2013难度B）若_. 答案： 例3.（吴家山中学难度C）已知为某三角形的一内角，且，求，的值 答案：，分析：1.解方程的思想思考：是消还是？总结：开方时要注意符号，根据角所在的象限先判断出一定为正练习4 已知tana 3，且a 为第三象限角，求sina ，cosa 的值；答案： 分析：沿用上题，解方程的思想 提问：有无其他方法？ 其他方法1：根据公式， 其他方法2：作直角三角形的，使一个锐角的正切值等于3，求出sin，cos 再根据象限确定符号题型二: 已知,求的齐次式例4（难度C）已知tan =3，求下列各式的值：；答案： 齐次式的概念：1.什么是齐次式，如 2.

8、 是齐次式吗？是齐次式吗？方法：分子分母同除cos的幂口诀：上下齐次是关键练习5（洪山高中2012难度C）已知，那么的值为（ ）A2B2CD答案：D题型三:的运用（难点） 这一部分是三角恒等变换的难点，需引导学生学会辨识式子的结构，培养学生的代数变换能力。例5（孝感高中2012难度B）计算题(1)若角是第二象限角，化简；(2)化简：.答案：1）-1 2）1练习6（课本改编题难度C）（1） 若，求值（2）求值 答案：1） 2） 分析 1）分母添“1” 换成 2）分母的1换成，分子的1换成例6（难度C）已知,则的值为 （）ABCD答案：B总结：常用思路1 ；构建齐次式常用思路2 知一求二练习7（武

9、汉一中周练难度C）已知关于x的方程2x2(1)xm0的两根为 和，且 (1)求的值；(2)求m的值；(3)求方程的两根及此时的值 答案：， 分析：1.巩固前面的切化弦思想 2.与的关系 3.含根式的十字相乘法【模块三】考点诱导公式（建议时间：30分钟）请学生上黑板默写诱导公式诱导公式的推导：1 先推 型2 再推 型，提问型3 接着推型，4 然后推型，也可看作5 再推型6 最后推型说明1：形如的正弦余弦值都可化简为或2： 口诀：“奇变偶不变，符号看象限” 奇变偶不变中的“奇偶”指的是中的奇偶， 符号看象限中的“看”有两层意思：一是把看作是个锐角，二是看等号前面的符号 3：把型与型的诱导公式与0到

10、内的特殊角三角函数值联系起来，相互帮助记忆题型一:利用诱导公式化简练习8（广东高考2013难度A）已知（ ）A. B. C. D. 答案：C分析：利用口诀例7.（华科附中月考难度C），的 值为 （ ） A. B. C. D. 答案：A分析：无论条件中是什么角，都要把看作锐角练习9.（难度C），且是第四象限的角，那么_ 答案： （易错题）题型二:利用诱导公式求任意角的三角函数 例8.（黄冈中学2012-2013期末难度A） sin600的值为 （） A. B. C. D. 答案：C分析：负角边正，大角变小， 先把角变到0到360内，再变为0到180内 最后变为锐角练习10（深圳2013年一调难度

11、A）化简的结果是 ( )A B C D 答案：C题型三：诱导公式的灵活运用例9.（难度D）已知锐角终边上一点A的坐标为,则角的弧度数为_ 答案：分析：诱导公式的逆用练习11.（山东高三2013年期中难度D）已知、是方程的两根,且终边互相垂直,则的值为_.答案：六 课后练习：老师根据上课情况和学生情况，在附录题库中选择附 录【考点一】任意角及弧度制1.（黄陂2012难度A）下列转化结果错误的是 A 化成弧度是rad B化成度是-600度C化成弧度是-rad D化成度是15度 答案：C2（难度D）(1)自上午9点整上学到中午11点50分下班,时钟的时针和分针各转了多少度?(2)上午9点整和中午11

12、点50分,时针与分针所成的最小正角各是多少度? 答案：1）-85，-1020 2）90，55 点评：时钟问题是角度在现实生活中一个典型而有趣的实例【考点二】弧长面积的计算1.（难度B）半径为，圆心角为所对的弧长为（ ） . . . .答案：D (易错题) 点评：强调角度换成弧度，引导学生转变观念和习惯。2（黄陂区2011-2012期中难度B）对于某段圆弧，若将其所在圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的1.5倍，则该弧所对的圆心角是原来的A B2倍 C D3倍答案：D点评：利用正比和反比关系3.（营口二模2013难度D）如图，用一根铁丝折成一个扇形框架，要求框架所围扇形面积为定值S，半径为r

13、，弧长为l，则使用铁丝长度最小值时应满足的条件为（）Ar=lB2r=lCr=2lD3r=l答案：B点评：用函数的思想求最值4.（课本改编题难度D）扇形的中心角为，半径为 ，在扇形中作内切圆及与圆外切，与相切的圆，问为何值时，圆的面积最大？最大值是多少？答案：时，圆的半径最大，圆的面积最大，最大面积为 点评：同上5.（重庆一模2010难度D）如图，半径都为1的三个圆两两相交，且AB弧长=BC弧长=AC弧长，CD弧长等于 ，则图中阴影部分的面积为（）A3B2 C. D. 答案：D【考点三】象限角的表示1.（襄樊四中2009年月考难度A）终边与坐标轴重合的角的集合是（ ） A.|=k360，kZ B

14、.|=k180+90，kZC.|=k180，kZ D.|=k90，kZ答案：D2.（课本习题改编难度B）1（1）如果是第一象限的角，那么是第几象限的角？（2）如果是第二象限的角，判断的符号答案：1）是第一、二或三象限的角 2）负3（广东高考2012难度C）已知集合，那么集合的关系是（ ）答案：4.（宜城一中2011年期中难度C）若角、的终边关于y轴对称，则、的关系一定是（其中kZ） (A) += （B) -= (C) -=(2k+1) (D) +=(2k+1)答案：D【考点四】根据单位圆求任意角三角函数题型一: 任意角的三角函数值1.（山东高考2012难度B）若点在函数的图像上，则的值为（ ）

15、 答案：D2.（难度B）若点是角终边上异于原点的一点，则的值为（ ） .答案：D3.（江西高考2011难度C）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则_答案：y= 84.（麻城一中2010难度C）已知角的终边上有一点P（-4a,3a)（a0）,则2sin+cos的值是（ ） A B- C或 - D不确定答案：5（难度C）已知角终边上一点P，则角的最小正值为()A. B. C. D.答案：B6（吴家山中学难度D）已知角的终边上的点P与（）关于轴对称，角的终边上的点Q与A关于直线对称，求的值答案： 0题型二:三角函数的符号判断7.（北京高考2007难度A）已知，那么角是（

16、 ）A第一或第二象限角B第二或第三象限角C第三或第四象限角D第一或第四象限角答案：8.（武汉四中2009年难度B）sin2cos3tan4的值A大于0B小于0 C等于0 D不确定答案： B9（黄冈中学2007年期中难度B）函数y=+的值域是（ ） A. -1，1 B. -1，1，3 C. -1，3 D. 1，3答案：B10.（辽宁高考2004难度C）若，且，则角的终边所在象限是（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案：D11.（难度C）若角满足条件，则在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案：B12.（难度D）若asin(sin2009)，bsin(cos2009)，ccos

17、(sin2009)，dcos(cos2009)，则a、b、c、d从小到大的顺序是_答案：cdab【考点五】同角三角函数的关系题型一: 的相互转化知一求二是基础1.（黄陂2012难度A）若，则A B C D答案：B2.（北京东城区统考2013难度B）若_. 答案：3.（吴家山中学难度C）已知为某三角形的一内角，且，求，的值 答案：，4.（难度C） 1）已知tana 3，且a 为第三象限角，求sina ，cosa 的值；2）已知，求sina tana 的值；3）已知tana 2，求值：；sin2a sina cosa 答案：1） 2）当a 为第二象限角时，当a 为第三象限角时， 3）1，题型二:已

18、知,求的齐次式上下齐次是关键5. （难度C）已知tan =3，求下列各式的值：；答案： 6.（洪山高中2012难度C）已知，那么的值为（ ）A2B2CD答案：D题型三:的运用常用思路1:构建齐次式常用思路2：的转化7.（难度C）已知,则的值为 （）ABCD答案：B8.（孝感高中2012难度C）计算题(1)若角是第二象限角，化简；(2)化简：.答案：1）-1 2）19（课本改编题难度C）（1） 若，求值；（2）求值 答案：1） 2）10.（难度C）已知关于x的方程2x2(1)xm0的两根为和，且 (1)求的值；(2)求m的值；(3)求方程的两根及此时的值 答案：， 11.（课本改编题难度C）已知

19、是方程的两个根，求角 答案：12.（难度D）（1）若，且，则_（2）若是三角形的内角，且，试判断三角形的形状；（3）设则（4）如果，求的值；（5）若，则 答案：1） 2）钝角三角形 3）1 4）1 5）【考点六】诱导公式题型一:利用诱导公式化简求值1（广东高考2013难度A）已知（ ）A. B. C. D. 答案：C2.（浙江省重点中学2013高三期中难度C）已知,则 _;答案：23.（华科附中月考难度C），的 值为 （ ） A. B. C. D. 答案：A4.（难度C），且是第四象限的角，那么_ 答案： （易错题）5.（黄冈中学2012期末难度C）已知，则答案：-16.（华科附中月考难度C）已知：，求值 答案：187.（吴家山中学难度C）化简：； 答案：18.（江西高三2013年月考难度D）若,则_.答案： 点评：在学习二倍角公式之前，这题可以用诱导公式做，考察函数解析式的基本概念，出题新颖题型二:利用诱导公式求任意角的三角函数大角变小，负角变正9.（黄冈中学2012-2013期末难度A） sin600的值为 （） A.