南通市2016届高三第一次调研测试(含答案)

1、南通市2016届高三第一次调研测试数学参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1 已知集合，则 【答案】2 若复数(为虚数单位，)满足，则的值为 【答案】3 从这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是 【答案】4 根据下图所示的伪代码，可知输出的结果为 【答案】145 为了了解居民家庭网上购物消费情况，某地区调查了10000户家庭的月消费金额（单位：元），所有数据均在区间上，其频率分布直方图如下图所示，则被调查的10000户家庭中，有 户月消费额在1000元以下消费/元3000250020001500100050

2、0O4500400035000.000050.00050.00040.00030.00020.0001（第5题）【答案】750While End WhilePrint S（第4题）6 设等比数列的前n项和为若，则的值为 【答案】637 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线过点P，其一条渐近线方程为，则该双曲线的方程为 【答案】8 已知正方体的棱长为1，点是棱的中点，则三棱锥的体积为 【答案】9 若函数()为奇函数，则的值为 【答案】10已知，则的值为 【答案】11在平面直角坐标系xOy中，点若直线上存在点使得 ，则实数m的取值范围是 【答案】12已知边长为6的正三角形，与交于点P，则的 值为

3、【答案】13在平面直角坐标系xOy中，直线l与曲线和均相切，切点分别为 和，则的值为 【答案】14已知函数若对于任意，都有成立，则的最大值是 【答案】二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(本小题满分14分)在ABC中，角所对的边分别为，（1）求角C的大小； （2）若，求ABC的面积【解】（1）在ABC中，由(a+bc)(a+b+c)ab，得，即cosC3分 因为0C，所以C6分 （2）（法一）因为c2acosB，由正弦定理，得 sinC2sinAcosB， 8分 因为A+B+C，所以sinCsin(A+B)， 所以sin(

4、A+B)2sinAcosB，即sinAcos BcosAsinB0，即sin(AB)0， 10分 又AB， 所以AB0，即AB，所以ab212分 所以ABC的面积为SABCabsinC×2×2×sin 14分（法二）由及余弦定理，得，8分化简得，12分 所以，ABC的面积为SABCabsinC×2×2×sin14分16(本小题满分14分)（第16题）C1D1ABCDA1B1EF如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，点E是A1C1的中点求证：（1）BEAC； （2）BE平面ACD1【证明】（1）在直四棱柱ABC

5、DA1B1C1D1中， 连结BD交AC于点F，连结B1D1交A1C1于点E 因为四边形ABCD是菱形，所以BDAC 因为ABCDA1B1C1D1为直棱柱， 所以BB1平面ABCD，又AC平面ABCD， 所以，BB1AC3分 又BDBB1B，BD平面B1BDD1，BB1平面B1BDD1， 所以AC平面B1BDD1 5分 而BE平面B1BDD1，所以BEAC 7分 （通过证明等腰三角形A1BC1，得BEA1C1，再由ACA1C1得BEAC，可得7分） （2）连结D1F，因为四棱柱ABCDA1B1C1D1为直棱柱， 所以四边形B1BDD1为矩形 又E，F分别是B1D1，BD的中点， 所以BFD1E，

6、且BFD1E9分 所以四边形BED1F是平行四边形 所以BED1F11分 又D1F平面ACD1，BE平面ACD1， 所以 BE平面ACD1 14分17(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆过点A(2，1)，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相交于B，C两点(异于点A)，线段BC被y轴平分，且（第17题） ，求直线l的方程【解】（1）由条件知椭圆离心率为 ， 所以 又点A(2，1)在椭圆上， 所以，2分 解得 所以，所求椭圆的方程为 4分 （2）将代入椭圆方程，得， 整理，得 由线段BC被y轴平分，得， 因为，所以 8分 因为当时，关于原点对称，设， 由方程，得

7、， 又因为，A(2，1)， 所以， 所以12分 由于时，直线过点A(2，1)，故不符合题设 所以，此时直线l的方程为 14分18(本小题满分16分)如图，阴影部分为古建筑物保护群所在地，其形状是以O1为圆心，半径为1 km的半圆面公路l经过点O，且与直径OA垂直现计划修建一条与半圆相切的公路PQ（点P在直径OA的延长线上，点Q在公路l上），T为切点（1）按下列要求建立函数关系： 设OPQ=(rad)，将OPQ的面积S表示为的函数； 设OQ = t (km)，将OPQ的面积S表示为t的函数（2）请你选用（1）中的一个函数关系，求OPQ的面积S的最小值（第18题）【解】（1）由题设知，在RtO1P

8、T中， OPT=，O1T=1， 所以O1P 又OO1=1，所以OP 在RtOPQ中， 3分 所以，RtOPQ的面积为 5分（取值范围不写或不正确扣1分） 由题设知，OQ= QT = t，O1T=1，且RtPOQRtPT O1， 所以，即， 化简，得8分 所以，RtOPQ的面积为 10分（取值范围不写或不正确扣1分） （2）选用（1）中的函数关系 13分 由，得 列表0+极小值 所以，当时，OPQ的面积S的最小值为（km2）16分 （2）选用（1）中的函数关系 13分 由，得 列表t0+极小值 所以，当时，OPQ的面积S的最小值为（km2） 16分19(本小题满分16分)已知函数（1）求的单调区

9、间；（2）试求的零点个数，并证明你的结论【解】（1）由函数f(x)a+lnx(aR)，得f (x) 2分 令f (x)0，得 xe-2列表如下：x(0，e-2)e-2(e-2，+)f (x)0f(x)极小值 因此，函数f(x)的单调增区间为(e-2，+)，单调减区间为(0，e-2)5分 （2）由（1）可知，fmin(x)f(e-2)a2e-1 6分 （i）当a2e-1时，由f(x)f(e-2)a2e-10，得函数f(x)的零点个数为0 8分 （ii）当a2e-1时，因f(x)在(e-2，+)上是单调增，在(0，e-2)上单调减， 故x(0，e-2)(e-2，+)时，f(x)f(e-2)0 此时

10、，函数f(x)的零点个数为1 10分 （iii）当a2e-1时，fmin(x)f(e-2)a2e-10 a0时， 因为当x(0，e-2时，f(x)alnxa0， 所以，函数f(x)在区间(0，e-2上无零点； 另一方面，因为f(x)在e-2，+)单调递增，且f(e-2)a2e-10， 又e-2a(e-2，+)，且f(e-2a)a(12e-a)0， 此时，函数f(x)在(e-2，+)上有且只有一个零点 所以，当a0时，函数f(x)零点个数为113分 0a2e-1时， 因为f(x)在e-2，+)上单调递增，且f(1)a0，f(e-2)a2e-10， 所以，函数f(x)在区间(e-2，+)有且只有1

11、个零点； 另一方面，因为f(x)在(0，e-2上是单调递减，且f(e-2)a2e-10 又(0，e-2)，且f()aa0，（当时，成立） 此时，函数f(x)在(0，e-2)上有且只有1个零点 所以，当0a2e-1时，函数f(x)零点个数为2 综上所述，当a2e-1时，f(x)的零点个数为0；当a2e-1，或a0时，f(x)的零点个数为1； 当0a2e-1时，f(x)的零点个数为2 16分20(本小题满分16分)若数列an中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称an为“等比源数列”（1）已知数列an中，a1 =2，an+1 =2an1 求an的通项公式； 试判断an是否为“等比源数列”，并证

12、明你的结论（2）已知数列an为等差数列，且a10，anZ 求证：an为“等比源数列”【解】（1）由an+12an1，得an+112(an1)，且a111， 所以数列an1是首项为1，公比为2的等比数列2分 所以an1=2n-1 所以，数列an的通项公式为a n2n-1+14分 数列an不是“等比源数列”用反证法证明如下： 假设数列an是“等比源数列”，则存在三项am，an，ak (mnk)按一定次序排列构成等比数列 因为an2n-1+1，所以amanak 7分 所以an2am·ak，得 (2n-1+1)2(2m-1+1)(2k-1+1)，即22n-m-1+2n-m+12k-12k-m

13、1 又mnk，m，n，kN*， 所以2nm11，nm+11，k11，km1 所以22n-m-1+2n-m+12k-12k-m为偶数，与22n-m-1+2n-m+12k-12k-m1矛盾 所以，数列an中不存在任何三项，按一定次序排列构成等比数列 综上可得，数列an不是“等比源数列” 10分 （2）不妨设等差数列an的公差d0 当d0时，等差数列an为非零常数数列，数列an为“等比源数列” 当d0时，因为anZ，则d1，且dZ，所以数列an中必有一项am0 为了使得an为“等比源数列”， 只需要an中存在第n项，第k项(mnk)，使得an2amak成立， 即am+(nm)d2amam+(km)d

14、，即(nm)2am+(nm)dam(km)成立13分 当nam+m，k2am+amd+m时，上式成立所以an中存在am，an，ak成等比数列 所以，数列an为“等比源数列”16分数学（附加题）参考答案及评分建议 21. 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，圆的直径，为圆上一点，过作圆的切线，于点，且交圆于点，求的长（第21_A题）【解】因为圆的直径为，为圆上一点， 所以 因为直线为圆的切线， 所以 所以RtRt， 所以5分 又因为

15、， 所以， 由，得 10分B选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵，求逆矩阵的特征值【解】设，则， 所以， 所以解得所以 5分 的特征多项式，所以或 所以，矩阵的逆矩阵的特征值为或10分C选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，已知点，圆的方程为(圆心为点)，求直线的极坐标方程【解法一】以极点为原点，极轴所在直线为轴建立平面直角坐标系xOy 圆的平面直角坐标方程为，即，圆心 的直角坐标为4分 直线的斜率 所以，直线的直角坐标方程为，8分 极坐标方程为，即10分【解法二】在直线上任取一点，不妨设点M在线段AC上 由于圆心为，4分 所以， 即 化简，得直线的极坐标方程为 10分D选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知，求证：【证明】 2分 4分 8分 又，所以，即 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 如图，在四棱锥中，底面为矩形， 平面， ， 是棱上一点，且（1）求直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的余弦值【解】（1）如图，分别以为轴建立空间直角坐标系 则 设，由，得，（第22题）xyz ，点坐标为 ，2分 设直线与所成的角为， 则4分 （2）设平面的一个法向量为， 所以 令，则，6分 设平面的一个法向量为