第7章平面向量

1、单元章节备课表教学内容平面向量教学目标1、 理解向量的概念。2、 掌握向量的加法、减法及数乘向量的运算法则。3、 掌握向量的直角坐标运算，掌握中点公式、距离公式和平移公式。4、 掌握向量的内积的概念及运算法则。5、 掌握两个向量共线和垂直的条件，并能应用它解决相关的问题。教学重点向量运算法则的应用教学难点向量运算法则的应用教学反思课时备课表教学内容7.1平面向量的概念及线性运算教学目标知识目标：（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念；（2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力教学重点向量的线性运算教学难点已知两个向量，求这两个向

2、量的差向量以及非零向量平行的充要条件教学过程新授1、向量的定义在数学与物理学中，有两种量只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点以A为起点，B为终点的向量记作也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作 aAB 图72向量的大小叫做向量的模向量a, 的模依次记作，模为零的向量叫做零向量记作0，

3、零向量的方向是不确定的模为1的向量叫做单位向量与非零向量的模相等，且方向相反的向量叫做向量的负向量，记作规定：零向量的负向量仍为零向量2、向量的关系方向相同或相反的两个非零向量叫做互相平行的向量向量与向量b平行记作/b规定：零向量与任何一个向量平行由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此相互平行的向量又叫做共线向量当向量a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量a与向量b相等，记作a = b 也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种性质的向量叫做自由向量3、向量的线性运算一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A(如图76)，依次作=a, =b，则向量叫做向量a与向量b的和

4、，记作ab ，即 ab = （71）求向量的和的运算叫做向量的加法上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则观察图77可以看到：依照三角形法则进行向量a与向量b的加法运算，运算的结果仍然是向量，叫做a与b的和向量其和向量的起点是向量a的起点，终点是向量b 的终点ABCD为平行四边形，由于=，根据三角形法则得图79ADCB=这说明，在平行四边形ABCD中， 所表示的向量就是与的和这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则平行四边形法则不适用于共线向量。向量的加法具有以下的性质：（1）a0 = 0a = a； a（a）= 0；（2）ab=ba；（3）（ab） c = a （bc）与数的运算相类似，

5、可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差即a b = a(b)设a，b ，则即 = （72）观察图713可以得到：起点相同的两个向量a、 b，其差ab仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a的终点 aAa-bBbO图713一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的模为 （73）若0，则当0时，a的方向与a的方向相同，当0时，a的方向与a的方向相反由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当时，有 （74）一般地，有 0a= 0, 0 = 0 数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a, b及任意实数，向量数乘运算满足如

6、下的法则：一般地，ab叫做a, b的一个线性组合（其中,均为系数）如果l a b，则称l可以用a，b线性表示 向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算课堂练习1 如图，ABC中，D、E、F分别是三边的中点，试写出（1）与相等的向量；（2）与共线的向量FADBEC（练习题111第2题图）第1题图EFABCDO（图18）第2题图2如图，O点是正六边形ABCDEF的中心，试写出（1）与相等的向量； （2）的负向量； （3）与共线的向量3计算： （1）； （2）（3） （4）4、计算：（1）3（a 2 b）2（2 ab）；（2）3 a 2（3 a 4 b）3（a b）教学内容7.2 平面向量的坐

7、标表示教学目标知识目标：（1）了解向量坐标的概念，了解向量加法、减法及数乘向量运算的坐标表示；（2）了解两个向量平行的充要条件的坐标形式.能力目标：培养学生应用向量知识解决问题的能力.教学重点向量线性运算的坐标表示及运算法则.教学难点向量的坐标的概念.采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键.教学过程新授1、 向量的直角坐标对任一个平面向量a，都存在着一对有序实数， 使得则把有序实数对叫做向量a的坐标，记作 起点为原点，终点为的向量的坐标为起点为终点为的向量坐标为2、 向量的坐标运算设平面直角坐标系中，则 3、 判定向量共线:对非零向量a、 b，设当时，有课堂练习1 点A的坐标为（2，3），

8、写出向量的坐标，并用i与j的线性组合表示向量2 设向量,写出向量a的坐标3 已知A，B两点的坐标，求的坐标(1) (2) (3) 4、已知向量a, b的坐标，求ab、 a b、2 a3 b的坐标（1） a(2,3)，b(1,1)；（2） a(1,0)， b(4, 3)；作业教学内容7.3 平面向量的内积教学目标知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力教学重点平面向量数量积的概念及计算公式.教学难点数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角教学过

9、程新授1、 向量的内积设有两个非零向量a, b，作a, b,由射线OA与OB所形成的角叫做向量a与向量b的夹角，记作<a,b>两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b, 即 a·ba|b|cos<a,b> 由内积的定义可知a·00, 0·a0由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1） 当<a,b>0时，a·b|a|b|；当<a,b>时，a·b|a|b|.（2） cos<a,b>.（3） 当ba时，有<a,a>0，所以a

10、3;a|a|a|a|2，即|a|.（4） 当时，ab，因此，a·b因此对非零向量a，b，有a·b0ab.可以验证，向量的内积满足下面的运算律：（1） a·bb·a（2） ()·b(a·b)a·(b)（3） (ab)·ca·cb·c注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即a·(b·c)（a·b）·c.2、 设平面向量a(x1,y1),b(x2,y2)，则 a·b x1 x2 y1 y2 (7.11)利用公式(711)可以计算向量的模设a(x,y)，则，即 (7.12)由平面向量内积的定义可以得到，当a、b是非零向量时， cos<a,b>ab x1 x2 y1 y20 (7.14)利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题课堂练习1. 已