第一章复数与复变函数

1、复变函数教案 第一章 复数与复变函数 河北民族师范学院数计系第一章 复数与复变函数第一节 复数教学课题：第一节 复数教学目的：1、复习、了解中学所学复数的知识；2、理解所补充的新理论；3、熟练掌握复数的运算并能灵活运用。教学重点：复数的辐角教学难点：辐角的计算教学方法：启发式教学教学手段：讲授教材分析：复变函数这门学科的一切讨论都是在复数范围内进行的，它是学好本们课程的基础。因此，复习、了解中学所学复数的知识，理解所补充的新理论，熟练掌握复数的运算并能灵活运用显得尤为重要。教学过程：1、复数域：每个复数具有的形状，其中和，是虚数单位；和分别称为的实部和虚部，分别记作，。复数和相等是指它们的实部

2、与虚部分别相等。如果，则可以看成一个实数；如果，那么称为一个虚数；如果，而，则称为一个纯虚数。因此，全体实数是全体复数的一部分复数的四则运算定义为：复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C。必须特别提出的是，在复数域中，复数是不能比较大小的 2、复平面：C也可以看成平面，我们称为复平面。作映射：，则在复数集与平面之建立了一个1-1对应。从上述复数的定义中可以看出，一个复数实际上是由一对有序实数唯一确定横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z-平面，w-平面等。引进复平面后，我们在“数”与“点”之间建立了一一对应关系，为了方便起见，今后我们就不再区分“数”和“点”及“数集

3、”和“点集。3、复数的模和辐角复数可以等同于平面中的向量，。向量的长度称为复数的模，定义为：；向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：（）。我们知道人亦非零复数有无限多个辐角，今以表示其中的一个特定值，并称合条件的一个为主值，或称之为z的主辐角。于是，。注意，当z=0时辐角无异议。当z有如下关系（，）复数的三角表示定义为：；复数加法的几何表示：设、是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：（1）、；（2）、；（3）、；（4）、；（5）、；（6）、；附由图1.1中可以知道，复数与从原点到点所引的向量也构成一一对应关系（复数对应

4、零向量）从而，我们能够借助于点的极坐标和来确定点，向量的长度称为复数的模，记为图1.1 显然，对于任意复数均有， 另外，根据向量的运算及几何知识，我们可以得到两个重要的不等式 （三角形两边之和第三边，图1.2）图1.2 （三角形两边之差第三边，图1.3）图1.3与两式中等号成立的几何意义是：复数，分别与及所表示的三个向量共线且同向向量与实轴正向间的夹角满足称为复数的幅角，记为 由于任一非零复数均有无穷多个幅角，若以表示其中的一个特定值，并称满足条件 的一个值为的主角或的主幅角，则有 注意：当时，其模为零，幅角无意义从直角坐标与极坐标的关系，我们还可以用复数的模与幅角来表示非零复数，即有 同时我

5、们引进著名的欧拉公式： 则可化为 与式分别称为非零复数的三角形式和指数形式，由式几指数性质即可推得复数的乘除有 因此 ， 公式与说明：两个复数，的乘积（或商），其模等于这两个复数模的乘积（或商），其幅角等于这两个复数幅角的和（或差）特别当时可得 。此即说明单位复数乘任何数，几何上相当于将此数所对应的向量旋转一个角度另外，也可把公式中的换成（某个特定值），若为主值时，则公式两端允许相差的整数倍，即有 公式可推广到有限个复数的情况，特别地，当时，有当时，就得到熟知的德摩弗公式： 例求及用与表示的式子解：例1 试用复数表示圆的方程： （）其中，a,b,c,d是实常数。解：方程为 ，其中。例2、设、是

6、两个复数，证明利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法：设、是两个非零复数，则有则有 即，其中后一个式子应理解为集合相等。同理，对除法，有即，其后一个式子也应理解为集合相等。例3、设、是两个复数，求证：例4、作出过复平面C上不同两点a,b的直线及过不共线三点 a,b,c的圆的表示式。解：直线：；圆：4、复数的乘幂与方根利用复数的三角表示，我们也可以考虑复数的乘幂：令，则进一步，有共有-个值。例4、求的所有值。解：由于，所以有其中，。5、共轭复数复数的共轭定义为：；显然。我们也容易验证下列公式：6、曲线的复数方程例连接及两点的线段的参数方程为过及两点的直线（图 ）的参数方程为例

7、平面上以原点为心，为半径的圆周的方程为平面上以为心，为半径的圆周的方程为例 平面上实轴的方程为，虚轴的方程为.7作业第二节 复平面上的点集教学课题：第二节 复平面上的点集教学目的：1、理解关于平面点集的几个基本概念；2、理解区域与约当曲线这两个重要概念；3、了解约当定理和区域的连通性。教学重点：平面点集的几个基本概念教学难点：区域与约当曲线教学方法：启发式教学教学手段：讲授教材分析：理解关于平面点集的几个基本概念、掌握区域与约当曲线这两个重要概念、了解约当定理和区域的单连通和多连通，对于学好该门课程具有重要的作用。教学过程：1、平面点集的几个基本概念：定义1.1 设，的-邻域定义为称集为以为中

8、心，为半径的闭圆盘，记为。定义1.2设，若中有无穷个点，则称为的极限点；若，使得，则称为的内点；若中既有属于的点，又有不属于的点，则称为的边界点；集的全部边界点所组成的集合称为的边界，记为；称为的闭包，记为；若，使得，则称为的孤立点（是边界点但不是聚点）；定义1.3 开集：所有点为内点的集合；闭集：或者没有聚点，或者所有聚点都属于；则任何集合的闭包一定是闭集；定义1.4如果，使得，则称是有界集，否则称是无界集；复平面上的有界闭集称为紧集。例1、圆盘是有界开集；闭圆盘是有界闭集；例2、集合是以为心，半径为的圆周，它是圆盘和闭圆盘的边界。例3、复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集。例4、集

9、合是去掉圆心的圆盘。圆心，它是的孤立点，是集合的聚点。无穷远点的邻域：，集合称为无穷远点的一个邻域。类似地有，聚点、内点、边界点与孤立点，开集、闭集等概念。我们也称为的一点紧化。2、区域、约当（Jordan）曲线：定义1.5复平面C上的集合，如果满足：（1）是开集；（2）中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的点完全属于。则称是一个区域。结合前面的定义，有有界区域、无界区域。性质（2）我们称为连通性，即区域是连通的开集。区域内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域。扩充复平面上不含无穷远点的区域的定义同上；含无穷远点的区域是C上的一个区域与无穷远点的一个邻域的并集。

10、设已给如果和都在闭区间上连续，则称集合为一条连续曲线。如果对上任意不同两点及，但不同时是的端点，我们有，那么上述集合称为一条简单连续曲线，或约当曲线。若还有，则称为一条简单连续闭曲线，或约当闭曲线。约当定理：任意一条约当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为外区域。光滑曲线：如果和都在闭区间上连续，且有连续的导函数，在上，则称集合为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段光滑曲线。设是一个区域，在复平面C上，如果内任何简单闭曲线的内区域中每一点都属于，则称是单连通区域，否则称是多连通区域。中区域的连通性：如果内任何简单闭曲线的内区域或外区域中每一点都属于，则

11、称是单连通区域，否则称是多连通区域。例1、 集合为半平面，它是一个单连通无界区域，其边界为直线即。例2、 集合为一个垂直带形，它是一个单连通无界区域，其边界为直线及。例3、 集合为一角形，它是一个单连通无界区域，其边界为半射线及。例4、 集合为一个圆环，它是一个多连通有界区域，其边界为圆及。例5、 在上，集合与分别为单连通及多连通的无界区域，其边界分别为及。定义1.6 设连续弧AB的参数方程为，任取实数列并且考虑AB弧上对应的点列：将它们用以折线连接起来，的长度如果对于所有的数列，上述都有界，责成AB弧为可求长的。上确界称为AB弧的长度。定义1.7 设简单（或简单闭）曲线C的参数方程为 又在上

12、，存在、连续且不全为零，则C 称为光滑（闭）曲线。定义1.8 有有限条光滑曲线衔接而成的连续曲线成为逐段光滑曲线。特别，简单折线是逐段光滑曲线。定理（约当定理）任意简单闭曲线C 将平面z惟一地分成C、I（C）、E（C）三个点集，它们具有如下性质：（1）、彼此不交；（2）、I（C）是一个有界区域（称为C的内部）；（3）、E（C）是一个无界区域（称为C的外部）；（4）、若简单折线P 的端点属于I（C），另一个端点属于E（C），则P必与C相交。沿着一条简单闭曲线C有两个相反的方向，其中一个方向是: 当观察者顺次方向沿C前进一周时，C的内部一直在C的左边，即“逆时针”方向，成为正方向；另一个方向是:

13、当观察者顺次方向沿C前进一周时，C的外部一直在C的左边，即“顺时针”方向，成为负方向。定义1.9 设为复平面上的区域，若在内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于，则称为单连通区域。否则，称为多连通区域。中区域的连通性：如果内任何简单闭曲线的内区域或外区域中每一点都属于，则称是单连通区域，否则称是多连通区域。例1.10集合为半平面，它是一个单连通无界区域，其边界为直线即。例1.11集合为一个垂直带形，它是一个单连通无界区域，其边界为直线及。例1.12集合为一角形，它是一个单连通无界区域，其边界为半射线及。例1.13集合为一个圆环，它是一个多连通有界区域，其边界为圆及。例1.14在上，集合与分别为

14、单连通及多连通的无界区域，其边界分别为及。第三节 复变函数教学课题：第三节 复变函数教学目的：1、充分了解关于单值函数、多值函数、定义域、值域和关于反函数概念；2、理解影射概念；3、充分了解“入变换”、“满变换”和“一一变换”。教学重点：平面点集的几个基本概念教学难点：区域与约当曲线教学方法：启发式教学教学手段：讲授教材分析：理解复变函数的概念;了解复变函数的极限与连续的概念.教学过程：1复变函数的概念设在复平面C上以给点集。如果有一个法则，使得，同它对应，则称为在上定义了一个复变数函数，简称为复变函数，记为。注解1、同样可以定义函数的定义域与值域；注解2、此定义与传统的定义不同，没有明确指出

15、是否只有一个和对应；注解3、复变函数等价于两个实变量的实值函数：若，则等价于两个二元实变函数和。函数也称为从到C上的一个映射或映照。把集合表示在一个复平面上，称为-平面；把相应的函数值表示在另一个复平面上，称为-平面。从集合论的观点，令，记作，我们称映射把任意的映射成为，把集映射成集。称及分别为和的象，而称和分别为及的原象。若把中不同的点映射成中不同的点，则称它是一个从到的双射。例1、 考虑映射，。解：设，则有，这是一个平面到平面的双射，我们称为一个平移。例2、 考虑映射，其中。解：令，则它可以分解为以下两个映射的复合：， 第一个映射是一个旋转（旋转角为），第二个映射是一个以原点为中心的相似映

16、射。例3、 考虑映射。解：它可以分解为以下两个映射的复合：， 映射是一个关于实数轴的对称映射；映射把映射成，其辐角与相同：而模，满足。我们称为关于单位圆的对称映射，与称为关于单位圆的互相对称点。若规定把映射成，则它是一个扩充平面到扩充平面的一个双射。例4、考虑映射。解：等价于， 。例5、考虑映射。解：设，则有，这是一个平面到平面的双射，我们称为一个平移。例6考虑映射，其中。解：令，则它可以分解为以下两个映射的复合：， 第一个映射是一个旋转（旋转角为），第二个映射是一个以原点为中心的相似映射。例7、考虑映射。解：它可以分解为以下两个映射的复合：， 映射是一个关于实数轴的对称映射；映射把映射成，其

17、辐角与相同：而模，满足。我们称为关于单位圆的对称映射，与称为关于单位圆的互相对称点。若规定把映射成，则它是一个扩充平面到扩充平面的一个双射。例8、考虑映射。解：等价于， 。2复变函数的极限与连续定义1.16 设函数在集合上确定，是的一个聚点，是一个复常数。如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，则称为函数当沿E趋于时的极限，记作：类似于数学分析中的极限性质，容易验证复变函数的极限具有以下性质：若极限存在，则极限是唯一的与都存在，则有 注解：1、复变函数的极限等价于两个实变二元函数的重极限。2、关于极限的和、差、积、商等性质可以不加改变的推广到复变函数。注：极限与z趋于的方式无关。另

18、外，对于复变函数的极限与其实部和虚部的极限的关系问题，我们有下述定理：定理 设函数于点集上有定义，为的聚点，则的充要条件及。证明：因为从而由不等式可得 及 故由即可得必要性部分的证明由可得充分性部分的证明定义1.13 设于点集上有定义，为的聚点，且，若则称沿于连续根据定义，沿于连续就意味着：，当时，有与数分中的连续函数性质相似，复变函数的连续性有如下性质：若，沿集于点连续，则其和，差，积，商（在商的情形，要求分母不为零）沿点集于连续若函数沿集于连续，且，函数沿集于连续，则复合函数沿集于连续定理1.2 设函数与点集E上有定义，为E的聚点，则的充要条件是 。（证略）定义1.17 设函数在集合上确定

19、，是的一个聚点，如果成立，则称在处连续；如果在中每一点连续，则称在上连续。注解1、如果，则在处连续的充要条件为：即一个复变函数的连续性等价于两个实变二元函数的连续性；注解2、连续函数的四则运算结论成立：两个复变函数连续的加、减、乘、除（分母不等于零）是复变函数连续；注解3、如果函数在集上连续，并且函数值属于集，而在集上，函数连续，那么复合函数在上连续。其次，我们还有定理 设函数于点集上有定义,则在点连续的充要条件为：,沿于点均连续.事实上,类似于定理的证明,只要把其中的换成,换成即可得到定理的证明.例 设，试证在原点无极限,从而在原点不连续.证明：设,则因此 故不存在,从而在原点不连续.定义 若函数在点集上每一点都连续,则称在上连续,或称为上的连续函数.特别地,当为实轴上的区间时,则连续曲线就是上的连续函数其次,若为闭区域,则上每一点均为聚点,考虑其边界上的点的连续性时,只能沿的点来取.与数学分析相同,在有界闭集上连续的伏辩函数具有以下性质：在上有界,即,使得 在上有最大值和最小值.在上一致连续,即,使对上任意两点,只要就有3一致连续性设函数在集合上确定，如果任给，可以找到一个仅与有关的正数，使得当，并且时，则称函数在上一致连续。定理1.1、设函数在简单曲线或有界闭区域上连续，那么它在上一致连续。定理1.2、设函数在简单曲线或有界闭区域上连续，那么它在上有界，即