地震反应分析

1、结构地震反应分析 结构地震反应分析的主要工作是首先将结构简化成力学分析模型，然后输入地震作用，计算模拟结构的反应行为，包括内力和变形反应时程或最大值。其目的是为结构抗震设计提供必要的数据资料；或为抗震安全鉴定和拟定抗震加固方案提供参考依据；或为研究结构破坏机理提供基本手段，从而改善设计，提高结构的抗震性能。 结构地震反应取决于地震动输入特性和结构特性。随着人们对地震动特性和结构特性的了解越来越多，特别是技术手段越来越先进，结构地震反应分析方法也跟着有了飞跃的发展。 结构抗震分析方法的发展大体上可分为三个阶段，即静力法、拟静力法（通常指反应谱方法）和动力法阶段。静力法是20世纪初首先在日本发展起

2、来的。该方法将结构物看成是刚体，并刚接于地面。这样，结构在最大水平加速度绝对值为的地面运动激励下，受到的最大水平作用力（即最大惯性力）为其中，是结构物的重量，是地面最大水平加速度绝对值与重力加速度之比，称为地震系数。 在当时人们对地面运动的频谱和卓越周期的了解还不够多，以及房屋多为低层建筑的情况下，应用上述地震荷载计算公式于抗震设计还是可以的。但是，随着地震资料的积累和城市与工业建设的发展，使人们认识到作为静力法基础的刚性结构假定已明显地远离实际情况，于是考虑结构物的弹性性质、阻尼性质及相应动力特性的反应谱方法便发展起来了。 反应谱方法出现在20世纪40年代。美国的一些学者在取得了一部分强震地

3、面运动记录之后，考虑地震动特性与结构动力特性共同对结构地震反应产生决定性影响的这一事实，提出了反应谱概念和相应的设计计算方法。这一方法有动力法的内容，却具静力法的形式，故可称之为拟静力法。该方法对结构地震反应分析产生巨大影响，至今仍是结构抗震设计的主要计算方法。 尽管反应谱方法取得的进步是实质性的，但它的应用还是受到一些限制，如原则上只能用于线性结构体系；不能真实反映复杂结构体系的动力放大作用。因此，随着重大工程的不断兴建和计算机技术的飞速发展，20世纪70年代，结构地震时程反应分析得到全面发展。相对于反应谱方法而言，时程反应分析是一种动力分析方法，它求取的不是结构的某种最大反应或其近似估计，

4、而是结构在地震激励下的反应时间历程，即地震与结构相互作用的过程，其结果更为可靠。另外，时程反应分析可以真正处理非线性问题，这是结构地震反应分析一个非常重要的方面。随计算机和有限元技术的发展，结构分析模型也经历了一个由极其简化到相对较少简化的过程。以前大家熟悉的一些简化分析模型，如剪切模型，考虑梁变形作用的D值法以及框架剪力墙协同工作体系模型等，在当前的研究与设计中已很少使用，取而代之的是三维空间有限元分析模型。目前，各种大型有限元程序为结构地震反应分析提供了强有力的工具。应用这些程序，结构弹性地震反应分析已不存在问题，无论多么复杂的结构体系，只要计算模型简化的合理都能得到满足一定工程精度要求的

5、结果。结构弹塑性地震反应性态极其复杂，尽管经科研人员数十年的努力，发展了一些分析方法，但仅较规则的结构二维弹塑性分析可以取得基本令人满意结果，量大面广的复杂结构的分析方法至今未能很好解决，它是今后有关科研人员需要重点解决的课题。弹塑性地震反应可以分为静力弹塑性反应分析和动力时程反应分析。静力弹塑性地震反应分析一般指近年为满足性态抗震设计而发展的pushover分析方法，该方法的主要步骤是首先将地震荷载等效成某种分布形式的静力荷载，用静力弹塑性分析方法求得结构的基底剪力与位移关系曲线，即结构能力曲线，然后将结构等效成单自由度体系并将结构的能力曲线和地震输入谱曲线转换成相同坐标格式，根据两曲线的交

6、点确定结构位移反应。研究表明这一分析方法在分析中低层剪切型结构时，可以提供较满意的弹塑性位移反应估计结果，而分析高层结构时，则误差较大，基本不适用高层结构地震反应分析。估计结构的弹塑性地震反应行为，较准确、可靠的方法无疑是弹塑性时程反应分析方法。但目前仅二维分析方法发展的较为成熟，并在研究中得到广泛应用，问题是大部分实际需要进行弹塑性分析的结构形式均较为复杂，难以简化成合理的二维分析模型，如勉强进行二维分析模型简化，必将导致分析结果的较大误差。结构三维弹塑性地震反应分析一直是结构抗震分析中有待解决的难题。主要困难是如果以构件作为单元，则构件三维受力状态下的恢复力模型难以确定；如果采用较精细的非

7、线性有限元模型，则依然存在构件三维受力状态下的本构关系难以确定问题，且计算量也难以接受。尽管如此，有关科研人员还是在努力探索，不断提出一些新的模型和计算方法，使结构三维弹塑性地震反应分析中存在的问题逐步得到解决。结构动力反应分析 结构动力分析是计算分析结构在动荷载作用下的变形和内力，校核结构是否满足指定安全要求，它是结构工程领域的重要环节。动荷载是指随时间而改变的荷载。同样，动荷载作用下结构的反应（内力及变形）也是随时间而改变的。结构动力反应分析主要内容涉及建立计算分析模型和体系运动方程，确定结构特性参数，选择合理的方法进行运动方程求解等。分析方法可分为两大类：确定性分析方法和不确定性即随机反

8、应分析方法。选取哪种分析方法取决于荷载和结构参数是否可以给定，如果它们完全是已知的，则采用确定性分析方法，如它们并不完全已知，但可从统计意义上定义，则一般采用随机反应分析方法。从荷载大小和结构是否进入弹塑性状态角度考虑，分析方法可进一步分为弹性反应分析和弹塑性反应分析。前者假定在动荷载作用下，结构始终处于初始弹性状态。后者则要考虑随时间荷载的作用，结构参数不断改变情况下的反应。在地震反应分析中，分析方法还可以分为静力法、反应谱方法和时程分析方法。早期采用的静力法非常简单，即结构承受的侧向地震力等于结构质量乘以地面运动峰值加速度。反应谱方法是首先将结构进行振型分解，然后根据指定的地震反应谱确定每

9、个振型的反应，最后将这些叠加求出结构总体反应。反应谱方法是一种伪动力方法，它没有考虑结构随时间的动力反应过程，但是考虑了结构动力特性对其反应的影响。时程分析方法则完全是求解结构的振动反应过程。运动方程 结构动力反应分析的目的是计算结构在给定随时间变化荷载作用下的变形和内力的反应过程。我们知道，一个结构具有无限多个变形自由度，但在大多数情况下，应用包含有限个自由度的近似分析方法，就足够精确了。这样，问题就变为求出这些所选定的有限个变形分量的时间过程。描述动力变形的数学表达式称为结构的运动方程，而这些运动方程的解就提供了所求的变形过程。建立动力体系的运动方程常用三种方法，即直接平衡法、虚位移原理方

10、法和哈密尔顿原理方法。动力体系的运动方程可用上述三种不同方法中的任一种来建立最简单明了的方法是采用直接平衡法建立作用于体系上全部力（包括惯性力）的动力平衡方程，但对于更复杂的体系，特别是对那些质量和弹性只在有限区域是分布的体系，直接的矢量平衡可能是困难的，而应用仅包含功和能等标量来建立方程式的方法则更为方便，其中最直接的就是基于虚位移原理的方法。在这种方法中，首先计算作用于体系上的力，然后由它们在相应的虚位移上所作的功来导出运动方程。哈密尔顿原理是利用能量来建立运动方程，它不直接利用作用于体系内的惯性力或保守力，而是采用体系的动能和位能的变分来替代这些力的作用。上述三种方法是完全相等的，采用哪

11、种方法取决于是否方便和个人的喜爱以及动力体系的性质。直接平衡法 任何动力体系的运动方程都可以用牛顿第二运动定律表示：即任何质量的动量变化率等于作用在这个质量上的力。这个关系在数学上可用微分方程来表达： （1）其中为作用力矢量，为质量的位置矢量对于大多数的结构动力学问题，可以假设质量是不随时间变化，这时方程（1）可改写作 （2）它表示力为质量与加速度的乘积，(2)式也可改写为： （3）此时第二项被称为抵抗质量加速度的惯性力。 质量所产生的惯性力与它的加速度成正比，但方向相反。这个概念称作为dAlembert原理。由于它可以把运动方程表示为动力平衡方程，因而是结构动力学问题中一个很方便的方法。可以

12、认为，力包括许多种作用于质量上的力：抵抗位移的弹性约束力，抵抗速度的粘滞力，以及独立确定的外荷载。因此，如果引人抵抗加速度的惯性力，则运动方程的表达式仅仅是作用于质量上所有力的平衡表达式。在许多简单问题中，最直接而且方便的建立运动方程的方法就是直接平衡法。虚位移原理 如果结构体系相当复杂，而且包含许多彼此联系的质量点或有限尺寸的质量块，则直接写出作用于体系上所有力的平衡方程可能是困难的。通常所包含的各式各样的力可以容易地用位移自由度来表示，而它们的平衡规律则可能是不清楚的。此时，虚位移原理就可用来代替平衡规律建立运动方程。虚位移原理可阐述如下：如果一个平衡的体系在一组力的作用下承受一个虚位移，

13、即体系约束所允许的任何微小位移，则这些力所作的总功将等于零按这个原理，很明显，虚位移时所作的功为零是和平衡等价的。因此，在建立动力体系的反应方程时，首先要搞清作用于体系质量上的所有的力，包括按照dAlembert原理所定义的惯性力，然后引入相应于每个自由度的虚位移，并使所作的功等于零，这样就可以导出运动方程。这个方法的主要优点是：虚功为标量，可以按代数方式相加，而作用于结构上的力为矢量，只能按矢量叠加。利用虚位移原理建立运动方程的简单实例见单自由度体系运动方程。哈密尔顿原理 避免建立平衡矢量方程的另一个方法是使用以变分形式表示的能量（标量）的方法。通常最广泛应用的变分概念为哈密尔顿（Hamil

14、ton）原理。此原理可表达为 （1）其中： 体系的总动能； 体系的位能，包括应变能及任何保守外力的势能； 作用于体系上的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）所作的功； 在指定时间区间内所取的变分。 哈密尔顿原理说明在任何时间区间到内，动能和位能的变分加上所考虑的非保守力所作的功的变分必须等于零。这个原理的应用直接导出任何给定体系的运动方程。这个方法和虚功方法的不同在于：在这个方法中，不明显使用惯性力和弹性力，而分别被动能和位能的变分项所代替。因此，这种建立方程的方法的优点是，它只和纯粹的标量能量有关，而在虚功分析中，尽管功的本身是标量，但被用来计算功的力和位移却都是矢量。 哈密尔顿原理也可用于静

15、力问题。此时，动能项消失，而方程(4)的积分中剩余的项是不随时间变化的，于是方程简化为 (2)这就是广泛应用在静力分析中著名的最小位能原理。利用哈密尔顿原理建立运动方程的简单实例见单自由度体系运动方程。单自由度体系运动方程 一个理想化单自由度运动体系如图1所示。图1 理想化单自由度运动体系（a）基本元件； （b）平衡力系(b)(a)xx图中：弹性刚度，质量，阻尼系数，外力，位移坐标，惯性力（-加速度），弹性恢复力，阻尼力（假设粘滞阻尼， -速度）。 采用直接平衡法来建立运动方程。如图1b所示，根据力的平衡可以得到： （1）即 （2）公式（2）即为单自由度体系运动方程。再采用虚位移原理来建立此单

16、自由度体系的运动方程。假设给图1b所示体系一个虚位移（仅仅是体系约束所允许的微小位移），则每个力都将做功，体系所作的总功可写作 （3）式中的负号是由于力的方向和虚位移方向相反，将各种力的表达式代入方程（3），并提取公因子，可以得到 （4）因为不等于零，所以可以得到同式（2）一样的方程。继续利用哈密尔顿原理来推导这个体系的运动方程。根据定义，体系的动能为，而仅由弹簧的应变能表达的位能为，该体系的非保守力为阻尼力和外荷载，这些力所做功的变分为，将以上各式代入哈密尔顿原理的表达式，并经相应的变分和整理后可得 （5）上式中的第一项可以进行如下的分部积分： （6）式中利用了关系。因为在哈密尔顿原理中假定

17、变分在积分限和时为零，所以方程（6）右边第一项为零，将方程（6）代回方程（5），结果为 （7）因变分的任意性，所以必须括号内的表达式等于零时才能使方程始终得以满足。这样就得到了同样的单自由度体系运动方程。当受到地震作用时，不仅需要考虑体系相对地面的加速度，还要考虑地面的加速度，因此，惯性力。这时只需将移到方程的右端作为一种特殊的外荷载处理即可。如果p(t)=0，式（2）则成为单自由度体系自由振动方程： （8）式中：，称为阻尼比；，称为圆频率，是表示体系自振特性的一个参数。运动方程（8）的解为： （9）式中：和分别代表体系的初始速度和初始位移；，称为阻尼振动圆频率。式（4）表示在初始扰动下，体系

18、随时间变化逐渐衰减的振动过程。体系在外力作用下的运动特性可以通过假设图1所示体系承受幅值、圆频率为的简谐荷载作用下的运动微分方程求解来加以说明，此时运动方程为： （10）该方程的解由通解和特解两部分组成： （11） （12） 式中是荷载频率固有自振频率之比。方程（10）的通解表示对所作用荷载的瞬态反应，常数A和B可由给定的初始条件算出，由于阻尼使此项很快消失，因此一般不予考虑。方程（10）的特解为作用荷载同频率而不同相位的稳态反应。多自由度体系运动方程 图1 梁式结构的离散化u2(t)ui(t)uN(t)u1(t) 采用直接平衡法和图1所示的普通简支梁作为典型例子来说明多自由度体系的运动方程是

19、如何建立的，这种方法对任何一种结构类型都同样适用。假定这个结构的运动由梁上一系列离散点的位移， 所确定。结构上的这些点可以任意设置，所考虑的自由度（位移分量）数目取决于分析者，当然取较多时能更好地逼近结构真实的动力行为。本例中梁上每一个节点只取一个位移分量。然而，应该指出每一个节点也可以取几个位移分量，例如，可以取转角和水平向位移等。针对体系的每一个自由度列出实际作用力的平衡方程就能写出图1所示体系的运动方程。一般说来在任意一点上，包含有四种力：外荷载、由于运动而产生的力（即惯性力）、阻尼力和弹性力。这样，对于多自由度体系中的每一个自由度，动力平衡条件可写成 （1）当力向量用矩阵形式表示时，亦

20、可写成 （2）这就是多自由度体系的运动方程。每一种抗力可以非常方便地用一组适当的影响系数来表示。例如，考虑在节点1上产生的弹性力分量，这个量一般依赖于结构所有节点产生的位移分量： （3a）同样地，对应于自申度的弹性力是 （3b）写成一般形式， （3c）系数称为刚度系数，定义为：由坐标单位位移所引起的对应于坐标的力。用矩阵形式表达，弹性力与位移的关系为 (4)用符号表示： (5)刚度系数矩阵k称为结构的刚度矩阵（针对指定的一组位移坐标），u是表示结构变形形状的位移向量。若假定阻尼与速度有关，即粘滞阻尼，则与所选择的自由度对应的阻尼力就可以按同样的方式用阻尼系数表示。类似于公式（4）和（5），阻尼

21、力与各点位移坐标的速度的关系为： （6）这里为速度向量，向量中的表示点位移坐标的时间变化率（速度），c为阻尼矩阵，矩阵中的称作阻尼影响系数，定义为：=由坐标单位速度所引起的对应于坐标的力。惯性力也可用一组影响系数表示，它们表示相应自由度的加速度与其产生的惯性力之间的关系。类似于式（4）和（5），惯性力可表达成 （7）其中为加速度向量，向量中的表示点位移坐标的加速度，m是质量矩阵,矩阵中的称为质量系数,定义为：由坐标的单位加速度所引起的对应于坐标的力。将式（5）,(6)和（7）代入式（2），可给出结构完整的动力平衡方程： （8）这就是用以求解多自由度体系反应的运动方程。 当受到地震作用时，类似于

22、单自由度体系，此时（I为单位列向量），将移到式（8）的右端即得到体系在地震作用下的运动方程。刚度矩阵 刚度矩阵k由刚度系数组成，定义为：=由坐标单位位移所引起的对应于坐标的力。原则上，与任何一组指定的节点位移相关的刚度系数都可直接应用它们的定义求得。然而，实际应用中基本上都是采用有限元方法来计算刚度矩阵，因它非常简便直观。其步骤是首先将结构分割成只在有限个接点处相互连接的离散单元体系，然后计算单个单元特性，最后适当地组合形成结构总刚度矩阵。这样，确定结构刚度特性的问题基本上可简化为单元刚度计算问题。单元刚度矩阵可以根据假定的单元内部变形插值函数和虚功原理求出。下面以图1所示二维弯曲梁单元为例简

23、单说明如何建立单元刚度矩阵。u2u1lx12u12图1 梁单元当u1发生单位位移而同时其它三个自由度为约束时，梁的挠曲线可用多项式函数表示为： (1a)与此类似，当1、u2和2分别发生单位变形时，相应的梁的挠曲线可表示为： （1b） (1c) (1d)称为插值函数或形函数。这样，单元的挠曲形状就可以用它的结点位移表示成： (2)梁的应变能是 （3）根据虚功原理可以求出单元刚度矩阵中的各个刚度系数 （4）由式（4）可以推出二维等截面弯曲梁的单元刚度矩阵为： （20）以上只是介绍了最主要步骤，欲知具体推导过程可参见相关有限元方法书籍。建立单元刚度矩阵后，采用有限元规定的组装方法即可建立结构总体刚度

24、矩阵。质量矩阵 结构动力分析时需要考虑所有因振动而产生惯性力的质量。这些质量一般以质量矩阵表示。质量矩阵可分为集中质量矩阵和一致质量矩阵。集中质量矩阵是假定全部质量积聚在某些需要计算平动位移的结点上。采用静力学方法将单元质量等效到单元的各个节点上，结构任意节点积聚的总质量等于与该节点连接的各单元分配给此节点的质量之和，当然还要加上用同样方法等效到该节点的外部荷载质量。这样形成的质量矩阵具有对角形式，即矩阵中只有对角线上有值，对角线以外值均为零。一致质量矩阵是指根据有限元原理推导出的质量矩阵。质量矩阵中的元素定义是：由坐标的单位加速度所引起的对应于坐标的力。其形成过程同刚度矩阵一样也是先形成单元

25、质量矩阵，然后再组装成总质量矩阵。单元质量矩阵的建立亦类似于单元刚度矩阵，具体可参见刚度矩阵辞条中弯曲梁单元刚度矩阵的形成过程。采用类似方法，可得到弯曲梁单元的质量系数 （1）这里，是插值函数。事实上，式（1）适用于任何一种单元，只不过不同的单元要选用不同的插值函数和积分区域而已。集中质量矩阵非常简便，且大量计算结果表明具有较好的计算精度，因此，实际结构分析中较多采用这种质量矩阵。阻尼矩阵 如果作用在结构上的各种阻尼力能够定量确定的话，那么有限元方法类似于在刚度矩阵辞条中介绍的刚度矩阵确定方法那样可以再一次用来确定体系的阻尼矩阵。这样可以得到单元的阻尼系数为 (1)其中表示分布的粘滞阻尼特性，

26、是插值函数，不同的单元采用不同的插值函数和相应的积分域即能够得到单元阻尼矩阵。然而阻尼特性（或其它任何特殊的阻尼特性）实际上是算不出来的。因此常常根据类似结构实验方法所确定的阻尼比来表示阻尼，而不是用一个显式的阻尼矩阵c。当实际动力分析中需要显示阻尼矩阵时，常常采用瑞利阻尼矩阵或比例阻尼矩阵。瑞利阻尼矩阵 瑞利阻尼假设阻尼矩阵是结构质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，即 （1）式中和为比例常数。根据振型正交条件，和与第阶振型阻尼比之间应满足关系 （2）指定结构的两个自振频率和以及相应的阻尼比和，可由式（2）求出 （4） （5）瑞利阻尼在两个指定振型内，阻尼比小于或等于指定阻尼，其他振型阻尼比随频率增

27、高或减小不断增大，这样就削弱了这些振型对结构反应的影响，见图1所示。比例阻尼矩阵假定，称为刚度比例阻尼矩阵，由瑞利阻尼矩阵中方程（2）可以得到，当用第一振型的阻尼比确定后，则其它振型越高阻尼比越大，因此该模型限制了高阶振型对结构反应的影响。假定，称为质量比例阻尼，由瑞利阻尼矩阵中方程（2）可以得到，若用第一振型的阻尼比确定后，则与刚度比例阻尼相反，振型越高阻尼比越小，因此该模型突出了高阶振型对结构反应的贡献。自振特性 每个结构都有自己的振动特性，该特性以自振频率（或自振周期）和振型表示，它们可以通过振动测量方法或计算分析方法得到。结构振动具有周期性，振动一个来回所需的时间称为振动周期，以T来表

28、示，单位为秒。每秒内振动的次数称为振动频率，单位为赫兹。另一个参数是圆频率，单位为弧度/秒，通常亦可简称为自振频率。三者之间的关系是：T=。单自由度体系的自振频率为 （1）其中，-弹性刚度，-质量。多自由度体系的自振频率和振型可以通过其运动方程 （见多自由度体系运动方程）求得。在上式中令，另外因阻尼对结构自振特性影响不大，因此可进一步忽略阻尼力，这样可得到运动方程如下： （2）设结构作简谐运动，将其代入式（2），可得到齐次方程 （3）因自由振动振幅不全为零，所以上式括号内矩阵的行列式之值必须等于零，由此得到结构自振频率方程： （4）结构的刚度矩阵和质量矩阵都是阶方阵，其中是节点自由度的数目，所

29、以式（4）是关于的次代数方程，由此可以求出结构的个自振频率。对于结构的第个自振频率，由式（3）可确定一组振幅值，中各点幅值应保持固定比例，但绝对值可以任意变化，它们构成一个向量，称为特征向量，工程上通常称为结构的振型。 运动方程求解方法 运动方程求解方法可以分为解析方法和数值方法。单自由度体系在简单荷载作用下可以采用解析方法求解，其它情况下均采用数值方法进行求解。数值方法包括适用于线性方程的傅氏变换法和振型叠加法，以及线性与非线性都适用的逐步积分法。傅氏变换法是频域求解方法，而振型叠加法和逐步积分法均是时域求解方法。 杜哈梅积分 杜哈梅提出了一种计算一般动力荷载作用下结构反应的分析方法。为了说

30、明该方法，考虑图1所示任意荷载。若在时刻的荷载强度为，在一短时间间隔范围内作用的这个荷载，将在结构上产生一个短持续时间的冲量。作用在质量上的冲量产生的速度变化，可以用牛顿运动定律来确定，即，从而有。可以看到短时冲量引起物体一个速度增量。可以把这个速度增量看作在时间时物体的初始速度进行运动方程求解。t反应 图1杜哈梅积分推导示意图对于单自由度无阻尼自由振动体系，运动方程得解为 （1）令时刻的初始速度，初始位移，这样在稍后的某一时间时产生的位移为 (2)上式中，表示在的整个反应时程范围内微分冲击荷载的微分反应，它不是时间间隔内的变化。整个荷载时程可以看作由一系列连续的短脉冲所组成，每个脉冲将产生一

31、个如方程（2）所示的微分反应，对于弹性体系而言，总反应是荷载时程所产生的全部微分反应之和，即 （3）式（3）即为无阻尼体系的杜哈梅积分。类似方法推导，可得到有阻尼体系的杜哈梅积分如下： （4）如果积分较为简单，可直接解析求解体系反应，否则可采用数值方法求解。 傅氏变换法 将整个运动方程变换到频域求解称为频域方法。在频域求解方法中，最广泛应用的是傅氏变换法。 以单自由度系统为例来说明傅氏变换方法。单自由度系统运动方程为，当体系是在地震动激励时，。首先，从数学上可知关于时间函数的傅里叶变换对是 和 由此对于单自由度体系可写下 其中，和分别是和的傅氏变换。将它们代入单自由度体系运动方程，可得到 （1

32、）由于对于任意时刻，式（1）成立，必有 （2）记 （3）得到频域解 （4）称为位移位移传递函数。得到后，经傅氏反变换便可得到时域解，这就是傅氏变换法的基本原理。当采用地面运动加速度记录和相应的加速度傅氏谱作为输入时，则记 以同样的步骤可以得到 （5）其中，是加速度位移传递函数，简称位移传递函数。同样方法可以得到多自由度体系位移反应的傅氏变换 （6）称为位移传递函数矩阵。实际地震反应分析中，因地面运动加速度时程是以离散形式给出，所以傅氏变换和逆变换均是采用离散快速傅里叶变换（FFT）方法进行计算的。振型叠加法 振型叠加法是求解多自由度线形系统运动方程有效手段之一。其基本原理是利用系统正交特性将维

33、运动方程组解耦，使之成为个单自由度系统，分别求解后再进行叠加求得结构总体反应。它的基本原理如下所述。多自由度体系运动方程为，考虑地震激励，即。对于维结构系统，由结构自振特性知可求出个振型，这里记作。根据结构动力学原理可知结构反应为各阶振型反应之和 （1）以矩阵符号表示 （2）式中，为第阶振型反应的幅值，数学上将视为广义坐标。将式（2）代入运动方程，并各项同时左乘 （3）由于系统正交特性（假设阻尼矩阵也具有正交特性），方程（3）具有解耦形式，即、和矩阵经振型矩阵左右乘后得到的矩阵只有对角线上有值，其他位置值均为零。这样便可得到个互不关联的方程： （4）也可写成（见单自由度体系运动方程） （5）其

34、中， ，它们分别称为第振型的广义质量、广义阻尼、广义刚度、广义荷载和振型参与系数，为第阶振型阻尼比，是第阶自振频率。至此，可以采用杜哈梅积分或其它数值方法分别对上述个单自由度运动方程求解，然后再代入式（2）求得结构总体反应。复振型叠加法 严格来说，只有单一材料建造的结构，其阻尼才近似满足正交条件。而实际的工程结构往往是由不同的材料组成，如钢混凝土结构；或考虑更复杂的动力问题，如结构-设备动力相互作用、土结构动力相互作用等问题。在这些情况下，阻尼不满足正交条件。复振型叠加法为具有不满足正交条件的一般粘性阻尼线性结构，提供了一条有效的分析途径。1. 复特征值多自由度体系的运动方程为 （1）通过变量

35、代换 （2）并补充恒等式 （3）联立式（1）和（3），使原方程化为关于状态变量的一阶微分方程 （4）式中，。方程（4）称为体系状态方程。令式（4）中，则自由振动情况下的状态方程为 (5)设上述齐次方程的解为 (6)式中，为常数；为向量，将式(6)带入式（5），得 (7)式（7）有非零解的充要条件是系数行列式等于零，即 (8)式（7）和式（8）是典型的特征值和特征向量问题，对于小阻尼振动系统，解方程式（8），可得到2n个复特征值，它们都是共轭成对出现，将这些特征值按从小到大的次序排列，可得到如下特征值向量 （9）式中， 称为系统的复频率， 将每个特征值逐一代入式（7）可以得到2n个复特征向量 (

36、10)式中， 称为复振型，和 为共轭向量，即。可以看到，所求出的振型为复振型，它只对和具有加权正交特性，而对结构体系的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵不存在这种正交性质。另外需指出复振型频率与固有频率并不相等。2. 复振型叠加法 同一般振型叠加法一样，首先进行坐标变换 （11）式中，为第阶复振型反应的幅值，广义坐标向量。将式（11）代入方程（4），并各项同时左乘 （12）由于正交特性，方程（12）具有解耦形式，即和矩阵经复振型矩阵左右乘后得到的矩阵只有对角线上有值，其他位置值均为零。这样便可得到个互不关联的一阶微分方程： （13）或写成 （14）其中，前三项分别称为第复振型的复振型质量、复振型刚度

37、和复频率。 至此，可以采用杜哈梅积分或其它数值方法分别对上述2个独立的一阶方程求解，然后再代入式（11）求得结构总体反应。因结构体系只能有实数解，因此求出的结构反应结果应取其实部。逐步积分法 逐步积分法是将时间过程离散为一系列短时间增量，计算每个的结构反应，然后逐步累加完成整个时间反应过程分析。逐步积分法既适用于结构弹性时程反应分析，也适用于弹塑性时程反应分析，是结构动力反应分析重要的求解手段之一。根据多自由度体系运动方程，在和时刻，体系的运动方程分别为 和 后式减前式，可以得到运动方程的增量形式： （1） 求解上述方程有多种方法，如线性加速度法、威尔逊法、纽马克法等。 线性加速度法 该方法的

38、基本假定是：在每个时间增量内加速度线性变化，而且体系的特性在这个时间间隔内保持为常量。以单自由度体系为例，体系运动方程的增量形式为 位移（三次）速度（二次）加速度（线性）图1体系在时间增量期间的运动（1） 在时间间隔内的运动见图1。计算在间隔终点（）的值，可以导出速度和位移的增量方程如下： （2）（3）解式（3）可得加速度增量，并将这个表达式代入方程（2），从而获得 （4） （5）将上两式代入方程（1），并将所有含已知初始条件的各项移到方程右端，可以得到 （6）其中 （7） （8） 这里和表示它们可以随时间变化（弹塑性问题）。可以看出，方程（6）相当于静力增量平衡关系，解方程（6）可以得到位移

39、增量，再将此值代入式（5）即可获得速度增量。下一时段的初始条件由这一时段起点的速度和位移值加上这些增量值而得到。下一步计算还需要同一时刻的加速度，它因前述假设而导致在每一步长计算中可能产生微小误差，为避免累积，该时刻的加速度利用总的平衡条件（运动方程）求之。对于多自由度体系，完全与单自由度体系相类似，只不过将相应的刚度、阻尼、质量和荷载换成矩阵形式即可。线形加速度法是有条件稳定的方法，当（- 结构基本周期）过大时，结构反应会出现振荡现象，不能给出正确解。一般来说，时间步长应至少小于结构周期的5到10倍，这种分析方法才能给出很精确的结构运动。威尔逊法 Wilson法是基于线性加速度法提出的，不同

40、之处是对积分步长作了一种修正，即规定（）。研究证明，该方法是无条件稳定的。在实际使用中应注意，值不宜过大，一般取1.4左右即可，否则会引起较大误差。计算首先是在延伸的时间步长上用标准的线性加速度法求出加速度增量，然后用内插法求得在常规步长上的增量，再将其代入方程和求出速度和位移增量，其后求下一步初始条件与线性加速度方法完全相同。因Wilson法是一种无条件稳定的逐步积分方法，因此应用较为广泛。纽马克法 纽马克方法的全称是Newmark（）法，其中和是两个用以控制计算精度和稳定性的参数。以单自由度体系为例来说明纽马克方法。该方法假定在较短的时刻增量后，体系的速度和位移分别为 （1） （2）和取值

41、有下列几种情况：一般较常用的是取，此时称为Newmark-法，和进一步取时，通常被称为平均加速度法，这是因为在内，体系加速度为平均值；当和时，即成为线性加速度法。当和时，则成为中心插分法。纽马克方法下一步推导和求解过程与线性加速度法完全相同，这里不再重复。结构力学分析模型 结构力学分析模型是结构分析的关键环节之一，它直接影响分析结果的可靠性。分析模型简化需要根据结构特征、计算目标和计算机容量加以确定。其基本原则是：1.能够确切地反映结构的变形性质；2.计算简单方便。结构分析模型可以概括地分为：单自由度体系分析模型，串联多自由度体系分析模型，平面分析模型和三维空间分析模型。单自由度体系分析模型

42、单自由度体系分析模型是最早用来计算结构动力反应的模型。图1为典型单自由度体系在地震作用下的分析模型。一般说来，结构振动状态均较复杂，难以合理简化成单质点运动，但因计算机发展之前，人们计算能力有限，所以这种模型还是广泛用来估计结构动力反应。而目前该模型应用较少，仅在个图1 单自由度体系分析模型别情况下，譬如粗略估计均匀悬臂结构（高烟囱等）或简单支撑一个大质量的结构（柱承式贮仓等）动力反应中有所应用。串联多自由度体系分析模型 这种模型是以结构层作为基本计算单元来进行分析的。视结构为悬臂杆，结构质量集中于各个楼层标高处，适当计算每个楼层的等效刚度，形成一个串联多自由度体系，其计算简图如图1所示。该模

43、型的基本假定是: (1)楼板在自身平面内刚度无穷大，水平地震作用下各层竖向构件侧向位移相同； (2)结构刚度中心与质量中心重合,在水平地震作用下结构不会发生绕竖轴的扭转。模型特点是自由度较少，当不考虑楼层的转动惯性时，体系的自由度数等于结构层数，大大减少了计算工作量，同时与单自由度体系模型相比，它还可考虑高阶振型的影响。该模型虽然比较粗糙，但简单易行，求解效率较高，能够较快地了解体系的宏观反应，评价体系的整体动力性能。 图1 串联多自由度体系分析模型 剪切型模型是最早提出的串联多自由度体系模型，之后发展了考虑弯曲变形的D值法，其后又提出了若干等效串联多自由度体系模型。剪切型模型 此模型的基本假

44、定为：结构水平构件的刚度无穷大，不产生弯曲变形，梁柱节点转角为零；竖向构件在水平荷载下不产生轴向变形。该模型较多应用于框架和多层砌体结构。对于框架结构，要求是强梁弱柱型。然而，大部分框架结构属强柱弱梁型，与其假定正好相反，因此在应用中会引起一定误差。图1 剪切型结构变形在模型的假定前提下，结构的层间刚度由该层所有竖向构件刚度之和。对于框架结构而言，在弹性阶段，每个柱子的刚度为 （1）其中，弹性模量；柱的截面惯性矩；层高。对于多层砌体结构，每片墙取其剪切刚度即可。图1给出一简单三层平面结构模型变形示意图。根据刚度的定义，可以看出剪切型模型中每一楼层的变形仅与相邻楼层刚度有关，因此它的总刚度矩阵是

45、三对角形的。对于层结构，它的刚度矩阵为 （2）这种模型虽然简单，但因其假设与大部分结构不符，所以目前在结构弹性反应分析中极少应用，仅在弹塑性反应分析中还有所应用，这也是不得已而为之，因对于这些结构，现在还没有适当的分析方法。D值法 在剪切型模型中假定梁的刚度为无穷大，梁柱之间转角为零，这无疑与大多数框架结构实际变形情况不符。为了能够考虑梁对柱的刚度影响，提出了各种修正方法，包括最广泛采用的D值法。所谓D值是指框架柱的抗侧刚度值，也就是使框架柱产生单位水平位移所必须施加的水平力。 (1) 式中：柱的线刚度；与梁柱刚度比有关的系数。经计算分析，可总结出不同位置、不同梁柱刚度比下的值，它们可从相关书

46、籍中查到，这里从略。D值法在以前简化计算时期应用非常广泛，但随计算机和有限元方法的发展，现已很少应用。等效串联多自由度体系模型 下面两种将结构等效成串联多自由度体系的方法虽然比剪切型模型和D值法更合理一些，但因其较为复杂，所以实际应用有限。（1）利用静力等效原则求出结构只与水平位移相关的刚度矩阵。具体步骤是首先用有限元方法建立层结构的刚度矩阵（自由度数为节点数乘以每个节点的自由度数，其值远大于），然后在第层处施加单位水平力，求出一组水平位移，再在其它楼层施加单位水平力，重复求解过程，直至层，最后可得到个自由度的结构侧向柔度矩阵 （1） 将柔度矩阵求逆，可以得出侧向刚度矩阵 2）该模型主要是针对

47、当时计算机计算能力有限，考虑到提高时程分析的效率而发展的。（2）这种方法亦是首先用有限元方法建立结构总体刚度矩阵，然后用静力法计算结构各层水平层间位移及层间剪力，再按下式计算该层等效剪切刚度 （3）各层等效剪切刚度求出后按剪切型刚度矩阵进行组装，形成三对角总刚度矩阵。虽然该方法考虑了结构各种构件对侧向刚度的影响，但本质上还是剪切型模型。平动-扭转耦联分析模型 非对称结构在地震作用下会产生扭转振动。简化平动扭转耦联分析模型如图1所示。图1 平动扭转偶联分析模型模型假设：楼板为绝对刚性；每层质量集中于该层质心处；每层抗侧刚度等于该层所有纵向构件抗侧刚度之和；各构件均不考虑自身扭转刚度。模型每层具有

48、3个自由度，即、两向平移和平面内扭转。对于层结构，自由度数为。以单层结构为例说明结构特性矩阵的求解过程。结构屋顶平面如图2所示。取质心作为坐标原点，刚心的坐标为（）。结构刚性平面内任意一点的位移为： （1）刚心图2 偏心平面根据运动方程中介绍的运动方程建立方法，可建立该体系的运动方程，从而得到对应向量的质量矩阵和刚度矩阵分别为： （2） （3） 式中：该层绕质心竖轴的转动惯量；分别为所有竖向抗侧力构件方向和方向刚度之和， 即，；抗扭刚度，； 耦联刚度，。多层结构以类似方法可以建立结构质量矩阵和刚度矩阵，这里不再详述。图1 框架结构和计算模型图2 框架剪力墙结构和计算模型这种分析模型在以前具有偏

49、心的重要结构地震反应分析中得到一定应用。目前因计算机和有限元方法的发展，该模型已几乎不用。平面杆系分析模型 平面杆系模型是以有限元方法为基础，将梁、柱、墙等简化为杆件进行结构分析。模型的基本假定是楼板自身平面内无限刚；结构较规则，无明显扭转。在此假定下，结构每层节点水平位移相同，梁单元没有轴向变形，只有剪切和弯曲变形，即每个节点两个自由度。柱单元每节点有轴向、剪切和弯曲3个自由度。墙以柱单元离散，并由带刚域的梁连接。框架结构简化模型见图1，框架剪力墙结构简化模型见图2。结构各榀构件特性基本相同时，可取一榀进行分析，也可将各榀叠加成一榀进行分析。当存在特性不同的榀时，可同时取出，并将它们用刚杆铰

50、接连接。譬如图1代表一个结构中的全部榀框架，图2代表同一结构中的全部榀框架-剪力墙部分，在每一层用刚杆铰接连接，使之成为该框架一剪力墙结构分析模型。平面杆系模型目前较广泛用于结构弹塑性地震反应分析之中。三维有限元模型 近年来，随着计算机技术和有限元技术及软件的发展，三维有限元分析在结构弹性地震反应分析与设计中已得到广泛应用，无论多么复杂的结构，只要模型简化的合理，均可获得满足一定精度要求的计算结果。在此模型中，可以假设楼板无限刚，以减少求解自由度，当楼板有较大开洞等情况时，也可采用弹性楼板，即楼板用板壳单元离散。结构分析常用的单元有三维梁单元、板壳单元和二力杆单元。三维梁单元用于模拟结构的梁和柱和固接斜杆。板壳单元用于模拟剪力墙和楼板，它是由平面应力单元和板单元叠加而成，使之既可模拟平面内又可模拟平面外受力