高数chapter6-11

1、6-16-1多元函数多元函数6-26-2偏导数的应用偏导数的应用第六章第六章 多元函数微分学多元函数微分学6-16-1多元函数多元函数一、二元函数一、二元函数二、二元函数的极限二、二元函数的极限三、二元函数的连续三、二元函数的连续四、偏导数四、偏导数五、全微分五、全微分六、复合函数微分法六、复合函数微分法七、隐函数的微分法七、隐函数的微分法八、小结八、小结 以前我们接触到的函数以前我们接触到的函数 y = = f ( (x) )有一个特有一个特点点, , 就是只有一个自变量就是只有一个自变量, , 函数函数 y 是随着这一个是随着这一个自变量的变化而变化的自变量的变化而变化的. . 我们称为我

2、们称为一元函数一元函数。 如如 y = sinx, y = x2 + 3cosx 等等。所谓多元函数所谓多元函数, , 直观的说直观的说, , 就是有多个自变就是有多个自变量的函数量的函数. . 函数函数随多个自变量的变化而变化随多个自变量的变化而变化。圆柱体体积圆柱体体积 V = r 2 h体积体积V 随随 r, h的变化而变化的变化而变化. .或者说或者说, , 任给一对数任给一对数(r, h), 就有唯一的一个就有唯一的一个V V与之对应与之对应。例如：例如：长方体体积长方体体积 V = xyz体积体积V V 随随 x, y, z 的变化而变化的变化而变化。或者说。或者说, , 任给任给

3、一组数一组数(x, y, z), 就有唯一的一个就有唯一的一个V V与之对应与之对应。这些都是多元函数的例子这些都是多元函数的例子. 有二个自变量的有二个自变量的称为称为二元函数二元函数. 有三个自变量的称为有三个自变量的称为三元函数三元函数, , 有有 n 个自变量的称为个自变量的称为 n 元函数元函数.与一元函数类似与一元函数类似, 我们研究二元函数我们研究二元函数定义定义极限极限连续连续导数导数积分积分（一）二元函数定义（一）二元函数定义1 1、平面点集、平面点集我们称有序实数对我们称有序实数对( (x,y)的集合的集合( , ),x y xyRR为为二维空间二维空间，记为，记为R2。任

4、意一个有序实数对。任意一个有序实数对(a,b),都对应着坐标平面上一个点都对应着坐标平面上一个点P(a,b), ,都对应着一个都对应着一个有序的实数对有序的实数对(a,b),即二维空间即二维空间R2与坐标平面的所与坐标平面的所有点一一对应。因此，我们对二维空间有点一一对应。因此，我们对二维空间R2的有序的有序实数对与坐标面上的点不加区分。比如二维空间实数对与坐标面上的点不加区分。比如二维空间的子集是的子集是“平面点集平面点集”。2 2、邻域、邻域0P ),(0 PU|0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 3 3、区域、区域.)(的内点的内点为为则称则称，的某一邻域的某一邻域一个

5、点如果存在点一个点如果存在点是平面上的是平面上的是平面上的一个点集，是平面上的一个点集，设设EPEPUPPE .EE 的内点属于的内点属于EP .为开集为开集则称则称的点都是内点，的点都是内点，如果点集如果点集EE41),(221 yxyxE例如，例如，即为开集即为开集的边界点的边界点为为），则称），则称可以不属于可以不属于，也，也本身可以属于本身可以属于的点（点的点（点也有不属于也有不属于的点，的点，于于的任一个邻域内既有属的任一个邻域内既有属如果点如果点EPEEPEEPEP 的边界的边界的边界点的全体称为的边界点的全体称为 EE是连通的是连通的开集开集，则称，则称且该折线上的点都属于且该折

6、线上的点都属于连结起来，连结起来，任何两点，都可用折线任何两点，都可用折线内内是开集如果对于是开集如果对于设设DDDD 连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo0| ),( yxyx有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域xyo例如，例如，则称为无界点集则称为无界点集为有界点集，否为有界点集，否成立，则称成立，则称对一切对一切即即，不超过不超过间的距离间的距离与某一定点与某一定点，使一切点，使一切点如果存在正数如果存在正

7、数对于点集对于点集EEPKAPKAPAEPKE 41| ),(22 yxyxxyo 内点一定是聚点；内点一定是聚点；说明：说明：4 4、聚点、聚点 边界点是聚点边界点是聚点；22( , )|01x yxy例如例如：(0,0)既是既是边界点也是聚点。边界点也是聚点。 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E。10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚点但不属于集合。是聚点但不属于集合。22( , )|1x yxy例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合。边界上的点都是聚点也都属于集合。 区域中的任一点都是该区域的聚点。区域中的任一点都是该区域的聚点。 n

8、维空间的记号为维空间的记号为说明：说明：;nR n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 5 5、n n维空间维空间.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念00(, )|,nU PP PPPR 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离。空间两点间的距离。3, 2, 1 n内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域：),(21nxxxP),(21nyyyQ设两点为设两点为邻域邻域, 内点内点, 边界点边界点, 开集开集, 连通连通, 有界有界, 开区域

9、开区域, 闭区域闭区域, 聚点聚点这些概念都可毫无困这些概念都可毫无困难地推广到三维空间难地推广到三维空间 R3 中去中去, 且有类似的且有类似的几何意义几何意义. 它们还可推广到它们还可推广到 4 维以上的空间维以上的空间中去中去, 但不再有几何意义但不再有几何意义。类似地可定义三元及三元以上函数。类似地可定义三元及三元以上函数。6 6、二元函数的定义、二元函数的定义例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为., 42| ),(222yxyxyxD ),(yxfz （如下页图）（如下页

10、图）（二）二元函数的图形（二）二元函数的图形二元函数表示二元函数表示空间中一片曲面，空间中一片曲面，D是该曲面在是该曲面在xoy 面上的投影区域面上的投影区域。PDM (x, y, z)yxzoz = f (P) = f (x, y)xyzoxyzsin 例如例如,2222azyx 例如例如,.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:,)(lim0Axfxx所谓当当 x 不论是从不论是从 x0的左边的左边还是从还是从x0的右边无限接的右边无限接近于近于x0时时, 对应的函数对应的函数值无限接近于数值无限接近于数 A.表示xyA0f (x)f (x)y =

11、f (x)x0 xxx x0 0, 0. 当当0|x x0| 时时, 有有|f (x) A | .二、二元函数的极限二、二元函数的极限设二元函数设二元函数 z = f (P) = f (x, y), 定义域为定义域为D.Dz = f (x, y)PP如果当如果当P在在D内内变动并无限接近于变动并无限接近于P0时时 (从任何方向从任何方向, 以任何方式以任何方式),对应对应的函数值的函数值 f (P)无限无限接近于数接近于数 A, 则称则称A为当为当P趋近于趋近于P0时时f (P)的极限的极限。MP0Ayzxof (P)类似于一元函数类似于一元函数, f (P)无限接近于数无限接近于数 A可可用

12、用 | f (P) A | 0, 0, 当当2200()()x xyy时，对应的二元函数值满足时，对应的二元函数值满足| f (P) A | 00 | PP注意：注意：（1） “ 0 |P P0| 0, 220 |(0,0)|Pxy 时, 有 | f (x, y) 0 | 0, 使得当要使 | f (x, y) 0 | , 只须222yx222 yx即22 2 ,|(0,0)| ,Pxy取则当时 有| f (x, y) 0 | 0，对于对于D上任意一点上任意一点(x, ,y)，有有（1 1）有界性）有界性（2 2）最值性）最值性( , )f x yM 若函数若函数f(x, ,y)在有界闭区域在

13、有界闭区域D上连续，则它在上连续，则它在D上必有最大值和最小值，即在有界闭区域上必有最大值和最小值，即在有界闭区域D上存在上存在两点两点P1(x1,y1)和和P2(x2,y2)，对于对于D上任意一点上任意一点(x, ,y)，有有1122( ,)( , )(,)f x yf x yf xy 若函数若函数f(x, ,y)在有界闭区域在有界闭区域D上连续，上连续，M与与m分分别是别是f(x, ,y)在在D上的最大值和最小值，则对上的最大值和最小值，则对M与与m间间的任意数的任意数c在在D上至少存在一点上至少存在一点P0 0(x0,0,y0 0)，使，使00(,)f xyc（3 3）介值性）介值性（4

14、 4）一致连续性）一致连续性 若函数若函数f( (x, ,y) )在有界闭区域在有界闭区域D上连续，则它在上连续，则它在D上必一致连续上必一致连续。例例4 4：.11lim00 xyxyyx 求求解：解：)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 00000lim( )( )( )( )lim( )().PPPPf Pf PPf Pf PPf Pf P一般地，求时，如果是初等函数，且是的定义域的内点，则在点处连续，于是( , )xyf x yxy21 limyxxyxy求极限例例5 5：解：解：函数函数是初等函数，其定义域为是初等函数，其定义域为( , )0,0.Dx y xy1 ( , )0,0 ( , )xyDx