第三章 流体动力学理论基础

1、工程流体力学工程流体力学（电子教案）（电子教案）闫化锦闫化锦主讲主讲 普通高等教育普通高等教育“十五十五”规划教规划教材材开开 始始第三章第三章 流体动力学的理论基础流体动力学的理论基础 3-2 流体运动中的几个基本概念流体运动中的几个基本概念 3-3 流体运动的连续方程式流体运动的连续方程式 3-4 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用 3-5 动量方程及其应用动量方程及其应用 3-1 描述流体运动的两种方法描述流体运动的两种方法 第三章第三章 流体动力学的理论基础流体动力学的理论基础一、教学目标 1）了解流体动力学的两种描述方法 2）掌握流体动力学的几个基本概念 3）理解流体场中的空间运动

2、规律及平衡方程的建立。 4）能够灵活运用破努力方程与动量方程二、教学重、难点 重点：伯努利方程及其能量守恒定律的应用难点：动量方程及其动量守恒定律的应用3-1 描述流体运动的两种方法描述流体运动的两种方法 流体运动实际上就是大量流体质点运动的总和，它比静力学多了两个参数：粘度和速度。 描述流体的运动参数在流场中各个不同空间位置上随时间 连续变化的规律。研究方法欧拉法：拉格朗日法：着眼于整个流场的状态，即研究表征流场内流体流动特性的各种物理量的矢量场与标量场着眼于个别流体质点的运动，综合所有流体质点的运动后便可得到整个流体的运动规律一、拉格朗日法与质点系 用初始时刻 t0 某流体质点具有的空间坐

3、标(a,b,c)来标识不同的流体质点，其3-1 描述流体运动的两种方法描述流体运动的两种方法 定义：是以流场中每一流体质点作为描述流体运动的方法，它以流体个别质点随时间的运动为基础，通过综合足够多的质点（即质点系）运动求得整个流动，其研究对象是流体质点。tcbazztcbayytcbaxx,运动质点的位置坐标不是独立变量，而是起始坐标 a、b、c 和时间变量t的函数，即 但由于流体质点的运动情况非常复杂，应用这种方法分析流体运动，在数学上将会遇到困难，况且在实用上一般也不需要知道给定流体质点运动的全过程。所以，除少数情况（如研究振动和波浪运动）外，在流体力学中通常不采用这种方法，而用较为简便的

4、欧拉法。3-1 描述流体运动的两种方法描述流体运动的两种方法 用空间坐标和时间变量t共同表达质点的运动规律，则陈（a,b,c，t）为拉格朗日数。 所以，任何质点在空间的位置（x,y,z）都可看作是（a,b,c）和时间t 的函数。二、欧拉法与控制体 它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动流体质点的空间流场为研究对象。研究各时刻质点在流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。这种借以观察流体运动的空间区域又称为控制体。3-1 描述流体运动的两种方法描述流体

5、运动的两种方法 定义：着眼于整个流场的状态，即研究表征流场内流体流动特性的各种物理量的矢量场与标量场。 用欧拉法研究流体运动时，运动要素是空间坐标x、y、z和时间变量 t 的连续可微函数，这里x、y、z、t 统称为欧拉变量。因此，流场中各空间点的流速所组成的流速场可表示为：如用分量形式表示，则3-1 描述流体运动的两种方法描述流体运动的两种方法tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx,tzyxuu,3-1 描述流体运动的两种方法描述流体运动的两种方法 流体质点某一时刻处于流场不同位置，速度是坐标及时间的函数，所以流速是t 的复合函数，对流速求导可得加速度场:dttzyxuda,如用分量

6、形式表示，则zuuyuuxuutudtduazuuyuuxuutudtduazuuyuuxuutudtduazzzyzxzzzyzyyyxyyyxzxyxxxxxuutudtuda)(若上式写成矢量形式，则3-1 描述流体运动的两种方法描述流体运动的两种方法 上式等号右边第一项是时变加速度（流动过程中流体由于速度随时间变化而引起的加速度）；后三项是位变加速度（流动过程中流体由于速度随位置变化而引起的加速度）； 其中 ux = dx/dt、uy = dy/dt、uz = dz/dt；即全加速度 = 时变加速度（当地加速度） + 位变加速度（迁移加速度）。kzjyix式中称为哈密顿算子一、恒定（定

7、常）流与非恒定流 3-2 流体运动中的几个基本概念流体运动中的几个基本概念tzyx;,BB 0t非定常流动zyx,BB 0t定常流动：流动是否定常与所选取的参考坐标系有关二、一元流、二元流与三元流 一元流动： 流动参数是一个坐标的函数；二元流动： 流动参数是两个坐标的函数；三元流动： 流动参数是三个坐标的函数。3-2 流体运动中的几个基本概念流体运动中的几个基本概念1、流线 对于工程实际问题，在满足精度要求的情况下，将三维流动简化为二维、甚至一维流动可以使得求解过程尽可能简化。 三、流线与迹线 （1）定义：表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线（曲线上每一点的速度矢量总在该点与曲线相切），右图为流

8、线谱中显示的流线形状 这是欧拉方法中，用几何曲线形象描述流动的手段。3-2 流体运动中的几个基本概念流体运动中的几个基本概念（2）流线的性质 b.）流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。a.）同一时刻的不同流线,不能相交.c.）流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地 方流速大，稀疏的地方流速小）。 d.）流线的形状和位置，在定常流动时不随时间变化；而在不定常流动时，随时间变化。 3-2 流体运动中的几个基本概念流体运动中的几个基本概念（3）流线的方程 根据流线的定义，可以求得流线的微分方程： 设ds为流线上A处一微元弧长: kdzjdyidxs du 为流体质点在A点的流速，则kujuiuu

9、zyx3-2 流体运动中的几个基本概念流体运动中的几个基本概念即 因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量，u 和ds重合。所以0usd0 zyxuuudzdydxkji整理得zyxudzudyudx流线方程2、迹线 3-2 流体运动中的几个基本概念流体运动中的几个基本概念 （1）定义：某一质点在某一时段内的运动轨迹线，右图为烟火的轨迹为迹线。（2）迹线的微分方程式中，ux,uy,uz 均为时空t,x,y,z的函数，且t 是自变量。 dtudzudyudxzyx3-2 流体运动中的几个基本概念流体运动中的几个基本概念注意： 1）流线和迹线是两个完全不同的概念，流线是同一时刻与许多质点

10、的流速矢量相切的空间曲线，而迹线则是同一质点在一个时段的运动迹线。 2）流线是欧拉法分析流体运动的概念，时间是参变量；而迹线是拉格朗日法分析流体运动的概念，时间是自变量。 【例1】已知流速场 ux= kx，uy= -ky，uz= 0，其中y0，k 为常数，试求：（1）流线方程；（2）流线方程。解：1）据 uz= 0，y0 可知，流体运动仅限于Oxy的上半平面内，则流线微分方程： kydykxdx3-2 流体运动中的几个基本概念流体运动中的几个基本概念积分得：xy = C 即该流线为一族等角双曲线，如右图所示。2）由迹线方程得dtkydykxdx3-2 流体运动中的几个基本概念流体运动中的几个基

11、本概念Cececxyecyecxktktktkt2121 上述两方程表明恒定流动时流线和迹线在几何上完全重合。积分得：3-2 流体运动中的几个基本概念流体运动中的几个基本概念四、流管、流束、元流、总流、过流断面 1、流管：在流场中取任一封闭曲线（不是流线），通过该封闭曲线的每一点作流线，这些流线所组成的管状空间称为流管。 因为流管是由流线构成的，所以它具有流线的一切特性，流体质点不能穿过流管流入或流出(由于流线不能相交)。流管就像固体管子一样，将流体限制在管内流动。 2、流束：过流管横截面上各点作流线，则得到充满流管的一束流线簇，称为流束。3-2 流体运动中的几个基本概念流体运动中的几个基本概

12、念 3、元流 （微元流束）：流管中的液流称为元流或微小流束元流的极限是一条流线。 4、过流断面：与流束中所有流线正交的横断面称为过流断面；如水道（管道、明渠等）中垂直于水流流动方向的横断面, 如图中的 1-1，2-2 断面。又称为有效截面，在流束中与各流线相垂直，在每一个微元流束的过水断面上，各点的速度可认为是相同的。 5、总流：如果封闭曲线取在流场周界上，所得流束称为总流。3-2 流体运动中的几个基本概念流体运动中的几个基本概念 质量流量（kg/s）五、流量与断面平均流速体积流量（ ）：sm /3AnAAmdAvdAnvvq),cos(dAv五、流量与断面平均流速AnAAvdAvdAnvvq

13、),cos(dAv流量在单位时间内流过过流断面（有效截面积）的流体的量。单宽流量单位宽度上河流或输水管的流量。3-2 流体运动中的几个基本概念流体运动中的几个基本概念 上式引入断面平均流速后，可将实际的三元或二院问题简化为一元问题，这就是所谓的一元分析法（或总流分析法）。断面平均流速体积流量与有效截面积之比值,用 v 表示。AudAAqvAv3-2 流体运动中的几个基本概念流体运动中的几个基本概念 根据位于同一流线上各质点的流速矢量是否沿流程变化，可将流体流动分为均匀流，否则称为非均匀流。六、均匀流与非均匀流、渐变流 若流场中同一流线上各质点的流速矢量沿程不变，这种流动称为均匀流，否则称为非均

14、匀流。 为了便于研究，常常按流线沿程变化的缓急程度，又将非均匀流分为渐变流和急变流。 渐变流：流束内流线的夹角很小、流线的曲率半径很大，近乎平行直线的流动。否则即为急变流 急变流：在管道截面积变化剧烈流动方向发生改变的地方，如突扩管、突缩管、弯管、阀门等处的流动为急变流。 一、直角坐标系中欧拉变数的连续性微分方程 3-3 连续性方程连续性方程 微元六面体，边长分别为dx 、dy 、dz ；中心流速为 ux、uy、 uz， 密度为，则单位时间内在x向流进、流出控制体的流体质量差为： 定义：它是质量守恒定律在工程流体力学中的的数学表达式。 质量守恒定律：对于空间固定的封闭曲面，dt 时间内流出的流

15、体质量与流入的流体质量之差应等于封闭曲面内的流体质量的减少量。dxdydzxudydzdxxuudxxdydzdxxuudxxmxxxxxx)()21)(21()21)(21(同理得3-3 连续性方程连续性方程dxdydzzumdxdydzyumzzyy)()(1、可压缩流体三维流动连续性方程 将mx 、my 、mz 、代入上式得3-3 连续性方程连续性方程dxdydztmmmzyx 因为流体是连续介质，根据质量守恒定律，单位时间内流进、流出控制体的流体质量差应等于控制体内流体因密度变化所引起的质量增量，即0)()()(zuyuxutzyx 上式是可压缩流体三维流动连续方程式 ，也叫流体运动的

16、连续性微分方程的一般形式。它表达了任何可能存在的流体运动所必须满足的条件是连续性条件 ，即质量守恒条件。 3-3 连续性方程连续性方程 适用范围： 定常流动或非定常流动 ；可压缩流体或不可压缩体。 物理意义： 单位时间内通过单位体积表面流入的流体 质量等于单位时内内部质量的增量。 3-3 连续性方程连续性方程2、可压缩定常流动的连续性方程当为恒定流时，有/t0，则0)()()(zuyuxuzyx3、不可压缩定常流或非定常流的连续性方程 对于不可压缩定常流体，为常数是，则0zuyuxuzyx 不可压缩流体流动时，流速在 x 、y 、 z 轴方向的分量沿其轴向的变化率，互相约束 。 物理意义：不可

17、压缩流体单位时间内流入单位空间 的流体质量（体 积）， 与流出的流体质量（体积）之差等于零。 例题1：已知不可压缩流体的两个分速度为ux = ax2+by2+cz2，uy = -(dxy+eyz+fzy)，其中 a、b、c、d、e、f 皆为常数。若当 z = 0 时，uz = 0，试求坐标z方向的分速度uz3-3 连续性方程连续性方程解： )(,2ezdxyuaxxuyx将上式代入不可压缩定常流流体的连续方程式得3-3 连续性方程连续性方程ezxadzuz)2(将上式积分得Cezxzaduz2/)2(2因为当 z = 0 时，uz = 0，代入上式得C = 0 即3-3 连续性方程连续性方程2

18、/)2(2ezxzaduz二、微元流束和总流的连续性微分方程 1 、微元流束的连续性方程 微元流束上两个过水断面dA1、dA2， 相应的速度分别为 u1、 u2， 密度分别为1、2；dt时间内，经dA1流 入的质量为dM11u1dA1d t，经dA2流出的质量 为dM22u2dA2dt， 对定常流动 ，根据质量守恒定律：1u1d A1dt 2u2dA2dt 1u1dA12u2dA2（流入质量=流出质量） 对不可压缩流体12， u1dA1 u2dA2得 ： dqv1= dqv2，其物理意义： 在同一时间内通过微元流束上任一过流断面的流量相等（流束段内的流体体积（质 量）保持不变 。 2、总流的连

19、续方程3-3 连续性方程连续性方程对定常流动 ： 物理意义：对于保证连续流 动（定常流）的不可压缩流体，过流断面面积与断面平均流速成反比，即流线密集 的地方流速大， 而流线疏展的地方流速小。 即在流量沿程不变的条件下 ： 例题1：下图为一输水三通管道，已知输入流量qv = 140L/s，两输出支管管道直径分别为d2 = 150 mm，d3 = 200 mm，且两支管的断面平均流速相等。试求两支管流量qv2和qv33-3 连续性方程连续性方程解： sLqqqsLdvqvvqqqvvvvvvv/7 .89/3 .504/2132222323213-3 连续性方程连续性方程3、变直径管的直径d1=3

20、20 mm，d2= 160mm ， 流速1= 1.5 m / s ， 2为 （ ）3-3 连续性方程连续性方程C问题1：欧拉法研究的变化情况（ ）A）每个质点的流速 B）每个质点的轨迹 C）每个空间流场的流速 D ) 以上都是2：非定常流动是（ ）A）u/t0 B）u/t0 C）u/s0 D ) u/s0AA）3 m/s B）4 m/s C）6 m/s D) 9 m/sC3-6 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用一、欧拉运动微分方程的积分dtduzpfdtduypfdtduxpfzpfypfxpfzzyyxxzyx111010101将上式分别乘以dx、dy、dz，然后相加得 由于欧拉微分方程

21、和连续方程是求解理想流体运动问题的基本方程，其一阶非线性偏微分方程组（迁移加速度中包含了未知量与其偏导数的乘积）至今未找到它的通解，而只是在几种特殊情况下的特解。 下面我们介绍在工程流体力学中常见的伯努利积分，它是在以下四个限定条件下的积分：dzdtdudydtdudxdtdudzzpdyypdxxpdzfdyfdxfzyxzyx)(1)(3-6 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用1、恒定流，即/t0，则dzzpdyypdxxpdp3、质量力有势，设W为质量力的势函数，则3-6 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用2、流体为不可压缩的，即为常数dzfdyfdxfdWzyx4、沿流线积分（在恒

22、定流调条件下也是迹线积分），则zyxudtdzudtdyudtdx,)2/(/2uddzudyudxudpdWzyx利用上述四个条件，得3-6 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用因为为常数，故上式可写成0)2/(2upWd将上式积分得CupW2/2 上式即为伯努利积分式，它表明对于不可压缩的理想流体，在有势的质量力作用下恒定流动时，在同一流线上W-p/-u2/2 保持不变。但是对于不同的流线，伯努利积分常数一般不同。 上式就是理想流体恒定元流的伯努利方程，其物理意义：z 是单位重量流体相对于基准面所具有的位能（位置势能）；p/g是单位重量流体所具有的压能（压强势能）；u2/2g是单位重量流体

23、所具有的动能；势能（位能与压能之和）与动能之和称为机械能。故对于重力作用下的3-6 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用二、理想流体恒定流的伯努利方程 对于质量力仅有重力的恒定不可压缩流体，其质量势函数 W=- gz ，将其代入沿流线（元流）的伯努利积分式得：）或gugpzgugpzCgugpz22(2222221112 恒定不可压缩理想流体，单位重量流体所具有的机械能沿流线方向不变，即机械能守恒。 几何意义：z 表示元流过断面上某点相对于基准面的位置高度，称为位置水头；p/g称为压能水头，当p为相对压强时，p/g也叫做测压管的高度；u2/2g称为速度水头，即流体以速度u 垂直向上喷射到空气中

24、所达到的高度；z+p/g+u2/2g称为总水头，故其几何意义是在重力作用下的恒定不可压缩理想流体，总水头沿流线为一常数。 适用条件：理想流体； 稳定流动 ；质量力只受重力 ；不可压流体；沿流线或微小流束。 3-6 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用 例题1： 如图（a）所示，皮托（H.Pitot）管是将流体动能转化为势能，从而通过测定流体点流速的仪器。它是由测压管和测速管（两端开口的直角弯管）组成，其测速原理如图（b）。测速时，将弯端管口正对来流方向置于A点下游同一流线上相距很近的B点，来流在B点受测速管的阻滞速度为零（B点成为驻点或滞止点），动能全部转化为势能，测速管内液柱保持一定高度。试

25、根据B、A两点的测压管水头差ha = (zB+ pB/g)-(zA+ pA/g)计算A点的流速u。3-6 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用解： 由理想流体恒定流的伯努利方程得 uAABBghgpzgpzgu2)()(2即，A点速度3-6 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用022gpzgugpzBBAA 考到实际流体粘性作用引起的水头损失和测速管对流动的影响，用上式计算A点流速时尚需进行修正，即 式中称为皮托管因数，其值与皮托管的构造有关，由实验确定，数值接近1.0。3-6 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用ughu2三、实际流体恒定总流的伯努利方程 由于实际流体具有粘性，在流动过程中流

26、层间内摩擦阻力做功，将使一部分机械能不可逆地转化为热能而消耗，因此实际流体流动的机械能将沿程减少。设hw 为实际流体中单位重量流体从过流断面1-1到过流断面2-2 的机械能损失（亦称为元流的水头损失），则根据能量守恒原理，可得实际流体恒定元流的伯努利方程： 但是，在工程实际中要求解决的往往是总流问题，如流体在管道、渠道中的流动问题。因此实际流体恒定总流的伯努利方程为：3-6 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用vwgdqhdAgugugpzdAgugugpz222222112111)2()2(2222211122whgugpzgugpz2211dAgudAgugdqv对上式三种类型积分分析得3

27、-6 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用 将上式在过流断面上积分，得单位时间内通过总流两过流断面的能量关系式vqvAAgdqdAgugugpzdAgugugpz21222222112111)2()2(1）势能积分AgudAgpz)( 渐变流过流断面服从液体静压强分布规律，z+p/z+p/g = Cg = C，则vAAgqgpzudAgpzggudAgpz)()()(2）动能积分 由于过流断面上的流速分布与流动内部结构和边界条件有关，一般难以确定，工程实际中为了计算方便，常用断面平均流速 v 来表示实际的动能，即3-6 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用AgdAgu23vAgqgvgAgvg

28、dAgu222233 式中 v 是过流断面的平均流速； 是动能修正系数（实际动能与按断面平均流速计算的动能之比），工程计算中常见流动通常取 = 1.3）水头损失积分 式中hw为单位重量流体在两过流断面间的平均机械能损失，通常称为总流的水头损失。 将（1）、（2）、（3）式代入恒定流的能量关系式得3-6 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用vqvwgdqh 水头损失积分是单位时间内总流由过流断面1-1至2-2之间的机械能损失。根据积分中值定律，得vwqvwgqhgdqhvwhgvgpzgvgpz222222221111应用条件：1）流体是不可压缩的且恒定的；2）质量力只有重力；3）过流断面取在渐

29、变流上，但两过流断面之间可以是急变流。4）两过流断面之间除水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。当总流在两过流断面之间通过水泵、风机或水轮机等流体机械时，流体额外获得或失去能量，则总流的伯努利方程为：3-6 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用whgvgpzHgvgpz2222222211113-6 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用应用伯努利方程解决工程实际应用问题时应注意以下几点：1）适用条件：不可压缩流体、定常流动、质量力只有重力作用。2）往往与连续方程联合使用。3）在选取适当的位置势能为零的水平基准面后，可选择过流断面上任意高度为已知点 z1 和 z2 列出伯努利方程。（三选一列）

30、4）所选用的过流断面必须是渐变过流断面。且其中一个断面应选在待求未知量所在处，另一个断面应选在各参数已知处。3-6 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用 例题2：文丘里流量计是一种测量有压管道流量的仪器。如图所示，它是由光滑的收缩段、喉道和扩散段三部分组成。管道过流时，因喉道断面缩小，流速增大，动能增加，势能减小，这样通过在收缩段进口断面和喉道断面安装测压管或差压计，实测两断面的测压管水头差，便可由恒定总流的伯努利方程得到管道的流量。若已知文丘管进口直径d1 = 100 mm，喉道直径 d2 = 50 mm，流量因数（实际流量与不计能量损失的理论流量之比）? =0.98，实测测压管水头h=0.

31、5 m（或水银差压计的水银面高度差hp=3.97cm),试求管道的实际流量qv解：3-6 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用选取基准面与过流断面（如图所示），由于光滑收缩段很短，水头损失暂时忽略不计，取1=2=1.0，则211111222222111)(22ddAAVVgvgpzgvgpz故理想流体的流量（理论流量）3-6 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用1)()()(241122111ddgpzgpzgv1)/()()(2442122112111ddgpzgpzgdAvqv 考虑到实际流体存在水头损失，实际流量略小于理论流量，即)/22.61)/(1/24(/22.61)/(241)/()()(2442121421