第2章地图的数学基础1

1、 确定大地水准面与椭球体面之间的相对位置的方法确定大地水准面与椭球体面之间的相对位置的方法在地球表面适当位置选择一点在地球表面适当位置选择一点p,p,假设椭球体和大地球体相切于假设椭球体和大地球体相切于P, PP, P位于位于P P点的铅垂线上，点的铅垂线上，过椭球体面上过椭球体面上pp的的法线法线与该点与该点对于大地水准面的铅垂线相重合，对于大地水准面的铅垂线相重合，椭球体的形状和大小与大地球体椭球体的形状和大小与大地球体很接近，从而也就确定了椭球体很接近，从而也就确定了椭球体与大地球体的相互关系。与大地球体的相互关系。大地控制的主要任务是确定地面点在地球椭球体上的大地控制的主要任务是确定地

2、面点在地球椭球体上的位置。包括两个方面：位置。包括两个方面：一是：点在地球椭球体面上的平面位置，即一是：点在地球椭球体面上的平面位置，即经度经度和和纬度纬度；二是：确定点到大地水准面的高度，即二是：确定点到大地水准面的高度，即高程高程。地理坐标系：用地理坐标系：用经纬度经纬度表示地面点位的球面坐标系。在大地表示地面点位的球面坐标系。在大地测量学中有三种描述：测量学中有三种描述：函数函数f1f1、f2f2的具体形式，是由给定的投影条件确定的。有了这种对应的具体形式，是由给定的投影条件确定的。有了这种对应关系，就可把球面上的经纬网交点表示到平面上了。关系，就可把球面上的经纬网交点表示到平面上了。比

3、比 较较3.3.地图投影变形的性质地图投影变形的性质dsds（1 1）长度比和长度变形：）长度比和长度变形：（1 1）长度比和长度变形）长度比和长度变形abcda（d）oob（a）c（b）d（c）（1 1）长度比和长度变形）长度比和长度变形(2)(2)面积比与面积变形：面积比与面积变形：(3)(3)角度变形：角度变形： 投影面上任意两方向线所夹角与球面上相应两方向线夹角之投影面上任意两方向线所夹角与球面上相应两方向线夹角之差，称为角度变形（差，称为角度变形（）。）。 过一点可以做许多方向线，每两条方向线均可以组成一个角过一点可以做许多方向线，每两条方向线均可以组成一个角度，度，这些角度投影到平

4、面上之后这些角度投影到平面上之后，往往与原来的大小不一样，往往与原来的大小不一样，而且不同的方向线组成的角度产生的变形一般也不一样。而且不同的方向线组成的角度产生的变形一般也不一样。(3)(3)角度变形：角度变形：（1 1）变形椭圆）变形椭圆3.变形椭圆与等变形线变形椭圆与等变形线l设左图为球面微分圆，右图为投影到平面上的相应椭圆。设左图为球面微分圆，右图为投影到平面上的相应椭圆。lA A位于以经纬线为直角坐标轴位于以经纬线为直角坐标轴X X、Y Y的坐标系上的坐标系上 ，XX、YY为投影后坐标为投影后坐标轴，轴，A(xA(x，y)y)是是A(xA(x，y)y)的投影，令经线长度比为的投影，令

5、经线长度比为m m，纬线长度比为，纬线长度比为n n，则，则: :lx=mx，y=ny，即，即x=x/m，y=y/n，l将其代入圆的方程，将其代入圆的方程，x2+y2=r2，得：得：(x/m2)+(y/n)2=r2，l两边都除两边都除r2，得：，得：l (x/mr)2+(y+nr)2=1, mr为椭圆的长半径为椭圆的长半径a a，nr为椭圆的短半径为椭圆的短半径b b，l因此，上式可写成因此，上式可写成x2/a2+y2/b2=1，这正是椭圆的方程式。这正是椭圆的方程式。l这就证明了椭球体面上的微小圆，投影后为椭圆。故叫做这就证明了椭球体面上的微小圆，投影后为椭圆。故叫做变形椭圆变形椭圆。(1)

6、(1)变形椭圆变形椭圆(1)(1)变形椭圆变形椭圆(2)(2)等变形线：等变形线：在各种投影图上，都存在着变形，并且不同在各种投影图上，都存在着变形，并且不同点点的的变形数量常常是不一样的。为了便于观察和了解绘制区域变形的分变形数量常常是不一样的。为了便于观察和了解绘制区域变形的分布，常用等变形线来表示制图区域的变形分布特征。布，常用等变形线来表示制图区域的变形分布特征。等变形线就是等变形线就是变形值相等的各点的连线，变形值相等的各点的连线，它是根据计算的各种变形的数值（如它是根据计算的各种变形的数值（如P,P,）绘于经纬线网格内的，如面积等变形线。）绘于经纬线网格内的，如面积等变形线。 等变

7、形线在不同的投影图上，具有等变形线在不同的投影图上，具有不同的形状不同的形状，因投影中心无变形，当，因投影中心无变形，当从投影中心向外变形逐渐增大时，等从投影中心向外变形逐渐增大时，等变形线成同心圆状分布，如方位投影变形线成同心圆状分布，如方位投影 等变形线通常是用点虚线来表示的等变形线通常是用点虚线来表示的 dabcdooabcabcda（d）oob（a）c（b）d（c）（3 3）主方向）主方向设想设想acac、bdbd二垂线相对位置保持不变，并绕二垂线相对位置保持不变，并绕o o点顺时针旋转，当旋转点顺时针旋转，当旋转9090度时，直角度时，直角aobaob转到原来转到原来bocboc的位

8、置，这时投影由原来的锐角转变成的位置，这时投影由原来的锐角转变成钝角；同样的，直角钝角；同样的，直角bocboc转到了转到了codcod的位置，它的投影由原来的钝角变的位置，它的投影由原来的钝角变为锐角。为锐角。由此可见，一个直角在不同的位置下的投影有着不同的的大小，可以由此可见，一个直角在不同的位置下的投影有着不同的的大小，可以由锐角变为钝角，或者相反。由锐角变为钝角，或者相反。那么在变化的过程中，必然有一特殊位那么在变化的过程中，必然有一特殊位置，直角投影后仍保持正交，此二正交直线方向，称之为置，直角投影后仍保持正交，此二正交直线方向，称之为主方向主方向。地图投影的种类很多，由于分类的标志不同，地图投影的种类很多，由于分类的标志不同，分类的方法也不同。分类的方法也不同。1.按构成方法分类按构成方法分类 （1）几何投影）几何投影 （2）条件投影）条件投影2.按变形性质分类按变形性质分类 （1）等角投影）等角投影 （2）等积投影）等积投影 （3）任意投影）任意投影伪圆锥伪圆锥伪圆柱伪圆柱多圆锥多圆锥 等角投影 等积投影 等距投影 任意投影如图表示各种变形性质不同的地图投影中变形椭圆的形状。如图表示各种变形性质不同的地图投影中变形椭圆的形状。通过比较可以看出：通过比较可