第6章保形映射

1、第6章 保形映射 对于解析函数而言，它所构成的映射，还必需作对于解析函数而言，它所构成的映射，还必需作一些具体的研究，因为这种映射在实际问题中是很有一些具体的研究，因为这种映射在实际问题中是很有用处的用处的. 本章中先分析解析函数所构成的映射的特性，本章中先分析解析函数所构成的映射的特性，引出保形映射的概念；然后进一步研究分式线性函数引出保形映射的概念；然后进一步研究分式线性函数和几个初等函数所构成的保形映射的性质和几个初等函数所构成的保形映射的性质. 在第在第1 1章中已经讲过，函数章中已经讲过，函数 在几何上可以在几何上可以看做是把看做是把 平面上的一个点集平面上的一个点集 ( (定义集合

2、定义集合) )变到变到 平面上的一个点集平面上的一个点集 （函数值集合）的映射（或变（函数值集合）的映射（或变换）换）. ( )wf zGwz*G1 保形映射的概念 C0PP0P Pt00()( )z ttz tt 0P P0()z tt0( )z tP0PPC0PC0P 如果规定：通过如果规定：通过 上两点上两点 与与 的割线，的割线， 的正的正向对应于参数向对应于参数 增大的方向，那么这个方向与表示增大的方向，那么这个方向与表示的向量的方向相同的向量的方向相同. 这里，这里， 与与 分别为点分别为点 与与 所对应的复数所对应的复数. 当点当点 沿沿 无限趋向于点无限趋向于点 时，割线时，割

3、线 的极限位置就是的极限位置就是 上上 处的切线处的切线. 1平面内的一条有向连续曲线平面内的一条有向连续曲线 它的正向取为它的正向取为 增大的方向，增大的方向， 为一连续函数为一连续函数. 如果如果 ，那么表示，那么表示 的向量的向量 (取为起点取为起点) 与与 相切于点相切于点 .( ),zz t:Ct00( )0,z tt,t ( )z t0( )z t0zC00( )zz t因此，表示因此，表示0000()( )( )limtz ttz tz tt C00( )zz tC的向量与的向量与 相切于点相切于点 ，且方向与，且方向与 的正向一致的正向一致. 2）相交于一点的两条曲线）相交于一

4、点的两条曲线 与与 正向之间的夹角正向之间的夹角就是就是 与与 在交点处的两条切线正向之间的夹角在交点处的两条切线正向之间的夹角.1c2c1c2c 如果规定这个向量的方向作为如果规定这个向量的方向作为 上点上点 处的切线的处的切线的正向，那么有：正向，那么有： 1） 就是在就是在 上点上点 处切线的正向与处切线的正向与 轴轴正向之间的夹角；正向之间的夹角； C0zC0Arg ( )z t0zx2解析函数的导数的几何意义解析函数的导数的几何意义 设函数设函数 在区域在区域 内解析，内解析， 为为 内的一内的一点，且点，且 . 又设又设 为为 平面内通过点平面内通过点 的一条有的一条有向光滑曲线，

5、它的参数方程是：向光滑曲线，它的参数方程是： ，它，它的正向为参数的正向为参数 增大的方向，且增大的方向，且 ( )wf zD0zD0()0fzCz0z( ),zz tt 0000( ),( )0,.zz tz tt （1） 辐角辐角 的几何意义的几何意义0Arg ()fz 这样，映射这样，映射 就将曲线就将曲线 映射成映射成 平面内平面内通过点通过点 的对应点的对应点 的一条有向光滑曲线的一条有向光滑曲线 它的参数方程是它的参数方程是 ， 方向为参数方向为参数 增大的方向增大的方向.( )wf zCw00()wf z0z, ( ),wf z tt tx0yu0v图图 6.100C0z0w(

6、)wf z()0ofz 根据复合函数求导法，有根据复合函数求导法，有 因此，由前面的论断因此，由前面的论断1）得知，在）得知，在 上点上点 处也有处也有切线存在，切线存在， 且切线的正向与且切线的正向与 轴正向之间的夹角是轴正向之间的夹角是000( )() ( )0w tfzz tu000Arg( )Arg ()Arg ( )w tfzz t0wx 如果假定图如果假定图6.2中中 轴与轴与 轴轴, 轴与轴与 轴的正向相轴的正向相同，而且将原来的切线的正向与映射过后的切线的正同，而且将原来的切线的正向与映射过后的切线的正向之间的夹角理解为曲线向之间的夹角理解为曲线 经过经过 映射后在映射后在 处

7、处的转动角，那么（的转动角，那么（1）式表明：）式表明： 1）导数）导数 的辐角的辐角 是曲线是曲线 经经过过 映射后在映射后在 处的转动角处的转动角. uyvC( )wf z0z0()0fz0Arg ()fzC( )wf z0z000Arg( )Arg ()Arg ( )w tz zf t（1） 2）转动角的大小与方向跟曲线）转动角的大小与方向跟曲线 的形状与方向的形状与方向无关无关. C 现在假设曲线现在假设曲线 与与 相交于点相交于点 ，它们的参数方，它们的参数方程分别是程分别是 与与 ， ；并且；并且 .1C2C0z1( )zz t2( )zz tt 01020102000( )( )

8、,( )0,( )0,zz tz tz tz ttt 20102010Arg( )Arg( )Arg ( )Arg ( )w tw tz tz t 即即 （2）1( )ww t 又设映射又设映射 将将 与与 分别映射为相交于点分别映射为相交于点 的曲线的曲线 及及 ，它们的参数方程分别是，它们的参数方程分别是 与与 ，由（，由（1）式）式. 有有( )wf z1C2C00()wf z122( ),ww tt 10102020Arg( )Arg ( )Arg( )Arg ( )w tz tw tz t 上式两端分别是上式两端分别是 和和 以及以及 与与 之间的夹角，之间的夹角，因此，（因此，（2

9、）式表明：）式表明： 相交于点相交于点 的任何两条曲线的任何两条曲线 与与 之间的夹角，在之间的夹角，在其大小和方向上都等同于经过其大小和方向上都等同于经过 映射后跟映射后跟 与与 对应的曲线对应的曲线 与与 之间的夹角之间的夹角. 所以这种映射具有保持所以这种映射具有保持两曲线间夹角的大小与方向不变的性质两曲线间夹角的大小与方向不变的性质. 这种性质称为这种性质称为保角性保角性.( )wf z121C2C1C2C0z1C2C121C2C120z0w( )wf z0()0fzxy0uv0图图 6.2 设设 ，且用，且用 表示表示 上的上的点点 与与 之间的一段孤长，之间的一段孤长， 表示表示

10、上的对应点上的对应点 与与 之间的孤长之间的孤长. 由由00,iizzrewweSC0zz0ww()0000( )()iiiwwf zf zeSezzzzreSr ( )f z0z0|()|fz （2）函数）函数 在在 的点导数的模的点导数的模 的几何的几何意义意义00|()|limzzfzS00lim1,lim1zzzzSrC0z 得得 . 注意：注意： 这个极限值称为曲线这个极限值称为曲线 在在 的的伸缩率伸缩率. 因此上式表明：因此上式表明： 是经过映射是经过映射 后通过点后通过点 的任何曲的任何曲线线 在在 的伸缩率，它与曲线的伸缩率，它与曲线 的形状及方向无关的形状及方向无关. 所以

11、这种映射又具有伸缩率的不变性所以这种映射又具有伸缩率的不变性.0|()|fz( )wf zCC0z0z 3保形映射的概念保形映射的概念 定义：定义：凡是有保角性和伸缩率不变性的映射称为凡是有保角性和伸缩率不变性的映射称为保角映射，或者更确切地称为第一类保角映射保角映射，或者更确切地称为第一类保角映射. 定理：定理：如果函数如果函数 在在 处解析，且处解析，且 ,那么映射那么映射 在在 点是保形映射，而且点是保形映射，而且 表表示这个映射在示这个映射在 的转动角，的转动角， 表示伸缩率表示伸缩率.0()0fz( )wf z0z0Arg ()fz0|()|fz0z( )wf z0z 例：例：求求

12、在在 的转动角及伸缩率的转动角及伸缩率.2( )f zz0zi 解：解：( )2fzz( )2f iiArg ( )Arg222f iik0|()| 2fz2 分式线性映射分式线性映射 分式线性映射是保形映射中比较简单的但又很重分式线性映射是保形映射中比较简单的但又很重要的一类映射，它是由要的一类映射，它是由来定义的，其中来定义的，其中 均为常数均为常数.( )(0)azbwL zadbcczd,a b c d 现在先来讨论几种特殊的情况现在先来讨论几种特殊的情况. 为方便，暂且将为方便，暂且将平面看成是与平面看成是与 平面重合的平面重合的.wz 这是一个这是一个平移变换平移变换，因为复数相加

13、可以化为向量，因为复数相加可以化为向量相加，所以在映射相加，所以在映射 之下，之下， 沿向量沿向量 （即复数（即复数 所表示的向量）的方向平行移动一段距离所表示的向量）的方向平行移动一段距离 后，就后，就得到得到 .wzbzb|bwb 这是一个这是一个旋转旋转与与伸长伸长(或缩短或缩短)的映射的映射. 事实上事实上, 设设 , 那么那么 . 因此因此, 把把 先转一个角先转一个角度度 , 再将再将 伸长伸长(或缩短或缩短)到到 倍后倍后, 就得到就得到 .,iizre ae()iwr e z|z|awwzbi） . ,0waz aii） .1wziii） . 这个映射可以分解为这个映射可以分解

14、为为了要用几何方法从为了要用几何方法从 作出作出 ，我们来研究所谓关于，我们来研究所谓关于一已知圆周的一对对称点的概念一已知圆周的一对对称点的概念.111,wwwzzw 设设 为以原点为中心，为以原点为中心， 为半径的圆周为半径的圆周. 在以圆心在以圆心为起点的一条半直线上，如果有两点为起点的一条半直线上，如果有两点 与与 满足关系满足关系式式那么就称这两点为关于这圆周的那么就称这两点为关于这圆周的对称点对称点. 设设 在在 外，从外，从 作圆周作圆周 的切线的切线 .P2OP OPrCPTCrPPPC事实上事实上 ，因此，因此 ，即即 ，规定：无穷远点的对称点是圆，规定：无穷远点的对称点是圆

15、心心 .OPTTPO:OP OTOT OP22OP OPOTrOTTPOPPPPOP由由 作作 的垂线的垂线 与与 交于交于 ，那么，那么 与与 即互为即互为对称点对称点.xy1z2z0r图图 6.3 如果设如果设 ，那么，那么 ， ，从，从而而 . 由此可知，由此可知， 与与 是关于单位圆周是关于单位圆周 的对称点，的对称点， 与与 是关于实轴的对称点是关于实轴的对称点. 因此，要从因此，要从 作出作出 ，应先作，应先作出关于圆周出关于圆周 与与 的对称点的对称点 ，然，然后再作出关于实轴与后再作出关于实轴与 对称的点对称的点. 即得即得 .izre111iwezr11iwwer1| | 1

16、w z 1/wz1wz| 1z 1wwz| 1z z1w1ww1ww1图图 6.4xy0z 首先讨论映射首先讨论映射iii） . 根据第根据第1章，关于数章，关于数 的的四则运算知四则运算知, 这个映射将这个映射将 映射成映射成 , 也就是说也就是说 ,当当 时，时， . 如果把如果把 改写成改写成 , 可知当可知当时，时， .由此可见，在扩充复平面上映射由此可见，在扩充复平面上映射iii）是一一对）是一一对应的应的. 又因为又因为 1wzz 0wz 0w1zww 0z 2211( )wzz 1wzzw 以上讨论了如何从以上讨论了如何从 作出映射作出映射i），），ii），），iii）的对）的对

17、应点应点 . 下面分别讨论这三种映射的性质下面分别讨论这三种映射的性质.1wz0z z 所以除去所以除去 与与 外外, 映射映射 是保角的是保角的. 0,zz 0w当当 时，时， . 至于在至于在 与与 是否保角问题就关系到如何是否保角问题就关系到如何理解两条曲线在无穷远点处交角的涵义问题理解两条曲线在无穷远点处交角的涵义问题. 0z z z 1wz 如果规定：两条伸向无穷远的曲线在无穷远处的交如果规定：两条伸向无穷远的曲线在无穷远处的交角，等于它们在映射角，等于它们在映射 下通过原点的两条像曲线的下通过原点的两条像曲线的交角，那么这映射在交角，那么这映射在 处是保角的处是保角的.w 1zw0

18、z 1wz1wz1zw 再由再由 知在知在 处映射处映射 是保角的，也就是保角的，也就是说在是说在 处映射处映射 是保角的是保角的. 所以，映射所以，映射 在扩充复平面上是处处保角的在扩充复平面上是处处保角的. 其次，再对其次，再对i）与）与ii）进行讨论）进行讨论. 显然，这个映射在显然，这个映射在扩充复平面上是一一对应的扩充复平面上是一一对应的. 又因为又因为 , 所以当所以当 时，映射是保角的时，映射是保角的. 还可以证明，当时还可以证明，当时 ，映射也是保角的，映射也是保角的. 因此，映射因此，映射在扩充复平面上是处处保角的在扩充复平面上是处处保角的.()0waz ba z z (0)

19、wazb b 还要指出，映射还要指出，映射 与与 都具有将圆周都具有将圆周映射成圆周的性质映射成圆周的性质.wazb1wz 据上所论，映射据上所论，映射 是将是将 平面内平面内的一点经过平移、旋转和伸缩而得到像点的一点经过平移、旋转和伸缩而得到像点 的的 , 因此因此 , 平面内的一个圆周或一条直线经过映射平面内的一个圆周或一条直线经过映射 所所得到的像曲线显然仍是一个圆周或一条直线得到的像曲线显然仍是一个圆周或一条直线. 如果把直如果把直线看成是半径为无穷大的圆周，那么这个映射在扩充线看成是半径为无穷大的圆周，那么这个映射在扩充复平面上把圆周映射成圆周复平面上把圆周映射成圆周. 这个性质称为

20、保圆性这个性质称为保圆性.(0)wazb awzwazbz 下面来阐明映射下面来阐明映射 也具有保圆性也具有保圆性. 为此，令为此，令 , 将将 代入代入 , 得得 或或1/wz,1/zxiy wzuivzxiy2222,xyuvxyxy2222,yvxyuvuv1/wz0,0ad0,0ad0,0ad0,0ad1/wz1/wz 当然当然, 在这种情况下在这种情况下, 可能是将圆周映射成圆周可能是将圆周映射成圆周(当当 ); 圆周映射成直线圆周映射成直线(当当 ); 直线直线映 射 成 圆 周映 射 成 圆 周 ( 当当 ) , 以 及 直 线 映 射 成 直 线以 及 直 线 映 射 成 直

21、线(当当 ). 这就是说这就是说, 映射映射 把圆周映射把圆周映射成圆周成圆周. 或者说或者说, 映射具有保圆性映射具有保圆性.22()0a xybxcyd0a (,)22bcaa221()()2bcdaaa22()0d uvbucva1/wz 因此，映射因此，映射 将方程将方程 ( 圆心圆心 , 半径半径) 变为方程变为方程 最后最后, 再回到分式线性映射的一般情况的讨论再回到分式线性映射的一般情况的讨论2221/az bacz bcaczadbc adabc adwczdc zdcc zdccczd c0c (,)abwzdd 1ww1wz0c 21abcadwdcczcBwAzC2,ab

22、caddABCccc如果如果 , 那么那么 就可以看成是就可以看成是由由 与与 复合而成复合而成; 如果如果 , 那么那么 就有就有 , 这里这里, . 因此因此, 映射可以看成是由上面已经讨论过的三个映映射可以看成是由上面已经讨论过的三个映射射i), ii), iii)复合而成的复合而成的. 定理定理1. 分式线性映射在扩充复平面上是一一对应分式线性映射在扩充复平面上是一一对应的，且具有保圆的保形映射的，且具有保圆的保形映射. 根据保圆性，容易推知：在分式线性映射下，如根据保圆性，容易推知：在分式线性映射下，如果给定的圆周或直线上没有点映射或无穷远点，那么果给定的圆周或直线上没有点映射或无穷

23、远点，那么它就映射成半径为有限的圆周；如果有一个点映射成它就映射成半径为有限的圆周；如果有一个点映射成无穷远点，那么它就映射成直线无穷远点，那么它就映射成直线. 分式线性映射，除了保圆性外，还有所谓分式线性映射，除了保圆性外，还有所谓保对称保对称性性，这就是下面的定理，这就是下面的定理2. 定理定理2. 设点设点 是关于圆周是关于圆周 的一对对称点的一对对称点, 那么在分式线性映射下，它们像点那么在分式线性映射下，它们像点 与与 也是关于也是关于 的像曲线的像曲线 的一对对称点的一对对称点.12,zzC1w2wC 为证明这个结论，先来阐明对称点的一个重要特为证明这个结论，先来阐明对称点的一个重

24、要特性，即性，即 是关于圆周是关于圆周 的一对对称点的的一对对称点的充要条件是经过充要条件是经过 的任何圆周的任何圆周 与与 正交正交.12,zz0:|CzzR12,z zC图图 6.50zz2z1zC 过点过点 作圆作圆 切线，切线， 为切点为切点 0zz200 122|zzz zz z20 102z zz zR 证：证： 但但 在在 上，上， 的切线就是的切线就是的半径，因此的半径，因此 与与 正交正交.zC12,z z 反过来，设反过来，设 是经过是经过 与与 正交的任一圆周正交的任一圆周.CCC 那么连接那么连接 与与 的直线作为的直线作为 的特殊情况的特殊情况(半径为半径为无穷大无穷

25、大)必与必与 正交正交, 因而必过因而必过 , 又因又因 与与 于交点于交点处正交处正交, 因此因此 的半径的半径 就是就是 的切线的切线, 所以有所以有 即即 与与 是关于圆周是关于圆周 的一对对称点的一对对称点.1z2z0zz0z z21020|zzzzR1z2zCCCC 下面利用上述对称点的特性来证明定理下面利用上述对称点的特性来证明定理2. 证：证：设经过设经过 与与 的任一圆周的任一圆周 是经过是经过 与与 的的圆周圆周 由分式线性映射映射过来的由分式线性映射映射过来的. 由于由于 与与 正交正交,而分式线性映射具有保角性，所以而分式线性映射具有保角性，所以 与与 ( 的像的像)也必

26、正交，因此，也必正交，因此， 与与 是一对关于是一对关于 的对称点的对称点.1w2w1z2zC1w2wCCC3 唯一决定分式线性映射的条件唯一决定分式线性映射的条件 式中含有四个常数式中含有四个常数 . 但是，如果但是，如果用这四个数中的一个去除分子和分母，就可将分式中用这四个数中的一个去除分子和分母，就可将分式中的四个常数化为三个常数的四个常数化为三个常数. 所以实际上只有三个独立的所以实际上只有三个独立的常数常数. 因此只须给定三个条件，就能决定一个分式线性因此只须给定三个条件，就能决定一个分式线性映射映射. 我们有我们有azbwczd, , ,a b c d 定理定理. 在在 平面上任意

27、给定三个相异的点平面上任意给定三个相异的点 , 在在 平面上也任意给定三个相异的点平面上也任意给定三个相异的点 , 那么那么就存在唯一的分式线性映射，将就存在唯一的分式线性映射，将 依次映依次映射成射成 .z123,z z zw123,w w w(1,2,3)kz k (1,2,3)kw k 证：证：设设 ，将，将 依依次映射成次映射成 ，即，即(0)azbwadbcczd(1,2,3)kz k (1,2,3)kw k kkkazbwczd131131232232:wwwwzzzzwwwwzzzz因此得因此得 ， 这就是所求的分式线性映射，同时，也证明了它的这就是所求的分式线性映射，同时，也证

28、明了它的唯一性唯一性.()()(1,2)()()kkkzzadbcwwkczd czd333()()()()kkkzzadbcwwczdzd因而有因而有及及 等式左、右两边称为交比等式左、右两边称为交比. 因此，可以看出在分式线性函数所确定的映射下因此，可以看出在分式线性函数所确定的映射下,交比不变交比不变.4 几个重要的分式线性映射几个重要的分式线性映射 1将上半平面将上半平面 映射成单位圆映射成单位圆 的分式的分式线性映射线性映射.Im0z | 1w 设设 因此因此 ； 于是于是 azbwczd0,baba 0,dcdc bzaa zawdcc zzcIm0| 1,zw0zw 当当 时，时

29、， ， 所以所以 （ 为一实数）为一实数） 即即 .0z | 1w | 1,iaaeccizwez2将单位圆将单位圆 映射为映射为 的分式线性映射的分式线性映射.| 1z | 1w 设设 是这个分式线性变换是这个分式线性变换azbwczd| 1| 1,zw 0zw1,zw 0cb于是于是11azzwkczzakc 3将圆盘将圆盘 映射成圆盘映射成圆盘 .| zr|wR2zwkrz2zwkzr22| | |1|1|zr zkzRwkkzrzrzrz|,kRr为所求为所求.2zwRrzr所以所以1 | |11zzwkkzzz|1zzzkkz1izwez为所求为所求.所以所以 例例1. 求出上半平面

30、求出上半平面 到圆盘到圆盘 的分式线的分式线性映射性映射 ，使得，使得 求出求出 的值的值.Im0z |wk( )wf z( )0,( )1.f if iR 解：解：设设 ，则复合函数，则复合函数 将将 映射成映射成 ，且，且1wwR11( )( )wg zf zRIm0z 1| 1w 1( )0,( )g ig iR1( )iziwg zezi 再由条件再由条件 ，得，得1( )g iR21( )()2iiz izieeg iRzii 从而从而 ，于是，于是2,2R( )2ziwf zizi 例例2. 设分式线性映射设分式线性映射 将圆将圆 映射成映射成右半平面右半平面 ，并满足，并满足 ，

31、试，试求该映射求该映射 .( )wf z| 2z Re0w(0)1, arg(0)2ff( )wf z 解：解：考虑考虑 的逆映射的逆映射 ，它也是一，它也是一个分式线性映射个分式线性映射, 而而 与与 关于关于 对称，对称， 与与 关于关于 对称对称. 由保对称性，有由保对称性，有 ，于是，于是( )wf z1( )zfw1(1)0,1fw1w Re0w0z z | 2z 1( 1)f 121( )21izfwki 令令 , 注意到注意到 将将 映射成映射成 , 则当则当 时时, 有有即即 或或wuiv1( )zfwRe0w| 2z wiv12|1ivkkiv12,21iiwkezew2(

32、)2iizewf zze 从而由从而由 得得 ，故，故arg(0)arg2ife2 为所求为所求.22ziwzi 5 几个初等函数所构成的映射几个初等函数所构成的映射1幂函数幂函数 （ 自然数）自然数）nwz2n 在原点不保角在原点不保角. 特点是：把以原点为顶点的角形域映射成以特点是：把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域，但张角变成了原来的倍原点为顶点的角形域，但张角变成了原来的倍 .n 例例1. 将圆将圆 和圆和圆 的公共中分保的公共中分保形地映射为单位圆盘形地映射为单位圆盘.|1|2z |1|2z 图图 6.6 1iizwz1w (b) 2w 3i421wew(c) 232ww3w(d) 01w33iiwww(e) (a) z xy11ii 故故 为所