第2章计算机控制

1、第第2章章 采样过程与信号重构采样过程与信号重构 由于数字计算机具有离散时间性质，因此由于数字计算机具有离散时间性质，因此是数字是数字控制系统的基本特征。本章将对采样过程的机理进行深入控制系统的基本特征。本章将对采样过程的机理进行深入地分析。采样理论包含不同采样类型：单速率采样、多速地分析。采样理论包含不同采样类型：单速率采样、多速率采样。本书仅讨论单速率采样系统，即采样周期率采样。本书仅讨论单速率采样系统，即采样周期T 为常为常数的情况。数的情况。 基本概念：基本概念： 采样过程采样过程(Sample)：连续信号经采样开关转换为离散时：连续信号经采样开关转换为离散时间信号的过程。在数控系统中

2、，是连续偏差信号间信号的过程。在数控系统中，是连续偏差信号e(t) 经经采样开关转换为离散时间信号采样开关转换为离散时间信号e*(t) 的过程；的过程；信号重构信号重构(Signal reconstruction)：离散时间信号离散时间信号转换为转换为连续信号的过程。连续信号的过程。在数控系统中，是在数控系统中，是离散时间信号离散时间信号u*(t)经保持器转换为经保持器转换为连续控制信号连续控制信号u(t)的过程。的过程。本章重点：本章重点：采样过程、信号重构机理及其数学描述。采样过程、信号重构机理及其数学描述。采样定理及采样周期采样定理及采样周期T 的选择。的选择。2.1 引言引言数控系统信

3、号转换示意图及其简化数控系统信号转换示意图及其简化图图2-1-1 数控系统信号转换示意图数控系统信号转换示意图A/D数字数字控制器控制器保持保持器器对象对象或过程或过程r(t) e(t)u(t)y(t)e*(t)e(kT)u(kT)u*(t)D/A2.2 采样过程采样过程连续信号连续信号f(t)通过采样开关后，转通过采样开关后，转变为脉冲序列变为脉冲序列f*(t)的过程。的过程。图图2-2-1 采样过程采样过程2.2.1 时域描述时域描述 采样周期采样周期T (单位单位s)闭合时间闭合时间 (s)采样角频率采样角频率采样频率采样频率)/(srads )(HzfssssfTTf 221 kttk

4、Tftf 0),()(*由图由图2-2-1可得可得)(tkTf 1)(0, 0)(0,)(dtttttt 时时当当时时当当理想单位脉冲理想单位脉冲函数函数图图2-2-2 理想采样过程理想采样过程当当 T ，且，且T 远小于系统连续部分惯性时间常数时，可将采远小于系统连续部分惯性时间常数时，可将采样开关视为理想的，样开关视为理想的， 0。则理想采样过程的时域描述为：。则理想采样过程的时域描述为：理想采样过程的时域描述理想采样过程的时域描述 kkTtkTftf)()()(* kkTttf)()( 这个过程相当于模拟信号这个过程相当于模拟信号 f(t) 被被 T(t)调制。调制。加权函数加权函数)(

5、)(ttfT 为理想采样开关产生的脉冲序为理想采样开关产生的脉冲序列。理想采样开关相当于一个列。理想采样开关相当于一个理想脉冲发生器。理想脉冲发生器。式中 kTkTtt)()( 2.2.2 采样过程的频域描述采样过程的频域描述求求f*(t) 的的Fourier变换变换F*(j )，也即，也即f*(t) 的频谱的频谱对于周期信号对于周期信号f(t)，当满足狄里赫利，当满足狄里赫利Dirichlet条件时，条件时，f(t)可以用一个可以用一个Fourier级数来表示，其频谱级数来表示，其频谱F(j )是离散的。是离散的。为为基基准准角角频频率率式式中中：级级数数的的复复系系数数表表达达式式为为02

6、2,)(1)(Fourier00 dtetfTdedtftjkTTkktjkk kd为为复复系系数数，表表示示出出了了周周期期函函数数)(tf中中包包含含的的各各次次谐谐波波的的幅幅值值和和相相位位。若若将将复复系系数数表表示示为为kjkkeAd，则则表表示示周周期期信信号号)(tf第第 k 次次谐谐波波的的幅幅值值为为kA2，相相移移为为k。 1)()()()(0 jtjedtettFttf dejFFttj121)()1（由由反反变变换换可可得得：)(21)()(0)(000 dtedteejFetftjtjtjtj当当0)(0tjettF )(21)(1)( dtejFtftj采用变量替

7、换方法可得采用变量替换方法可得 kkktjkkkdjFFourieredtf)(2)()(00 变变换换为为则则其其对对应应的的为为若若周周期期函函数数的的级级数数表表示示例：例：)()()(2)(21)cos()(000000 kdjFeettfkktjtjt)(tf00 )( jF dejFtfdtetfjnjdTjFtjtjnnT )(21)(Fourier)()(lim)(Fourier0反反变变换换的的公公式式为为：变变换换的的公公式式为为：对于非周期信号对于非周期信号f(t)，T，其频谱其频谱F(j )在在 （- ，+ ）上都是上都是连续的，不存在连续的，不存在Fourier级数，

8、只能利用级数，只能利用Fourier变换求变换求F(j ) 。例如：例如： jadteejFtaetftjatat 1)(0, 0,)(00 )( jF0t)(tf nssnsTTnnTtFj)()(2)()( 。的的频频谱谱求求脉脉冲冲序序列列)()()( jkTttTkT 例：例： ntjnTTTTjnTTtjnknsntjnnsssseTtTdtetTdtekTtTdTedtfFourier 1)(1)(1)(12,)(22)0(22级级数数为为：可可以以展展开开成成其其是是周周期期函函数数，t1)(tT )( jTs TT 20ss 20 dtgftgtfjGjFtgtfFFourie

9、r )()()()(*)(*)(21)()(代代表表卷卷积积：式式中中有有下下式式成成立立变变换换的的频频率率卷卷积积定定理理，根根据据采样信号采样信号f*(t) 的的Fourier变换变换F*(j )即即采样过程的频域描述采样过程的频域描述求法一：求法一：)()(21)()()(*)(* jjFttfFtfFjFTT ) )(1()(1)(2)(21)()(21)(* nsnsnsTjnjFTjnjFTnTjFjjFjF nsTnTj)(2)( 又又求法二：求法二： ntjnTntjnTTssetfTttftfeTtFouriert )(1)()()(*1)()(级级数数展展开开：的的)()

10、(00 jjFtfeFFouriertj 变变换换的的频频移移定定理理有有根根据据又又 nsjnjFTjF)(1)(* 采样过程的频域描述表达式采样过程的频域描述表达式)(tT )( jTT0t ss nssTkTjnjjkTtt)()()()( )2()()()(1)(1)(*sssnsjjFjjFjFjjFTjnjFTjF )(* jFssss 232102123 )(*tft图图2-2-3 理想采样过程频域分析理想采样过程频域分析假设：信号假设：信号f(t)的的频谱频谱F(j )为有限为有限带宽，最高频率带宽，最高频率为为 mms 2)1( 此时，高低频率此时，高低频率之间不发生混频之间

11、不发生混频(混叠混叠)现象。现象。 mm )( jF)(tftms 2)2( 此时，高低此时，高低频率之间发频率之间发生了混频现生了混频现象。象。)(tT )( jTT0t ss nssTkTjnjjkTtt)()()()( mm )( jF)(tft)2()()()(1)(1)(*sssnsjjFjjFjFjjFTjnjFTjF )(*tft )(* jFssss 232102123 采样过程中存在时域信息损失，采样过程中存在时域信息损失，T越小，采样信号越接近越小，采样信号越接近连续信号。连续信号。F*(j )可分为主频谱（可分为主频谱（n=0）和高频（）和高频（n0）两部分，比原）两部分

12、，比原信号频谱信号频谱F( j )派生周期为派生周期为 s 倍数的无限个高频频谱分量。倍数的无限个高频频谱分量。当当 s 2 m 时，在时，在F*( j )频谱中高低频不发生混频现象；频谱中高低频不发生混频现象；否则出现混频现象。否则出现混频现象。分析：分析：)(1tP)(2tP0246810121416-1-0.500.51t时域上的两信号及其采样点时域上的两信号及其采样点例例的的频频谱谱。，及及其其采采样样信信号号，时时，分分析析当当采采样样频频率率同同为为已已知知两两信信号号)()()()(19 . 02coscos)(1 . 02coscos)(*2*12122221111tPtPtP

13、tPHzfHzftfttpHzftfttPs 各各点点的的采采样样值值相相同同)()(2 . 0cos)2 . 0cos()2 . 02cos(8 . 1cos8 . 1cos)2cos()(2 . 0cos)2cos()(212211kTPkTPkkkkkkkTfkTPkkTfkTP 时域分析时域分析 nnsssssnjjFjnjFTjFffTf)2()(1)(*22111 ，频域分析频域分析 8 . 12)()()(2 . 02)()()(2222211111 fjPfjP原信号原信号 8 . 1,)2()2()(2 . 0,)2()2()(222*2111*1 nnnnjPnjnjP采样

14、信号采样信号 2 . 0 2 . 0 0 n 8 . 1 8 . 10 n 2 . 2 8 . 1 1 n 8 . 3 2 . 0 1 n 2 . 2 8 . 11 n 2 . 0 8 . 31 n 2 . 22 n 2 . 2 2 n0 )(*1 jP0 )(*2 jP0 0 2 . 0 8 . 1 8 . 1 2 . 0 )(1 jP)(2 jP不发生混频现象不发生混频现象发生混频现象发生混频现象ms 2 ms 2 2.3香香农农（Shanon）采样定理采样定理 在信号不混叠情况下，也即在信号不混叠情况下，也即 s 2 m时，时，采用如下低通滤波器可无失真采用如下低通滤波器可无失真地再现原

15、信号。地再现原信号。)()()(*tftftf)()()(* jFjFjF)( jG)(tg 若若 m是模拟信号是模拟信号f(t)上限频率，上限频率， s为采样频率，则当为采样频率，则当 s 2 m时，时，经采样得到的信号能无失真地再现原信号。经采样得到的信号能无失真地再现原信号。采样定理给出了采样频率下限，采样定理给出了采样频率下限， N= s /2 称为称为奈奎斯特（奈奎斯特（Nyquist）频率频率。 mm )( jF )(* jFssss 232102123 T1 )( jGssss 232102123 T)(2/, 02/),(*)()(*)()(* jFjTFjGjFtgtfss

16、滤滤波波后后的的频频谱谱为为通通过过2)()(sin)()()(*)(sNkNNkTtkTtkTfdtgftf ，根根据据时时域域卷卷积积定定理理有有 2/, 02/,)(ssTjG 理理想想低低通通滤滤波波器器2/2/sin)()(1ttjGLtgss 对对应应注意：注意：理想的低通滤波器理想的低通滤波器G(s)是不存在的。是不存在的。注意：注意：信号经过采样后只取信号经过采样后只取采样点上的值。当采样点上的值。当 s 2 m ，信号发生混频，信号发生混频，不同不同的连续的连续信号可以得到信号可以得到相同相同的采样信的采样信号，号， f(t)的高频信号有可能混的高频信号有可能混叠在低频处，因

17、此不再能不叠在低频处，因此不再能不失真地恢复原信号。失真地恢复原信号。2.4 信号重构信号重构采样的逆过程采样的逆过程)632(2/)(2/)(sin)()()()()(* ksskTtkTtkTftfjFjGjF 上式成立的条件：上式成立的条件：需要信号为有限带宽；需要信号为有限带宽；采样周期满足采样定理；采样周期满足采样定理；需要需要k=- +的数据（过去和的数据（过去和未来未来的数据），物理不可的数据），物理不可实现，因此不能应用于实际的数控系统。实现，因此不能应用于实际的数控系统。 2/, 02/,)(ssTjG 采采用用理理想想低低通通滤滤波波器器两类信号重构法：两类信号重构法：2.

18、4.1 香农重构法香农重构法：信号完全重构的条件为信号完全重构的条件为2.4.2 信号保持法（信号保持法（Signal hold） 仅由原来时刻的采样值实现信号重构的方法，仅由原来时刻的采样值实现信号重构的方法，即因果重即因果重构，就是信号保持（构，就是信号保持（signal hold）法，）法，在工程上用保持器实在工程上用保持器实现。从数学上说，保持器是解决各采样点之间的插值问题，现。从数学上说，保持器是解决各采样点之间的插值问题，用外推方法用外推方法由过去时刻输入的采样值由过去时刻输入的采样值f(kT)，kt/T 外外推现时刻推现时刻 f(t)。TttatataatkTftfnn 0,)(

19、)(2210 若若 ，则实现上式的保持器称为，则实现上式的保持器称为n阶保持器。参数可由前阶保持器。参数可由前n+1个时刻的采样值唯一确定。个时刻的采样值唯一确定。), 2 , 1(0niai 1 零阶保持（零阶保持（Zero-order hold）TtkTfatkTftf 0)()()(0时域描述时域描述)( 1)( 1)(0, 00, 1)(*0Tttthkkt 求求得得脉脉冲冲响响应应为为输输入入 图图2-4-1零阶保持器零阶保持器输入、输出特性输入、输出特性u*(t)u(t)tt0 T 2T 3T 4T0 T 2T 3T 4T保持器保持器)(*t )(0tht0)(*t tT0)(0t

20、hseessthLsGTsTsh 111)()(00则则其其传传递递函函数数为为2)(2)2sin()(00TjGTTTjGhh 相相频频特特性性幅幅频频特特性性 其不足是具有多个截止频率，能通过高频分量，其相频其不足是具有多个截止频率，能通过高频分量，其相频特性具有相位迟后。特性具有相位迟后。 22220002)2sin()(1)()00)(111)()(TjTjTjTjTjhTsTsheTTTjeeejejGttfjsseessthLsG 时时，当当条条件件频频率率特特性性零阶保持器的频率特性：零阶保持器的频率特性：)(0 jGhT理想滤波器理想滤波器零阶保持器零阶保持器-180)(0 j

21、Gh 2 一阶保持器一阶保持器01001( )()-()()(1) ( )()(1) f tf kTtaatTtTf kTaf kTfkTf tf kTtfkTaa TT 时域描述)21)(2( 1)22)( 1)( 12, 02,0,)(0)2(0)(1)0(0, 00, 1)(*1TTtTtTTtTtTtTttTTtTTtTTtTtTthTfTffkkt 代代入入上上式式可可得得求求脉脉冲冲响响应应为为输输入入 f(t)t图图2-4-4一一阶保持器输出特性阶保持器输出特性H1(t)12-1-T 0 T 2T t图图2-4-5一阶保持器脉冲响应一阶保持器脉冲响应零阶与一阶保持器比较如图所示：

22、零阶与一阶保持器比较如图所示：2111)1()()(sTesTTthLsGTsh 则则其其传传递递函函数数为为)(22122sin)(1)(TarctgTjheTTTTjGjs 频频率率特特性性 )(max0tfTeh 对两种保持器来说，随着采样周期的减小，相对误差对两种保持器来说，随着采样周期的减小，相对误差随之减小。用零阶保持器重构要获得随之减小。用零阶保持器重构要获得1%的相对误差，每的相对误差，每周期需采样周期需采样300个点。当采样点大于个点。当采样点大于20之后，采用一阶保之后，采用一阶保持器优于零阶保持器。持器优于零阶保持器。在数字控制中，零阶保持器容易实现，是应用最广泛的在数字

23、控制中，零阶保持器容易实现，是应用最广泛的一种信号重构法。一种信号重构法。对一阶保持器，若对一阶保持器，若 f(t) 具有平滑的二阶导数具有平滑的二阶导数 f”(t) ，采样，采样后重构误差可用下式估计后重构误差可用下式估计:)(max21tfTeh 从时域角度分析，用两种保持器重构信号均会产生误差。从时域角度分析，用两种保持器重构信号均会产生误差。对零阶保持器，若对零阶保持器，若 f(t) 具有平滑的一阶导数具有平滑的一阶导数 f(t)，采样后，采样后重构误差可用下式估计重构误差可用下式估计:2.5 采样周期的选择采样周期的选择香农采样定理给出了香农采样定理给出了T 的上限；的上限；数控系统实时性给出了数控系统实时性给出了T 的下限；的下限； 采样频率越高，系统控制越及时，对系统动态性能有采样频率越高，系统控制越及时，对系统动态性能有利。但利。但T 选得过小，计算机负担过重