第7章点的速度合成

1、土木工程系土木工程系 刁鹏飞刁鹏飞 聊聊运动聊聊运动 为了描述运动，我们需要参考系。 参考系的选取不是唯一的。 通常使用的参考系，是地球。Part A 点的合成运动的概念点的合成运动的概念Part A 点的合成运动的概念点的合成运动的概念 在不同的参考系下观察点的运动，对点的运动的描述是不同的。在不同的参考系下观察点的运动，对点的运动的描述是不同的。运动是绝对的，但是运动的描述是相对的。运动是绝对的，但是运动的描述是相对的。 研究对象研究对象: : 质点质点 动点动点 静参考系静参考系固连在地球表面的参考系，通常用固连在地球表面的参考系，通常用 Oxy表示表示.动参考系动参考系固连在运动刚体上

2、的参考系固连在运动刚体上的参考系，通常用通常用Oxy表示表示.Part A 点的合成运动的概念点的合成运动的概念绝对运动绝对运动动点相对于静参考系的运动动点相对于静参考系的运动点的运动点的运动相对运动相对运动动点相对于动参考系的运动动点相对于动参考系的运动点的运动点的运动牵连运动牵连运动动参考系相对于静参考系的运动动参考系相对于静参考系的运动刚体的运动刚体的运动合成运动合成运动 由于牵连运动的存在，使物体的绝对运动和相对运动由于牵连运动的存在，使物体的绝对运动和相对运动发生了差别。发生了差别。如果没有牵连运动，物体的相对运动等同于它的绝对运动。如果没有牵连运动，物体的相对运动等同于它的绝对运动

3、。如果没有相对运动，物体的牵连运动就是它的绝对运动。如果没有相对运动，物体的牵连运动就是它的绝对运动。 由此可见，物体的绝对运动可以看成是牵连运动和相由此可见，物体的绝对运动可以看成是牵连运动和相对运动的合成结果。所以绝对运动也称为对运动的合成结果。所以绝对运动也称为复合运动或合成复合运动或合成运动运动。绝对运动绝对运动 = 相对运动相对运动 + 牵连运动牵连运动Part A 动参考系给动点直接影响的是该动系上与动点相重合的动参考系给动点直接影响的是该动系上与动点相重合的一点，这点称为一点，这点称为瞬时重合点瞬时重合点或动点的或动点的牵连点牵连点。 牵连运动一方面是动系的绝对运动，另一方面对动

4、牵连运动一方面是动系的绝对运动，另一方面对动点来说起着点来说起着“牵连牵连”作用。但是带动动点运动的只是作用。但是带动动点运动的只是动系上在所考察的瞬时与动点相重合的那一点，该点动系上在所考察的瞬时与动点相重合的那一点，该点称为称为瞬时重合点瞬时重合点或或牵连点牵连点。 （2）、进一步说明）、进一步说明 （1）、定）、定 义义Part A 动点的一般选择规律动点的一般选择规律 : : 主动件和被动件的接触点一般被选为动点。该动点在动参考系和静参考系下都有运动描述。 动参考系的一般选择规律动参考系的一般选择规律: : 动参考系一般选择为动点相对于动参考系的相对运动轨迹已知或比较清晰的坐标系。绝对

5、运动绝对运动动点动点相对于静参考系的运动相对于静参考系的运动点点的运动的运动相对运动相对运动动点动点相对于动参考系的运动相对于动参考系的运动点点的运动的运动牵连运动牵连运动动参考系动参考系相对于静参考系的运动相对于静参考系的运动某一瞬时，在某一瞬时，在动参考系动参考系上与动点重合的点称为上与动点重合的点称为 牵连点牵连点avaarvraevea刚体的运动刚体的运动Part A 如何选择合理的动点和动参考系？如何选择合理的动点和动参考系？A. 动点应具有较为简单的相对运动轨迹动点应具有较为简单的相对运动轨迹B. 动点不应和动参考系相固连动点不应和动参考系相固连C.主动件和被动件的主动件和被动件的

6、持续持续接触点接触点一般一般被选为动点。被选为动点。MzyxoikjMrorr速度合成定理的推导r MMrr定系：xyz，动系：，动点： O x y z 为牵连点Mrv rMrOrx iy jkzPart B 导数上加“”表示相对导数。d=dMrtOrx iy jz kOrx iy jz kx iy jz kaervvvMx iy jz kd drt=evddMrtav (a)(b)x iy jz kOrx iy jz kM和 点在动系中的坐标是否是时间的函数？M答案：M点是， 不是MPart B AB 杆以恒定速度u向上运动, 杆刚开始运动时, j j 00。 计算当j j p/4 p/4

7、时， D 点的速度。机构的尺寸如图所示。Part B 1 选择合理的动点和动参考系选择合理的动点和动参考系动点动点: A (固连在固连在AB上上)动参考系：动参考系：OD2 画出速度合成示意图画出速度合成示意图牵连点牵连点Part B reavvvrxexaxvvv数值：数值：方向：方向：ryeyayvvv45sinav0rvuav其中：45cosavev0uve22)2/()2/()2/2(/eluluOAvlbubvD2uvr22Part B 一个圆盘绕定点 O 在平面内转动, 已知角速度 和和偏心距 e, 计算杆AB在图示位置的速度。ABPart B l动点动点: A1 (固连在圆盘上固

8、连在圆盘上)l动系：动系： ABPart B l动点动点: A1 (固连在圆盘上固连在圆盘上)l动系：动系： ABPart B l动点动点: A (固连在杆固连在杆 AB 上上)l动系：圆盘动系：圆盘Part B l动点动点: A (固连在杆固连在杆 AB 上上)l动系：圆盘动系：圆盘Part B ABPart B 1 选择动点和动参考系选择动点和动参考系动点动点: A (固连在杆固连在杆 AB 上上)动参考系：圆盘动参考系：圆盘2 画出速度合成示意图画出速度合成示意图牵连点牵连点Part B rxexaxvvv22eRve022eR ReRvr22Rvrav0RevraveReRreavvv

9、数值：数值：方向：方向：ryeyayvvvBAxyA动点动点: A (固连在杆固连在杆 AB 上上)动参考系：圆盘动参考系：圆盘ABPart B 1 选择动点和动参考系选择动点和动参考系动点动点: 凸轮圆心点凸轮圆心点C动参考系：杆动参考系：杆 AB2 画出速度合成示意图画出速度合成示意图牵连点牵连点VePart B 曲柄曲柄OA的角速度等于的角速度等于 , 长度等于长度等于 l, 计算图示位置计算图示位置BC杆的速度。杆的速度。Part B 230sin30sinllvvvaeBCPart B 1 选择合理的动点和动参考系；选择合理的动点和动参考系；如何选择合理的动点和动参考系？如何选择合理

10、的动点和动参考系？A. 动点应具有较为简单的相对运动轨迹动点应具有较为简单的相对运动轨迹B. 动点不应和动参考系相固连动点不应和动参考系相固连C.主动件和被动件的持续接触点一般被选为动点。主动件和被动件的持续接触点一般被选为动点。2 分析三种运动；分析三种运动；3 画出速度合成示意图；画出速度合成示意图；4 将速度合成定理公式在坐标轴上进行投影，并计算出将速度合成定理公式在坐标轴上进行投影，并计算出未知量。未知量。AzyxoArorikjddAAeArvrtAOrrkdd ()ddOeOrkrkttddOOeOrvrt,eeeiijjkk因为d ,dekkijt，得同理可得即先分析 对时间的导

11、数:ke22d drrax iy jz kt22d dMeOrarx iy jz kt22d d2( )MaOrarx iy jz kx iy jz ktx iy jz kMzyxoikjMrorrM2 ex iy jz k2erv2( )2eeex iy jz kxiyjzk又：Ca科氏加速度aerCaaaaMzyxoikjMrorrMra 22ddrt x iy jz kea 22ddMrt Orx iy jz k22ddMarat Orx iy jz k x iy jz k2( )x iy jz k2( )x iy jz k又：2eeexiyjzk2 ex iy jz k2ervCa科氏

12、加速度aerCaaaaaerCaaaa 点的加速度合成定理：动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。2Cerav其中科氏加速度2sinCe rav大小erv方向垂直于 和指向按右手法则确定CtrnrtenetanaaaaaaaaPart C 点的加速度合成点的加速度合成一个圆盘以角速度一个圆盘以角速度 作定轴转动作定轴转动, 动点动点 M 以速度以速度 vr 相对于圆盘作圆周相对于圆盘作圆周运动，分析动点的速度和加速度运动，分析动点的速度和加速度选择选择 M 作为动点作为动点,圆盘作为动参考系圆盘作为动参考系Rv ervRvvvreaRvvRRvRRv

13、arrr2222aa2)(当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。00eCa，。当牵连运动为平移时，因此aeraaa此时有ac=0 的情况还有的情况还有: :r0v er/vPart C 凸轮在水平面上运动，瞬时凸轮在水平面上运动，瞬时速度和瞬时加速度分别为速度和瞬时加速度分别为 v 和和 a 方向如图所示方向如图所示, 计算图示位计算图示位置时杆置时杆 AB 的加速度的加速度.Part C 点的加速度合成点的加速度合成1 选择动点和动参考系选择动点和动参考系动点动点: A ( 固连在杆固连在杆 AB 上上)动参考系：凸轮动参考系：凸轮 C2

14、画出速度合成示意图画出速度合成示意图ersinvvjjjsinsinervvvPart C 点的加速度合成点的加速度合成3 画出加速度合成示意图画出加速度合成示意图trnreaaaaa数值：数值：方向：方向：j222rnrsin1vRRvaPart C 点的加速度合成点的加速度合成trnreaaaaan)(jsinaajcoseanra0jsinaajcosaj22sin1vRjjjjj3222asincotsincossin1RvaRvaaPart C 点的加速度合成点的加速度合成物体物体 A 以速度以速度vA=0.2m/s 和加和加速度速度 aA=0.2m/s2 向右运动向右运动, , 杆

15、杆AB 的长度等于的长度等于0.7m, 当角度当角度等于等于 60o 时时, =1 rad/s 并且并且 a a=2rad/s2, 计算计算B点的速度点的速度vB和加速度和加速度 aBPart C 点的加速度合成点的加速度合成1 1 选择动点和动参考系选择动点和动参考系动点动点: B ( 固连在杆固连在杆 AB 上上)动参考系：物块动参考系：物块 A2 画出速度合成示意图画出速度合成示意图eravvvm/s7 . 017 . 0ABrvm/s 0.2eAvvm/s879. 030cos2 . 07 . 022 . 07 . 022avPart C 点的加速度合成点的加速度合成3 画出加速度合成

16、示意图画出加速度合成示意图trnreayaxaaaaa数值：数值：方向：方向：2trm/s4 . 127 . 0ABaa222nrm/s7 . 017 . 0ABa2em/s2 . 0AaaPart C 点的加速度合成点的加速度合成2trm/s4 . 1a2nrm/s7 . 0a2em/s2 . 0axxxxtrnreaaaaaaxaea30costra30sinnrayyyytrnreaaaaa30cos60cosnrtrayaaa2ay2axm/s31. 1m/s06. 1aa22ay2axam/s69. 1aaa Part C 点的加速度合成点的加速度合成如图所示如图所示, O1A=O2

17、B=r, O1A 平行于平行于 O2B. O1A 绕绕 O1 转动，图示时刻转动，图示时刻角速度为角速度为 和角加速和角加速度为度为 a a. 求此瞬时杆求此瞬时杆 CD的速度和加速度。的速度和加速度。Part C 点的加速度合成点的加速度合成1 选择动点和动参考系选择动点和动参考系动点动点: C (固连在固连在 CD 上上)动参考系：动参考系： 杆杆 AB2 画出速度合成示意图画出速度合成示意图牵连点牵连点 杆杆AB 平移平移ACvvvervvvCD2130sineaPart C 点的加速度合成点的加速度合成3 3 画出加速度合成示意图画出加速度合成示意图杆杆 AB 平移平移Aaa era2

18、neraatePart C 点的加速度合成点的加速度合成ra2neraaterteneaaaaa数值：数值：方向：方向：rteneaaaaay)(aacos30neasin30tea0aCDaarra21232Part C 点的加速度合成点的加速度合成画出图示机构的加速度合成示意图画出图示机构的加速度合成示意图. ( 3 分钟分钟.)已知已知: 计算杆计算杆OA的角速度和角的角速度和角加速度加速度Part C 点的加速度合成点的加速度合成速度合成示意图速度合成示意图加速度合成示意图加速度合成示意图DABC解解：点M1的科氏 加速度大小：asin211vak)/( 022vak 矩形板ABCD以

19、匀角速度 绕固定轴 z 转动，点M1和点M2分别沿板的对角线BD和边线CD运动，在图示位置时相对于板的速度分别为 和 ， 计算点M1 、 M2的科氏加速度大小, 并标明方向。1v2v点M2 的科氏加速度方向：垂直板面向里。解：rkva22rkrvav222 reavvv根据做出速度平行四边形)cos(sin),sin(cos11jajarvvrvvarae1122cossin)sin(cossin)sin(jjjjrrAOvervark212cos)22sin(2jj方向：与 相同。ev 曲柄摆杆机构已知：O1Ar , , j , 1; 取O1A杆上A点为动点，动系固结O2B上，试计算动点A的

20、科氏加速度。Part C 点的加速度合成点的加速度合成曲杆曲杆 OAB 以恒定角速度以恒定角速度 =0.5rad/s 绕点绕点 O作定作定轴转动轴转动. 圆环圆环 M 在水平杆在水平杆OC上滑动并和曲杆上滑动并和曲杆OAB相套相套. 计算当计算当j j = 60时时 圆环圆环M 的速度和加速度的速度和加速度Part C 点的加速度合成点的加速度合成1 选择动点和动参考系选择动点和动参考系动点动点: M动参考系：动参考系： 曲杆曲杆OAB (定轴转动定轴转动)2 画出速度合成示意图画出速度合成示意图evOMcos60OAs/100mm030sinrevvs/200mmrvmm/s2 .17330

21、cosravvvMPart C 点的加速度合成点的加速度合成3 画出加速度合成示意图画出加速度合成示意图Crteneaaaaaa数值：数值：方向：方向：OM2near2 vaCPart C 点的加速度合成点的加速度合成22ne50mm/sOM a2rs/200mm2vaCCrteneaaaaaax)(60cosaa60cosneaCa2Cneamm/s350cos60aaaPart C 点的加速度合成点的加速度合成杆杆 OA 以以恒定的角速度恒定的角速度 0 作作定轴转动定轴转动, , 机构机构尺寸如图所示尺寸如图所示, 求求: :当当 OA 处于水平位置时处于水平位置时 O1D, a aO1D, aCEPart C 点的加速度合成点的加速度合成1 选择动点和动参考系选择动点和动参考系动点动点: A动参考系：动参考系： 杆杆 O1D