第三章 正弦交流电路-1-相量表示法

1、第三章正弦交流电路it iit tIim sinImTfT22Tf1t 幅值：幅值：Im、Um、EmdtRiT20RTI2T0ttIT1dsin22m2Im同理：同理：2UUm2EEm 则有则有TdtiTI0212例例已知：已知：tsinUumVUm310Hzf50其中其中求：求：U U和和t=0.1t=0.1秒时的瞬时值秒时的瞬时值解：解：VUUm22023102).sin(ftsinUum1010031020： t = 0 时的相位，称为时的相位，称为初相位初相位或或初相角初相角。it ）（t：正弦波的：正弦波的相位角相位角或相位或相位三、初相角和相位差三、初相角和相位差 1212 t t

2、 两个两个同频率同频率正弦量间的正弦量间的相位差相位差( ( 初相角初相角) ) 222111 t sinIi t sinIimm122i1i t两种正弦信号的关系两种正弦信号的关系同同相相位位212i1i12t021 落后于落后于2i1i相相位位落落后后22it11i2i相相位位领领先先1i021领先于领先于1i2it12021与与1i2i同相位同相位 三相交流电路：三种电压初相位各差三相交流电路：三种电压初相位各差120120 。BuCuAu t瞬时值表达式瞬时值表达式301000sinti相量相量必须必须小写小写前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。

3、波形图波形图it 正弦波的表示方法：正弦波的表示方法：重点重点3.1.2 3.1.2 正弦交流电的相量表示正弦交流电的相量表示1.1.复数的表示形式复数的表示形式代数形式代数形式A A= =a a( (实实)+j)+jb b( (虚虚) )其中：其中：1 1j jb ba aA AReReImIm0 0r r由上图可知由上图可知sinrbcosraabarctgbar22一、复习复数及其基本运算一、复习复数及其基本运算三角形式三角形式指数形式指数形式极坐标形式极坐标形式sinjrcosrA rA（欧拉公式）（欧拉公式）sinjrcosrreAsinjcosejj2.2.复数的基本运算复数的基本

4、运算（1 1）加、减）加、减设：设：11jbaA22jbaB；则：则：)bb( j)aa (BA2121ReReImImB BA AA+BA+BReReImImB BA AA-BA-B-B-B（加）（加）（减）（减）（2 2）乘、除）乘、除（乘）设：（乘）设：1j1erA2j2erB)( j21j2j12121er rererBA或：或：)(rrrrBA21212211（除）（除）)( j21j2j12121errererB/A)(rrrrB/A212122113.3.讨论讨论（1 1）1ej设：设：jreA)( jjreeAReReImImr rr rAjAej j e e为旋转因子为旋转因

5、子（2 2）由欧拉公式可知）由欧拉公式可知jj090sinj90coseoo90jojj0)90sin(j)90cos(eoo90jo10 j1180sinj180coseoo180jo注意：注意：j j、-j-j、-1-1都是旋转因子都是旋转因子称为，一个复数乘以j相当于在复平面上逆时针旋转90；除以j相当于在复平面上顺时针旋转90 数学课程中旋转因子是用i表示的，电学中为了区别于电流而改为j。相量法相量法是分析求解正弦电流电路稳态响应的一种有是分析求解正弦电流电路稳态响应的一种有效效工具工具。 根据根据欧拉欧拉公式，一个复指数函数公式，一个复指数函数 )(itjeIm可以写成可以写成:)s

6、in()cos()(imimmtjItIeIitj实部实部是是余余弦量弦量 虚部虚部是是正正弦量弦量 则则 )sin(Im)(immtIeIitj正弦量正弦量可以用上述形式可以用上述形式复数函数复数函数描述描述 二、二、正弦交流电的相量表示法)sin(Im)(immtIeIitj正弦量正弦量可以用上述形式可以用上述形式复数函数复数函数描述描述 ImIm)sin()()(tjijitjeeIeItItimmim取复数函数的虚部取复数函数的虚部复指数函数中的一个复指数函数中的一个复常数复常数复常数复常数 即即为正弦量的为正弦量的 相量相量，记为，记为 mI相量:指与正弦量具有一一对应关系的复数。如

7、：正弦量的对应复数A的值； tUum sinAmUt u 显然，。二者具有一一对应关系。0j01正弦量的与复数A的相对应； 正弦量的对应复数A绕轴旋转的； )(sinmtUu设正弦量设正弦量:表示正弦量的复数称表示正弦量的复数称相量，相量， UUeUj实质：用复数表示正弦量。实质：用复数表示正弦量。正弦交流电的相量表示法 UeUUmjmm或：或： 相量图相量图: 把相量表示在复平面的图形把相量表示在复平面的图形IU相量图相量图 模模用最大值表示用最大值表示 ，则用符号：，则用符号：mmI U、 实际应用中，模多采用有效值，符号：实际应用中，模多采用有效值，符号：I U、如：已知如：已知)45(

8、sin220tuj45m220 eUj452220eU则则或或可以证明可以证明同频率正弦波同频率正弦波运算后，频率不变运算后，频率不变。222111 sin2 sin2tUutUu如：如：结论结论: : 因角频率（因角频率（ ）不变，所以以下）不变，所以以下讨论讨论同频率正弦波同频率正弦波时，时， 可不考虑，主要研究可不考虑，主要研究幅度幅度与与初相位初相位的变化的变化。tUtUtUuuu sin2 sin2 sin2221121幅度、相位变化幅度、相位变化频率不变频率不变解解：A506 .86301003024 .141jIV5 .190110602206021 .311jU例例1:已知瞬时

9、值，求相量。已知瞬时值，求相量。已知已知: : V3314sin1 .311A6314sin4 .141tuti求：求： i 、u 的相量的相量 506 .86301003024 .141jI5 .190110602206021 .311jU2203/UI1006/AV相量图相量图求：求：21ii 、例例2：已知相量，求瞬时值。已知相量，求瞬时值。 已知：已知：两个频率都为两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量的正弦电流其相量形式为：形式为：A10A601003021jeIIA )306280sin(210A )606280sin(210021titi解解：6280100022fsra

10、d相量运算：相量运算：1. 同频率正弦量相加减同频率正弦量相加减 j1111j2222( )2sin( )Im( 2)( )2sin( )Im( 2)ttu tUtU eu tUtU e)t (u)t (u)t (u21 U21 UUU得：得： jj12Im( 2)Im( 2)ttU eU e jj12 Im (22)ttU eUe j12Im (2()tUUe这实际上是一种这实际上是一种变换思想变换思想，由由时域量时域量变换到变换到相量相量“相量相量” 不同于不同于“向量向量”21uuu 例例V )60314sin(24)(V )30314sin(26)(o21 ttuttu同频正弦量的加、

11、减运算可借助相量图进行。相量同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。V604 V 306o2o1 UUV )9 .41314sin(267. 9)()()(o21 ttututu60430621 UUUReIm301U9 .41UReIm9 .41301U602UU464. 323196. 5jj 464. 6196. 7j V 9 .4167. 9o 602U注意：还原为正弦量时，要为注意：还原为正弦量时，要为对应的正弦量形式对应的正弦量形式注意注意 ： 1. 只有正弦量只有正弦量才能用相

12、量表示，非正弦量不可以。才能用相量表示，非正弦量不可以。2. 只有只有同频率同频率的正弦量才能画在一张相量图上，的正弦量才能画在一张相量图上， 不同频率不行。不同频率不行。新问题新问题提出：提出： 平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。故引入故引入相量的复数运算法。相量的复数运算法。 相量相量 复数表示法复数表示法复数运算复数运算 sincosjUUjbaU相量的复数表示相量的复数表示abUUj+1将复数将复数U放到复平面上，可如下表示：放到复平面上，可如下表示：abtgbaU122欧拉公式欧拉公式 UeUjUjbaUj)sin(cos代数式代数式

13、 指数式指数式 极坐标形式极坐标形式abUUsinjcosej在复数运算当中，一定要根据复数所在象限正确写出幅角的值。如：434 5 53.1 (arctan)3AjA 第一象限434 5 (180arctan )3BjB 第二象限434 5 (arctan180 )3CjC 第三象限434 5 ( arctan)3DjD 第四象限+1+j034-3-4ABCD符号说明瞬时值瞬时值 - 小写小写u、i有效值有效值 - 大写大写U、I复数、相量复数、相量 - 大写大写 + “.”U最大值最大值 - 大写大写+ +下标下标mU)45(sin220tu452220U？45m220 eU？)30(sin24t？j304 eIj45 2.2.已知：已知：A6010I)A60(sin10ti？V15100UV100 U？V100j15eU ？ 1U12U22U1U1U2UV202201UV451102UV)45(sin21102tuV)20(sin22201tu);30(314sin20200sin4tt);90(628sin100314sin50tt; )40(314sin8)40(314sin6tt。)60(1000sin401000s