第三章三角函数恒等变换

1、第二章 三角函数恒等变换两角和差的正弦、余弦、正切·二倍角【学习目标】1. 理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解 推导过程，掌握其应用.2. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；3. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.4. 以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.5. 以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；6. 二倍角的理解及其灵活运用.【自主学习】一、选择题1化简为 （ ）AB C D2已知，则的值为

2、（ ）ABCD3已知sin 的值为 （ ） ABCD2、 填空题1若cos2 = , 则sin4 cos4)= . 2若是锐角，且，则的值是 3= .4函数的最大值是 答案：选择题：CBB二、填空题：1；2 ； 3; 4 . 提示：12是锐角，【知识点拨】一、公式导入 1.；让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）通过什么途径可以把上面的式子化成只含有、的形式呢？（分式分子、分母同时除以，得到注意：以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？注意：2.复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，；我们由此能否得到的公式呢？

3、（学生自己动手，把上述公式中看成即可），3.公式推导：；思考：把上述关于的式子能否变成只含有或形式的式子呢？；注意： 4.公式的变形升幂公式：1cos22cos2 1cos22sin2降幂公式：cos2 sin2正切公式变形：tan+tantan(+)（1tantan） tantantan()（1tantan)万能公式（用tan表示其他三角函数值）sin2 cos2 tan2插入辅助角公式asinxbcosx=sin(x+) (tan= )特殊地：sinx±cosxsin(x±)熟悉形式的变形（如何变形）1±sinx±cosx 1±sinx 1

4、±cosx tanxcotx 若A、B是锐角，A+B，则（1tanA）(1+tanB)=2coscos2cos22cos2 n= 在三角形中的结论（如何证明）若：ABC= =tanAtanBtanC=tanAtanBtanCtantantantantantan1二、求值问题（1）已知角求值题如：sin555°（2）已知值求值问题 常用拼角、凑角a.已知若cos()，sin()，又<<,0<<,求sin()。b.已知sin+sin=,cos+cos=,求cos()的值。c.已知值求角问题必须分两步：1）求这个角的某一三角函数值。2）确定这个角的范围。如

5、：已知tan= ,tan= ,且都是锐角，求证：2【课堂练习】一、选择题1函数是 （ ）A最小正周期为2的偶函数 B最小正周期为2的奇函数C最小正周期为的偶函数 D最小正周期为的奇函数2已知sincos=，且<<,则cossin的值为 （ ） A B C D 3已知a+ b =, 则cosacosb sinacosb cosasinb sinasinb 的值为 （ ） A B1 C1 D4若tan(+)=3, tan()=5, 则tan2= （ ）A B C D5已知sincos=sin·cos, 则sin2的值为 （ ）A1 B1 C22 D226设的值是 （ ）AB

6、CD7已知、均为锐角, 且cos(+)<0, 则下列结论一定成立的是 （ ） Acos>cos Bsin>sin Csin>cos Dcos>sin二、计算题1设T =.（1）已知sin( ) = , 为钝角，求T的值；（2）已知 cos( ) = m, 为钝角，求T的值. 2若函数的最大值为1，试确定常数a的值.3已知为锐角，且，的值.4若锐角：（1）； （2）5已知=2，求： （1）的值； （2）的值6若A、B、C是ABC的内角，cosB, sinC, 求cosA的值. 参考答案：1、 选择题CB BBDCC三、计算题：1解：（1）由sin(p q) = ，得

7、sinq = . q为钝角， cosq = , sin2q= 2sinqcosq = ,T = =.（2）由，T = =|sinq + cosq|, 0< q < p , 当< q £时. sinq+cosq>0 ,T = sinq + cosq = m ;当< q < p 时. sinq+cosq < 0 , T = (sinq + cosq) = m +.23解：由÷ 得 即 又，. 4解：（1）5解：（） tan=2, ;所以=；（）由(), tan=, 所以=.6解： cosB, sinB, 又sinC, cosC±

8、;, 若cosC, 则角C是钝角,角B为锐角,C为锐角,而sin(C), sinB, 于是 sin(C)< sinB， B >C, BC>,矛盾, cosC , cosC, 故：cosAcos(BC)(cosBcosCsinBsinC).简单的三角恒等变换【学习目标】1. 通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。2. 理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。3. 通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过

9、程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力【自主学习】【知识点拨】  1.两角和、差、倍、半公式（1）       两角和与差的三角函数公式      （2）       二倍角公式              （

10、3）       半角公式         ，   ，             2.恒等变形主要是运用三角公式对式子进行等价变形，常见于化简求值和恒等式证明.恒等式证明就是利用公式消除 等式两边的差异，有目的地化繁为简，使左右相等，常用方法为： （1）从一边开始证得它等于另一边，一般由繁到简；（2）证明左右两边都等于同一个式子（或数值）.

11、3两角和与差的三角函数公式的内涵是揭示同名不同角的三角函数的运算规律，常用于解决求值、化简和证明题.4倍角公式的内涵是揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律.如成立的条件是“ 是任意角，的2倍角”，精髓体现在角的“倍数”关系上. 5公式使用过程中（1）要注意观察差异，寻找联系，实现转化，要熟悉公式的正用逆用和变形使用，也要注意公式 成立的条件.例、等. 6 三角公式由角的拆、凑很灵活.如、， 等，注意到倍角的相对性. 7化为三角函数式，常见的思路为化“三同”即同名、同角、同次，切割化弦、特殊值与特殊角的三角函数互化等. 8. 三角恒等式的证明包括无

12、条件恒等式和有条件恒等式    (1)无条件恒等式证明,要认真分析等式两边三角函数的特点,角度和函数关系,找出差异寻找突破口. (2)有条件的等式证明,常常四寻找条件与需证式的区别与联系,对条件或须证式进行变形.采用消去法或基本量法等 求证. 【课堂练习】达标测试一、选择题1.下列命题中不正确的是（ ）.A存在这样的和的值，使得B不存在无穷多个和的值，使得C对于任意的和，都有D不存在这样的和值，使得2.在中，若，则一定为（ ）.A等边三角形B直角三角形C锐角三角形D钝角三角形3.等于（ ）A0BC1D4.的值是（ ）.ABC0D15.若，则等于（ ）.A

13、 B C D6.在中，已知，是方程的两个根，则等于（ ）.A. B.C. D.7.要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）.D A.向右平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向左平移个单位8.的值为（ ）.ABCD9.的值等于（ ）.A BCD10.已知为第二象限角，则的值为（ ）.ABCD11.设，则的值为（ ）.ABCD12.已知不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）.A. B. C. D.二、填空题1. .2.已知，则 . 3.化简的结果是 . 4.已知，则的值为 . 三、解答题1. 已知，求的值.2.已知为第二象限角，且，求的值. 3.（1）求值：；（2）已

14、知，求的值.4.已知函数，的最大值是1，其图象经过点（1）求的解析式；（2）已知，且，求的值5.已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）当时，求函数的单调区间.6.如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于， 两点，已知，的横坐标分别为，.（1）求的值；（2）求的值.三角恒等变换测试题参考答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.)1.B 由两角差的余弦公式易知C，D正确，当时，A成立，故选B.2.D 由得，即，故角C为钝角.3.B .4.D 原式.5.A ，故.6.C ， .7.D .8.A .9.D .10.B 由得或（为第二象限角，故舍去），且为第一或者第三象限角， ， 故.11.C 由得，故， .12.A ， ， ， ， ， ， .二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中的横线上.)1. .2. 由已知可得， 故 .3. 原式 .4.